第01讲-集合（讲义版）

　1 第 01 讲

　集合 一、 知识梳理 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系

　文字语言 符号语言 集合间的 基本关系 相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 A＝B 子集 集合 A 中任意一个元素均为集合 B 中的元素 A⊆B 真子集 集合 A 中任意一个元素均为集合 B 中的元素，且集合 B 中至少有一个元素不是集合 A 中的元素 B A  空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3.集合的基本运算

　集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为 U，则集合 A的补集为∁ U A 图形表示

　集合表示 {x|x∈A，或 x∈B} {x|x∈A，且 x∈B} {x|x∈U，且 x∉A} 4.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩  ＝  ，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪  ＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(∁ U A)＝  ，A∪(∁ U A)＝U，∁ U (∁ U A)＝A. [方法技巧] 1.若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2 n 个，真子集有 2 n －1 个. 2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. 3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁ U A⊇∁ U B. 4.∁ U (A∩B)＝(∁ U A)∪(∁ U B)，∁ U (A∪B)＝(∁ U A)∩(∁ U B). 二、 经典例题

　2 考点一 集合的基本概念 【例 1-1】

　（2020·海南省海南中学高三月考）若 S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是（

　）

　A．62 B．32 C．64 D．30 规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义. 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 考点二 集合间的基本关系 【例 2-1】

　（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）已知集合| 03xA x Zx     ，则集合 A 真子集的个数为（

　）

　A．3 B．4 C．7 D．8 规律方法 1.若 B⊆A，应分 B＝  和 B≠  两种情况讨论. 2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解. 考点三 集合的运算

　【例 3-1】

　（2020·全国高三一模（文））已知集合   | 1 5 A x x     ，  2| 2 3 B x x x    ，则A B  （

　）

　A．5} |3 {x x  

　B． { | 1 5} x x   

　C． { |1 x x   或 3} x 

　D． R

　【例 3-2】

　（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合  22 3 0 A x x x     ，    lg 1 1 B x x    ，则  R AB  ð （

　 ）

　A．   13 x x   

　B．   1 9 x x   

　C．   13 x x   

　D．   1 9 x x   

　规律方法 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.

　3 2.注意数形结合思想的应用. (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助 Venn 图求解. (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心. (3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.

　[思维升华] 1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到. 3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助 Venn 图.这是数形结合思想的又一体现. [易错防范] 1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简. 2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解. 3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系. 4.Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.