变式理论及初中数学教学案例

　 变式理论及初中数学教学案例摘 要： 本文首先对变式理论作初步梳理，接着以三个实例：三角形中位线的情境导入变式、直接开平方法的变式、一道几何题的教学变式谈怎样用变式理论指导数学教学，以达到大面积提高教学质量的预期。

　 关键词： 初中数学教学变式理论 变易空间 变易维度

　 变式理论是我国数学教学传统的一项重要内容。在数学教学中使用变式教学是一种非常普遍非常频繁的现象，数学教师几乎没有不用变式进行教学的。然而，变式中“变”的含义是什么？为什么要“变”？为什么变式教学在数学学科中得以广泛应用？变式通常被用在数学教学的哪些方面？怎样在变式理论的指导下开辟变式教学的新渠道？这些方面的问题，可能有些老师不清楚，甚至未曾思考过，只是凭经验在使用变式教学。

　 我国的变式理论与瑞典著名教育家马飞龙（F.Marton）创立的变易理论十分相似，一脉相承。两者相比，只是变易理论的视野更开阔些，为变式理论的解读提供了依据，变式理论可视为变易理论的特殊情形。无论是变易理论，还是变式理论无不透露出这样一个理念，即对事物的认识也好，概念的获得也好，都涉及一个“变”字。这个“变”字指的是“无关特征或非本质特征的变化”。那么，为什么要“变”呢？因为“当一个现象或一个事件的某一方面发生改变，而另一方面或其他一些方面保持不变时，发生变化的方面将被识辨”。（Bowden & Marton语） 因此教学中给学生呈现变式对他们的学习至关重要，“教师应当通过变异维数的扩展引导学生更好地去认识对象的各个方面”，甚至提出“教学即变易空间的构建”理念。（F.Marton语）

　 数学学科中使用变式教学享有得天独厚的优势，原因是什么呢？那是因为数学中充满了“变”，研究的却是变化中的不变。变量与常量是数学中很重要的两个概念，变换是数学中非常重要的数学方法和思想，而不变量与不变性才是变换的本质特征。变式教学最终也是为了通过变化，让学生掌握变化中的不变。

　 我国传统意义上的变式教学，主要指概念性变式，目的是对概念的多角度理解，其次是习题教学中的一题多解，目的是解题的多样性。国内较早较系统地研究变式教学当属顾泠沅教授领导的青浦数学教改实验小组，他们进行了长达15年卓有成效的研究（1977―1992年）。顾教授依据数学对象的两重性（结构性与过程性）将变式划分为概念性变式与过程性变式，是变式理论的一次突破性进展。其中过程性变式，就是对给定的概念或规则的形成性变式、操作性变式，主要的目的当然不再仅仅是加深对该概念或规则的理解，而是诱发或促进新概念或规则的产生。

　 在新课程改革的背景下，怎样与时俱进，将变式理论这一传统发扬光大，使之焕发勃勃生机，大面积提高教学质量呢？我结合具体的数学教学实例，谈谈如何创造性开展变式教学。

　 【案例1】三角形中位线情境导入片断［苏教版八（上）教材］

　 新课程改革背景下的数学课堂基本模式是“问题情境―建立模型―解释、应用与拓展”。其中设置恰当的问题情境则是学生有效探究的必备条件。许多研究表明，每一个学生都有自己的情境，而课本中设置的问题情境仅适合一般水平学生。

　 变式一：主要提供给平时成绩最差的一类学生，属于准现实情境。

　 问题1：如图是按照某种方式堆放的木头，请在观察的基础上先完成下表。

　 问题2：图（1）中3是2、3、4的中位数，图（2）中4是3、4、5的中位数，图（3）中5是3、4、5、6、7的中位数。（注：铜山区已连续两年调整教学顺序，本章节内容是放在第六章数据的集中程度之后教学的）根据你对中位数的理解请在下列图中画出梯形中位线EF。

　 根据上表中的数量关系，请你猜测梯形的中位线EF和上底AB、CD的关系（数量关系和位置关系）。

　 问题3：若上述问题中，点A、D按照图示的方向运动成三角形（如图）。

　 （1）根据你的理解，请画出三角形的中位线EF。

　 （2）请你猜测中位线EF和BC的关系（数量关系和位置关系），并验证。

　 设置这一情境，从规则堆放木头→梯形→三角形，逐步引导学生形成对情境意图的觉察。

　 范式：即课本上提供的问题情境，主要提供给成绩中等的一类学生，属于准数学化情境。

　 问题1：下图是一张三角形纸片。请在三角形上剪一刀，使之分成的两块正好拼成一个平行四边形。（注：这里综合了两类不同范畴的元素，一类是生活化的：纸片与剪刀，另一类是数学化的：三角形和平行四边形，故称之为准数学化的问题。）

　 （2）若上图中剪下的位置，我们称之为三角形中位线，一个三角形有几条中位线？

　 （3）你能通过图形给出三角形中位线的定义吗？

　 问题2：通过观察，你能发现中位线和第三边的关系吗？（包括位置关系和数量关系），请求证你的发现。

　 设置这一情境，借助剪拼，学生经历了三角形→平行四边形→三角形中位线情境序列，学生受剪拼的启发会作出辅助线求证三角形中位线的性质。

　 变式二：设置的问题情境来自数学内容中，是抽象了的情境，主要提供给成绩优秀的一类学生，属于数学化情境。

　 问题1：依据例1题目改编，如图，在任意四边形ABCD中，分别取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H,并依次连接起来。四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？

　 当学生解决问题1遇到困难时，建议先尝试解决下面的问题2。

　 问题2：类似于范式问题，这里不再赘述。学生再借助三角形的性质，连接AC、BD构造三角形解决问题。

　 这一情境从中点四边形的形状→三角形中位线的性质。设置这一情境，对于认识水平较高的学生具有挑战性，能激发起学生探究的冲动。

　 本案例力求根据认知水平低、中、高设置不同层次的情境，即准现实情境、准现实情境、数学化情境，实施分层教学使不同类型的学生从不同起点开始自己有效的探究历程。

　 【案例2】直接开平方法的教学片断［苏科版九（上）教材］

　 第一层次：研究范式方程x=2，并且命名为“直接开平方法”。接着，引导学生分析这个范式方程的特点：等号左边是未知数的平方，右边是大于0的数。

　 第二层次：研究变式1

　 这三道题要用直接开平方法就需经过移项、合并同类项、二次项系数化为1将方程变形。

　 第三层次：研究变式2

　 这三道题要用直接开平方法，就需用整体思想或换元法进行转化。例如方程：先设①A=x+1,求得A=±7,再用x+1=±7求解。

　 第四层次：研究变式3

　 相对于“范式”方程，变式1需经过变形转化。变式2中底数除未知数外还有其他数字，需搭建“换元”这个桥梁。变式3中，一是未知数的平方等于0，另一是未知数的平方小于0，而“范式”方程则是未知数的平方大于0。上述教学片断通过变式较好地涵盖了一元二次方程用直接开平方法求解的各种情形，使学生对直接开平方法的适用范围有一个较全面较深入的认识。经历了这样的变式学习，学生的类比、迁移能力将会得到提升，就能较好地解决学完了例题仍不能解决与例题稍有偏差的习题这一普遍存在的问题。

　 【案例3】一道基本几何题的变式［苏科版七（上）教材］

　 学生在独立解决问题时表达出来的思路狭窄、应变能力差，往往与教师讲解时习惯于就题论题，缺少变式、缺失拓展不无关联。下面以一道基本几何题谈如何变式。

　 基本题：如图（1），在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝40°，求∠BOC的度数。

　 变式1：如图（2），在△ABC中，∠ABC,∠ACB的两个外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于O点，∠A＝40°， 求∠BOC的度数。

　 变式2：如图（3），在△ABC中，∠ABC内角，∠ACB的一个外角、∠ACD的平分线相交于点O，∠A＝40°，求∠B0C度数。

　 变式3：由图（1）、（2）可发现∠BOC与∠BOC之间有怎样的数量关系，

　 若∠A＝100°，图（1）、（2）中∠BOC与∠BOC之间还有这样的关系吗？若∠A＝n°呢？为什么？

　 变式4：由图（1）(3)可发现∠BOC与∠BOC之间有怎样的数量关系，若∠A＝100°，图（1）（2）中∠BOC与∠BOC之间有怎样的数量关系，若∠A＝100°呢？若∠A＝n°呢？为什么？

　 这道几何题变易空间的构建方法如下：

　 变易维度1：

　 两条角平分线的夹角（1）两条内角平分线的夹角度数（2）两外角平分线的夹角度数（3）一条内角平分线、一条外角平分线的夹角的度数

　 变易维度2：

　 探索两夹角关系时∠A的度数（1）特殊值40°、100°（2）一般值n°

　 在学生认知能力可及的情况下，教师要有目的、有计划地对习题变通，构建变易空间，使学生从不同角度、不同层次、不同背景下重新认识数学问题，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的规律，帮助学生融会贯通所学的知识，帮助学生把能力、思想引向纵深。

　 变式理论内容丰富，实施途径形式多样。本文仅是我对变式理论及变式教学实践的粗浅认识，有待进一步深入、进一步完善。

　 参考文献：

　 ［1］郑毓信.中国学习者的悖论，2001.

　 ［2］徐汝成.马登理论及其对数学教学的启示，2002.

　 ［3］鲍建生，黄荣金，易凌峰，顾泠沅.变式教学研究，2003.

　 ［4］聂必凯.数学变式教学的探索性研究，2004.

　 ［5］王静.变易理论教学研究，2006.

　 ［6］郑毓信.变式理论与认知发展，2010.

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