高中四个均值不等式 [均值不等式在一个问题解决中的应用]
来源：澳大利亚 发布时间：2019-08-05 点击：
问题：求证++…+＞1 由于此问题是一个与自然数有关的命题，因此可以使用数学归纳法解决.又由于此问题左端可看做一函数（数列），因而可通过构造函数的方式解决.在此，本文主要讨论使用均值不等式来求解.
均值不等式：设a，a，…，a是n个正数，则
≤≤≤
即调和平均值H（n）≤几何平均值G（n）≤算术平均值A（n）≤均方根平均值Q（n），
等号当且仅当a=a=…=a时成立.
（1）几何平均小于算术平均
++…+
≥（2n+1）
=
而≥1，k≤n
∵（n+k）（3n+2-k）≤（）=（2n+1）
当且仅当n+k=3n+2-k，即n=k-1时，取等号，而n=k-1≤k，所以不能取等号.
∴＞1
∴>1
∴++…+>1
（2）调和平均小于算术平均
++…+≥==1
当且仅当==…=时取等号，故等号取不到.
∴++…+＞1
（3）算术平均大于几何平均
∵+＞2＞2=
+＞2＞2=
……
+＞2＞2=
∴++…+＞+=1
基金项目：山东省研究生教育创新计划资助项目资助（课题编号SDYY11154）；鲁东大学―烟台市教育局校地联合教学改革项目成果（课题编号412――20101206）。