高三期中理数答案

参考答案与解析 一、 选择题 1-5 DBBAB 6-10 CDCDC 11-12 AC 二、 填空题 13. 14.8 15. 16.445π 三、 解答题 17. 解：（1）设数列的公差为d，则由题意知解得（舍去）或所以.(5分) （2）
因为=， 所以=++…+=.（10分）
18. 解：（1）因为，且C是三角形的内角，所以sinC==. 所以 =.（4分）
(2) 在△ABC中，由正弦定理，得，所以=，于是CD=.在△ADC中，AC=2， cosC=，（8分）
所以由余弦定理，得AD==，即中线AD的长为.(12分) 19. 解：（1）抛物线E：y2=4x的准线l的方程为x=-1，由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为（1，2），所以点C到准线l的距离为d=2，又，所以.（4分）
（2）设C（），则圆C的方程为，即. 由x=-1，得.设，则由，得，所以，解得，此时. 所以圆心C的坐标为或，从而，，即圆C的半径为.(12分) 20. 解：（1）依题意，，P（2，-1），所以=（-a-2,1）·(a-2,1)=5-a2,(2分) 由=1，a>0,得a=2,因为e=，所以c=，b2=a2-c2=1，（4分）
故椭圆C的方程为.（5分）
（2）
假设存在满足条件的点Q（t，0），当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意， 因此直线l的斜率k存在，设l：y+1=k（x-2）， 由消y，得（1+4k2）x2-（16k2+8k）x+16k2+16k=0，（7分）
△=-64k>0,所以k<0, 设，则x1+x2=,x1x2=, 因为 ===，（10分）
所以要使对任意满足条件的k，为定值，则只有t=2，此时=1. 故在x轴上存在点Q（2，0）使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1.（12分）
21. 解：（1）设切点坐标为（x0，y0），则y0=x0lnx0,切线的斜率为lnx0+1， 所以切线l的方程为y-x0lnx0=（lnx0+1）（x-x0），又切线l过点（1，0）， 所以有-x0lnx0=（lnx0+1）(1-x0)，即lnx0=x0-1，设h（x）=lnx-x+1，则，x∈（0,1），，h（x）单调递增，x∈（1,），，h（x）单调递减，h（x）max=h(1)=0有唯一解，所以x0=1，y0=0. 所以直线l的方程为y=x-1.（4分）
（2）因为g（x）=xlnx-a（x-1），注意到g（1）=0， 所以所求问题等价于函数g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e]上没有零点. 因为.所以由lnx+1-a<00<x<ea-1,x>ea-1, 所以g（x）在（0，ea-1）上单调递减，在（ea-1，）上单调递增.（6分）
①当ea-1≤1，即a≤1时，g（x）在（1,e]上单调递增，所以g（x）>g(1)=0. 此时函数g（x）在（1,e]上没有零点，（7分）
②当1<ea-1<e,即1<a<2时，g（x）在[1,ea-1)上单调递减，在（ea-1,e]上单调递增， 又因为g（1）=0，g（e）=e-ae+a，g（x）在(1,e]上的最小值为g（ea-1）=a-ea-1， 所以（i）当1<a≤时，g（x）在[1,e]上的最大值g（e）≥0，即此时函数g（x）在(1,e]上有零点.（10分）
（ii）当<a<2时，g（e）＜0，即此时函数g（x）在（1,e]上没有零点， ③当e≤ea-1即a≥2时，g（x）在[1,e]上单调递减，所以g（x）在[1,e]上满足g（x）<g(1)=0，此时函数g（x）在(1,e]上没有零点.（11分）
综上，所求的a的取值范围是a≤1或a>.(12分) 22. 解：（1）由a=2，e=，得c=,所以b=，故所求椭圆方程为. 由已知有r=,圆C2的方程为C2：x2+y2=2.(4分) （2）设直线l1方程为y=k（x+2），由得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0， 所以xP+xD=，又xD=，所以==. 直线l2的方程为即x+ky+2=0，， 所以 ==≤=，当且仅当，k=时取等号，因此△ABD的面积的最大值为.(12分)