概率论与数理统计学习知识资料点情况总结分析

　第 第 1 1 章

　随机事件 及其 概率

　（1 1 ）随机试验和随机事件

　如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

　试验的可能结果称为随机事件。

　（2 2 ）基本 事件、样本空间和事件

　在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

　①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

　②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

　这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用  来表示。

　基本事件的全体，称为试验的样本空间，用  表示。

　一个事件就是由  中的部分点（基本事件  ）组成的集合。通常用大写字母 A A ，B B ，C C ， …表示事件，它们是  的子集。

　 为必然事件，Ø Ø 为不可能事件。

　不可能事件（Ø Ø ）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事 件（Ω）的概率为 1 1 ，而概率为 1 1 的事件也不一定是必然事件。

　（3 3 ）事件的关系与运算

　①关系：

　如果事件 A A 的组成部分也是事件 B B 的组成部分，（ A A 发生必有事件 B B发生）：

　B A

　 如果同时有 B A ， A B ，则称事件 A A 与事件 B B 等价，或称 A A 等于 B B ：A=B 。

　A A 、B B 中至少有一个发生的事件：

　A A  B B ，或者 A A + + B B 。

　属于 A A 而不属于 B B 的部分所构成的事件，称为 A A 与 B B ， 的差， 记为 A A- -B B ，

　也可表示为 A A- - AB 或者 B A ，它表示 A A 发生而 B B 不发生的事件。

　A A 、B B 同时发生：

　A A  B B ，或者 AB 。A A  B=Ø Ø ， 则表示 A A 与 与 B B 不可能同时发生，称事件 A A 与事件 B B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

　 - -A A 称为事件 A A 的逆事件，或称 A A 的对立事件，记为 A 。它表示 A A不发生的事件。互斥未必对立。

　②运算：

　结合率：

　A(BC)=(AB)C

　A ∪ (B ∪ C)=(A ∪ B) ∪C C

　分配率：

　(AB) ∪ C=(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

　(A ∪ B) ∩ C=(AC) ∪ (BC)

　德摩根率： 1 1 iiii A A

　B A B A    ， B A B A   

　 （4 4 ）概率的公理化定义

　设  为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 数 都有一个实数 P(A) ，若满足下列三个条件：

　1 1 °

　0 0 ≤ P(A) ≤1 1 ，

　2 2 °

　P( Ω ) =1

　3 3 °

　对于两两互不相容的事件 1 A ， 2 A ，…有

　1 1) (iiii A P A P 

　则称 P(A) 为事件 A 的概率。

　（5 5 ）古典概型

　1 1 °

　 n   2 1 ,  ，

　2 2 °

　nP P Pn1) ( ) ( ) (2 1       。

　设任一事件 A ，它是由m   2 1 ,组成的，则有

　P(A) = =   ) ( ) ( ) (2 1 m      

　 = = ) ( ) ( ) (2 1 mP P P       

　 nm基本事件总数所包含的基本事件数 A

　 （6 6 ）几何概型

　若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，

　则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A A ，

　) () () (LA LA P 。其中 L L 为几何度量（长度、面积、体积）。

　（7 7 ）加法公式

　P(A+B)=P(A)+P(B)- - P(AB)

　当 当 B AB 不相容 P(AB) ＝0 0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)

　当 当 B AB 独立， P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)- - P(A)P(B)

　（8 8 ）减法公式

　P(A- - B)=P(A)- - P(AB)

　当 当 B B  A A 时， P(A- - B)=P(A)- - P(B)

　当 当 A= Ω时， P( B )=1- -

　P(B)

　（9 9 ）条件概率

　定义

　设 设 A A 、B B 是两个事件，且 P(A)>0 ，则称) () (A PAB P为事件 A A 发生条件下，事件 B B 发生的条件概率，记为  ) / ( A B P) () (A PAB P。

　条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

　例如 P( Ω /B)=1  P( B /A)=1- - P(B/A)

　（ 10 ）乘法公式

　乘法公式：

　) / ( ) ( ) ( A B P A P AB P 

　 更一般地，对事件 A A 1 1 ，A A 2 2 ，…A A n n ，若 P(A 1 1 A A 2 2 …A A n n- -1 1 )>0 ，则有

　2 1 ( A A P…) n A ) | ( ) | ( ) ( 2 1 3 1 2 1 A A A P A A P A P ……2 1 | ( A A A P n…) 1  n A。

　（ 11 ）独立性

　①两个事件的独立性

　设事件 A 、 B 满足) ( ) ( ) ( B P A P AB P ，则称事件 A 、 B 。

　是相互独立的。

　若事件 A 、 B 相互独立，且0 ) (  A P，则有

　) () () ( ) () () () | ( B PA PB P A PA PAB PA B P   

　若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独立。

　必然事件  和不可能事件 Ø Ø 与任何事件都相互独立。

　Ø Ø 与任何事件都互斥。

　②多个事件的独立性

　设 设 C ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，

　P(AB)=P(A)P(B) ； P(BC)=P(B)P(C) ； P(CA)=P(C)P(A)

　并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) )

　那么 A A 、B B 、C C 相互独立。

　对于 n n 个事件类似。

　（ 12 ）全概公式

　设事件n B B B , , , 2 1 满足

　1 1 °n B B B , , , 2 1 两两互不相容，) , , 2 , 1 ( 0 ) ( n i B P i   ，

　2 2 °nii B A1 ，

　则有

　) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( 2 2 1 1 n n B A P B P B A P B P B A P B P A P     。

　全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题， ， 全概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；

　（ 13 ）贝叶斯公式

　设事件 1 B ， 2 B ，…，n B 及 A 满足

　1 1 °

　1 B ， 2 B ，…，n B 两两互不相容，) (Bi P>0 ， i1 1 ，2 2 ，…， n ，

　2 2 °

　nii B A1 ，0 ) (  A P，

　则

　njj ji iiB A P B PB A P B PA B P1) / ( ) () / ( ) () / ( ， i=1 ，2 2 ，…n n 。

　此公式即为贝叶斯公式。

　) (iB P ，（1  i， 2 ，…， n ），通常叫先验概率。

　) / ( A B Pi，（1  i， 2 ，…，n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

　将试验可看成分为两步做，如果求。

　在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式。

　（ 14 ）伯努利概型

　我们作了 n 次试验，且满足

　 每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生；

　 n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；

　 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否是互不 影响的。

　这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。

　用p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为q p   1，用) (k P n表示 n 重伯努利试验中 A 出现) 0 ( n k k  次的概率，

　k n kknn q p k PC ) (，n k , , 2 , 1 , 0  。

　第二章

　随机变量及其分布

　（ 1 1 ）离 散型 随机 变量 的分 布律

　设离散型随机变量 X 的可能取值为 X X k k (k=1,2, …) ) 且取各个值的概率，即事件 (X=X k k ) ) 的概率为 P(X=x k k )=p k k ， k=1,2, …，

　则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：

　  , , , ,, , , ,|) ( 2 12 1kkk p p px x xx X PX。

　显然分布律应满足下列条件：

　（1 1 ）0  k p， , 2 , 1  k，

　（2 2 ）11kk p。

　（ 2 2 ）连 续型 随机 变量 的分 布密度

　设) (x F是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数) (x f，对任意实数x ，有

　 xdx x f x F ) ( ) (，

　则称 X 为连续型随机变量。) (x f称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

　密度函数具有下面 4 4 个性质：

　1 1 、

　0 ) (  x f。

　2 2 、

　 1 ) ( dx x f。

　3 3 、211 2 2 1P( ) ( ) ( ) ( )xxx X x F x F x f x dx      

　 4 4 、a P(x=a)=0,a 为常数，连续型随机变量取个别值的概率为 0 0

　（ 3 3 ）分 布函数

　设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数

　) ( ) ( x X P x F  

　 称为随机变量 X X 的分布函数，本质上是一个累积函数。

　) ( ) ( ) ( a F b F b X a P    

　 可以得到 X X 落入区间 ] , ( b a 的概率。分布函数 ) (x F 表示随机变量落入区间（ –

　∞， x] 内的概率。

　分布函数具有如下性质：

　1 1 °

　, 1 ) ( 0   x F

　      x ；

　2 2 °

　) (x F 是单调不减的函数 ，即 2 1 x x  时，有

　 ) ( 1 x F ) ( 2 x F ；

　3 3 °

　0 ) ( lim ) (    x F Fx，

　1 ) ( lim ) (    x F Fx；

　4 4 °

　) ( ) 0 ( x F x F   ，即 ) (x F 是右连续的；

　5 5 °

　) 0 ( ) ( ) (     x F x F x X P 。

　对于离散型随机变量，x xkkp x F ) ( ；

　对 于连续型随机变量， xdx x f x F ) ( ) (

　 。

　（ 4 4 ）六 大分布

　0 0- -1 1 分布

　P(X=1)=p, P(X=0)=q

　二项分布

　在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 n , , 2 , 1 , 0  。

　k n k knn q p C k P k X P   ) ( ) ( ，

　其中 n k p p q , , 2 , 1 , 0 , 1 0 , 1       ，

　则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为) , ( ~ p n B X 。

　当 1  n 时，k k qp k X P 1) ( ， 1 . 0  k ，这就是（0 0- -1 1 ）分布，所以（0 0- -1 1 ）分布是二项分布的特例。

　泊松分布

　设随机变量 X 的分布律为

　  ekk X Pk!) ( ， 0   ，  2 , 1 , 0  k ，

　则称随机变量 X 服从参数为  的泊松分布，记为 ) ( ~   X 或者P(  ) ) 。

　泊松分布为二项分布的极限分布（ np= λ，n n →∞）。

　均匀分布

　设随机变量 X 的值只落在 [a ， b] 内，其密度函数) (x f在 [a ，b] 上为常数a b 1，即

　 , 0,1) ( a b x f

　其他，

　则称随机变量 X 在 [a ， b] 上服从均匀分布，记为 X X~ ~ U(a ， b)。

　。

　分布函数为

　  xdx x f x F ) ( ) (

　当 当 a a ≤x x 1 1 <x 2 2 ≤b b 时，X X 落在区间（2 1 ,xx）

　内的概率为

　a bx xx X x P  1 22 1) ( 。

　指数分布

　其中0  ，则称随机变量 X X 服从参数为  的指数分布。

　0，

　 x<a， ,a ba x

　 a≤x≤b

　1，

　x>b。

　a≤x≤b  ) (x f,xe

　 0  x, 0,

　0  x,

　正态分布

　设随机变量 X 的密度函数为

　222) (21) ( xe x f ，

　     x，

　其中  、0  为常数，则称随机变量 X 服从参数为  、  的正态分布或高斯（ Gauss ）分布，记为) , ( ~2  N X。

　) (x f具有如下性质：

　1 1 °

　) (x f的图形是关于  x对称的；

　2 2 °

　当  x时， 21) (  f 为最大值；

　若) , ( ~2  N X，则 X 的分布函数为

　参数0  、1  时的 正态分布称为标准正态分布，记为) 1 , 0 ( ~ N X，其密度函数记为

　2221) (xe x，      x ，

　分布函数为

　  x tdt e x2221) (。

　) (x 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

　Φ( (- - x) ＝1 1- - Φ (x) 且Φ (0) ＝21。

　如果 X ~ ~ ) , (2  N ，则  X~ ~ ) 1 , 0 ( N 。

　       1 22 1) (x xx X x P 。

　（ 6 6 ）分 位数

　下分位表：

　   ＝ ) (  X P ；

　上分位表：

　   ＝ ) (  X P 。

　（ 7 7 ）函 数的 分离散型

　已知 X 的分布列为

　  , , , ,, , , ,) ( 2 12 1nni p p px x xx X PX，

　) (X g Y  的分布列（ ) (i ix g y  互不相等）如下：

　  , , , ,), ( , ), ( ), () (2 12 1nnip p px g x g x gy Y PY，

　若有某些 ) ( i x g 相等，则应将对应的ip 相加作为 ) ( i x g 的概率。

　dt

　e

　x

　F

　x

　t

　

　

　

　

　

　

　2

　2

　2

　)

　(

　2

　1

　)

　(

　

　

　

　布 函数

　连续型

　先利用 X X 的概率密度 f f X X (x) 写出 Y Y 的分布函数 F F Y Y (y) ＝ P(g(X)≤ y) ，再利用变上下限积分的求导公式求出 f f Y Y (y) 。

　第三章

　二维随机变量及其分布

　（1 1 ）联合分布

　离散型

　如果二维随机向量  （X X ，Y Y ）的所有可能取值为至多可列个有序对（ x,y ），则称  为离散型随机量。

　设  = = （X X ，Y Y ）的所有可能取值为 ) , 2 , 1 , )( , (   j i y xj i，且事件 { {  = = ) , (j iy x } } 的 概 率 为 p p ij, , , 称) , 2 , 1 , ( )} , ( ) , {(     j i p y x Y X Pij j i

　为  = = （X X ，Y Y ）的分布律或称为 X X 和 和 Y Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

　Y Y

　X X

　 y y 1 1

　 y y 2 2

　 …

　y y j j

　 …

　x x 1 1

　 p p 11

　 p p 12

　 …

　p p 1j

　 …

　x x 2 2

　 p p 21

　 p p 22

　 …

　p p 2j

　 …

　

　 

　 

　 

　 

　 x x i i

　 p p i1

　 …

　ijp

　 …

　

　 

　 

　 

　 

　 这里 p p ij 具有下面两个性质：

　（1 1 ）

　p p ij ≥0 0 （ i,j=1,2, …）；

　（2 2 ）

　. 1  iji jp

　连续型

　对 于 二 维 随 机 向 量 ) , ( Y X   ， 如 果 存 在 非 负 函 数) , )( , (         y x y x f ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D D ，即 D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d} 有

　 Ddxdy y x f D Y X P , ) , ( } ) , {(

　 则称  称 为连续型随机向量；并称 f(x,y) 为  = = （X X ，Y Y ）的分布密度或称为 X X 和 和 Y Y 的联合分布密度。

　分布密度 f(x,y) 具有下面两个性质：

　（1 1 ）

　f(x,y) ≥ 0;

　（2 2 ）

　    . 1 ) , ( dxdy y x f

　2 2 联 合分 布 函数

　设（X X ，Y Y ）为二维随机变量，对于任意实数 x,y, 二元函数

　} , { ) , ( y Y x X P y x F   

　 称为二维随机向量（X X ，Y Y ）的分布函数，或称为随机变量 X X 和 和 Y Y 的联合分布函数。

　分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 ， 以 事 件} ) ( , ) ( | ) , {(2 1 2 1y Y x X           的概率为函数值的一个实值函数。分布函数 F(x,y) 具有以下的基本性质：

　（1 1 ）

　; 1 ) , ( 0   y x F

　 （2 2 ）F F （ x,y ）分别对 x x 和 和 y y 是非减的，即

　当 当 x x 2 2 >x 1 1 时，有 F F （x x 2 2 ,y ）≥ F(x 1 1 ,y);当 当 y y 2 2 >y 1 1 时，有 F(x,y 2 2 ) ≥ F(x,y 1 1 );

　（3 3 ）F F （ x,y ）分别对 x x 和 和 y y 是右连续的，即

　); 0 , ( ) , ( ), , 0 ( ) , (     y x F y x F y x F y x F

　 （4 4 ）

　. 1 ) , ( , 0 ) , ( ) , ( ) , (           F x F y F F

　 （5 5 ）对于 ， ，2 1 2 1y y x x  

　 P(x 1 1 <x ≤x x 2 2 ,y 1 1 <y ≤y y 2 2 )= 0 ) ( ) ( ) ( ) (1 1 2 1 1 2 2 2    y x F y x F y x F y x F ， ， ， ，

　 3 3 边 缘分布

　离散型

　X X 的边缘分布为

　) , 2 , 1 , ( ) (      j i p x X P Pijji i；

　Y Y 的边缘分布为

　) , 2 , 1 , ( ) (      j i p y Y P Pijij j。

　连续型

　X X 的边缘分布密度为

　  ； dy y x f x f X ) , ( ) (

　 Y Y 的边缘分布密度为

　. ) , ( ) (  dx y x f y f Y

　 4 4 条 件分布

　离散型

　在已知 X=x i i 的条件下 ，Y Y 取值的条件分布为

　；  iiji jppx X y Y P ) | (

　 在已知 Y=y j j 的条件下，X X 取值的条件分布为

　, ) | (jijj ippy Y x X P  

　 连续型

　在已知 y Y=y 的条件下，X X 的条件分布密度为

　) () , () | (y fy x fy x fY ；

　在已知 x X=x 的条件下，Y Y 的条件分布密度为

　) () , () | (x fy x fx y fX

　 5 5 独 立性

　一般型

　F(X,Y)=F X X (x)F Y Y (y)

　离散型

　j i ijp p p 

　 有零不独立

　连续型

　f(x,y)=f X X (x)f Y Y (y)

　直接判断，充要条件：

　①可分离变量

　②正概率密度区间为矩形

　二 维 正态分布

　,1 21) , (2222 12 121122 1) )( ( 2) 1 ( 212        y y x xe y x f

　  ＝0 0

　随 机 变量 的 函数

　若 若 X X 1 1 ,X 2 2 , , …X X m m ,X m+1 , , …X X n n 相互独立，

　g h,g ：

　为连续函数，则：

　h h （X X 1 1 ，X X 2 2 , , …X X m m ）和 g g （X X m+1 , , …X X n n ）相互独立。

　特例：若 X X 与 与 Y Y 独立，则：h h （X X ）和 g g （Y Y ）独立。

　例如：若 X X 与 与 Y Y 独立，则：1 3X+1 和 和 5Y- -2 2 独立。

　6 6 二 维均 匀 分布

　设随机向量（X X ，Y Y ）的分布密度函数为

　其他 , 0) , (1) , (D y xSy x fD

　其中 S S D D 为区域 D D 的面积，则称（X X ，Y Y ）服从 D D 上的均匀分布，记为（X X ，Y Y ）～U U （D D ）。

　图 图 3.2

　7 7 正 态分布

　设随机向量（X X ，Y Y ）的分布密度函数为

　,1 21) , (2222 12 121122 1) )( ( 2) 1 ( 212        y y x xe y x f

　 其中 1 | | , 0 , 0 ,2 1 , 2 1        是 是 5 5 个参数，则称（X X ，Y Y ）服从二维正态分布，

　记为（X X ，Y Y ）～N N （ ). , , ,2221 , 2 1    

　 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，

　即 即 X X ～N N （ ). ( ~ ), ,22 , 221 1    N Y

　 但是若 X X ～N N （ ) ( ~ ), ,22 , 221 1    N Y ， (X ， Y) 未必是二维正态分布。

　8 8 函 数的分布

　Z=X+Y

　根据定义计算：

　) ( ) ( ) ( z Y X P z Z P z F Z     

　 对于连续型，f f Z Z (z) ＝ dx x z x f  ) , (

　 两个独立的正态分布的和仍为正态分布（2221 2 1,       。

　）。

　n n 。

　个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

　ii iC   ，

　ii iC2 2 2 

　 Z=max,min(X 1 1 ,X 2 2, , …X X n n ) )

　若nX X X 2 1 ,相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为) ( ) ( ) (2 1x F x F x Fnx x x ， 则 ，则 Z=max,min(X 1 1 ,X 2 2 , , …X X n n ) ) 的分布函数为：

　) ( ) ( ) ( ) (2 1maxx F x F x F x Fnx x x  

　 )] ( 1 [ )] ( 1 [ )] ( 1 [ 1 ) (2 1minx F x F x F x Fnx x x      

　 第四章

　随机变量的数字特征

　（1 1 ）一维随机变量的数字特征

　离散型

　连续型

　期望

　期望就是平均值

　设 设 X X 是离散型随机变量，其分布律为P(kx X  ) ) ＝ ＝ p p k k ，k=1,2, … ,n ，

　nkk k px X E1) (

　 （要求绝对收敛）

　设 设 X X 是连续型随机变量，其概率密度为 f(x) ，

　  dx x xf X E ) ( ) (

　 （要求绝对收敛）

　函数的期望

　Y=g(X)

　nkk kp x g Y E1) ( ) (

　 Y=g(X)

　  dx x f x g Y E ) ( ) ( ) (

　 方差

　D(X)=E[X- - E(X)]2 2 ，，

　标准差

　) ( ) ( X D X  

　 kk kp X E x X D2)] ( [ ) (

　   dx x f X E x X D ) ( )] ( [ ) (2

　（2 2 ）期望的性质

　（1 1 ）

　E(C)=C

　（2 2 ）

　E(CX)=CE(X)

　（3 3 ）

　E(X+Y)=E(X)+E(Y) ，  ninii i i iX E C X C E1 1) ( ) (

　 （4 4 ）

　E(XY)=E(X) E(Y) ，充分条件：X X 和 和 Y Y 独立；

　充要条件：X X 和 和 Y Y 不相关。

　（3 3 ）方差的性质

　（1 1 ）

　D(C)=0 ； E(C)=C

　（2 2 ）

　D(aX)=a2 2 D(X) ；

　E(aX)=aE(X)

　（3 3 ）

　D(aX+b)= a2 2 D(X) ；

　E(aX+b)=aE(X)+b

　（4 4 ）

　D(X)=E(X X2 2 ) )- -E E 2 2 (X)

　（5 5 ）

　D(X ± Y)=D(X)+D(Y) ，充分条件：X X 和 和 Y Y 独立；

　充要条件：X X 和 和 Y Y 不相关。

　D(X ± Y)=D(X)+D(Y) ± 2E[(X- - E(X))(Y- - E(Y))] ，无条件成立。

　而 而 E(X+Y)=E(X)+E(Y) ，无条件成立。

　（4 4 ）常见分布的期望和方差

　期望

　方差

　) , 1 ( p B

　 p p

　) 1 ( p p 

　 ) , ( p n B

　 np

　) 1 ( p np 

　 泊松分布) (  P

　 

　 

　 ) , ( b a U

　 2b a 

　12) (2a b 

　指数分布) (  e

　 1

　21

　) , (2  N

　

　 2

　（5 5 ）二维随机变量的数字特征

　期望

　nii i px X E1) (

　 njj j py Y E1) (

　   dx x xf X EX) ( ) (

　   dy y yf Y EY) ( ) (

　 函 数的 期望

　)] , ( [ Y X G E ＝

　i jij j ip y x G ) , (

　 )] , ( [ Y X G E ＝

　  － －dxdy y x f y x G ) , ( ) , (

　 方差

　  ii ip X E x X D2)] ( [ ) (  jj jp Y E x Y D2)] ( [ ) (

　   dx x f X E x X DX) ( )] ( [ ) (2

　   dy y f Y E y Y DY) ( )] ( [ ) (2

　协 方差

　对于随机变量 X X 与 与 Y Y ，称它们的二阶混合中心矩11 为 为 X X 与 与 Y Y的协方差或相关矩，记为 ) , cov( Y XXY 或 ，即

　))]. ( ))( ( [(11Y E Y X E X EXY     

　 与记号XY 相对应，X X 与 与 Y Y 的方差 D D （X X ）与 D D （Y Y ）也可分别记为XX 与YY 。

　相 关系数

　对于随机变量 X X 与 与 Y Y ，如果 D D （X X ）

　>0, D(Y)>0 ，则称

　) ( ) ( Y D X DXY

　为 为 X X 与 与 Y Y 的相关系数，记作XY （有时可简记为  ）。

　| |  | | ≤1 1 ，当| |  1 |=1 时，称 X X 与 与 Y Y 完全相关：

　1 ) (    b aY X P

　 完全相关   ， 时 负相关，当， 时 正相关，当) 0 ( 1) 0 ( 1aa

　而当 0   时，称 X X 与 与 Y Y 不相关。

　以下五个命题是等价的：

　① 0 XY ；

　② cov(X,Y)=0;

　③ E(XY)=E(X)E(Y);

　④ D(X+Y)=D(X)+D(Y);

　⑤ D(X- - Y)=D(X)+D(Y).

　（6 6 ）协方差性质

　(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);

　(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);

　(iii) cov(X 1 1 +X 2 2 , Y)=cov(X 1 1 ,Y)+cov(X 2 2 ,Y);

　(iv) cov(X,Y)=E(XY)- - E(X)E(Y).

　（7 7 ）独立和不相关

　（i i ）

　若随机变量 X X 与 与 Y Y 相互独立，则 0 XY ；反之不真。

　（ ii ）

　若（X X ，Y Y ）～N N （      , , , ,2221 2 1），

　则 则 X X 与 与 Y Y 相互独立的充要条件是 X X 和 和 Y Y 不相关。