新高考2021届高考物理小题必练5曲线运动

　 1

　 (1)曲线运动的条件；(2)运动的合成与分解；(3)抛体运动的规律。

　 例 1．(2020·全国卷Ⅱ·16)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为 3 h ，其左边缘 a 点比右边缘 b 点高 0.5 h 。若摩托车经过 a 点时的动能为 E 1 ，它会落到坑内 c 点。

　c 与 a 的水平距离和高度差均为 h ；若经过 a 点时的动能为 E 2 ，该摩托车恰能越过坑到达 b 点。12EE等于(

　)

　A. 20 B. 18 C. 9.0 D. 3.0 【解析】有题意可知当在 a 点动能为 E 1 时，有 E 1 ＝ 12 mv12 ，根据平抛运动规律有h ＝ 12 gt12 ， h＝ v 1 t 1 ；当在 a 点时动能为 E 2 时，有 E 2 ＝ 12 mv22 ， 12 h ＝12 gt22 ，3 h ＝ v2 t 2 ，联立解得1218EE ，故选 B。

　【答案】B 【点睛】本题主要考查平抛运动的规律和动能的计算公式，知道平抛运动可以分解为水平方向的直线运动和竖直方向的自由落体运动。

　例 2．(2020·山东卷·16)单板滑雪 U 型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：

　U 形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为 17.2°。某次练习过程中，运动员以 v M ＝10 m/s 的速度从轨道边缘上的 M 点沿轨道的竖直切面 ABCD 滑出轨道，速度方向与轨道边缘线 AD 的夹角 α ＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的 N 点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小 g ＝10 m/s2 ，sin 72.8°＝0.96，cos 72.8°＝0.30。求：

　小题必练 5 5 ：

　曲线运动

　 2

　(1)运动员腾空过程中离开 AD 的距离的最大值 d ； (2) M 、 N 之间的距离 L 。

　【解析】(1)在 M 点，设运动员在 ABCD 面内垂直 AD 方向的分速度为 v 1 ，由运动的合成与分解规律得：

　v 1 ＝ v M sin 72.8°

　 ① 设运动员在 ABCD 面内垂直 AD 方向的分加速度为 a 1 ，由牛顿第二定律得：

　mg cos 17.2°＝ ma 1

　 ② 由运动学公式得2112vda

　③ 联立①②③式，代入数据得：

　d ＝4.8 m。

　④ (2)在 M 点，设运动员在 ABCD 面内平行 AD 方向的分速度为 v 2 ，由运动的合成与分解规得：

　v 2 ＝ v M cos72.8°

　⑤ 设运动员在 ABCD 面内平行 AD 方向的分加速度为 a 2 ，由牛顿第二定律得：

　mg sin17.2°＝ ma 2

　 ⑥ 设腾空时间为 t ，由运动学公式得：112vta

　 ⑦ L ＝ v 2 t ＋ 12 a2 t2

　 ⑧ 联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得：

　L ＝12 m。

　⑨ 【点睛】本题考查牛顿第二定律的综合应用及斜面上抛体问题的分析，关键是弄清物体的运动过程和受力情况，能正确将速度和加速度同时进行分解。

　 1．(多选)质量为 2 kg 的质点在 xOy 平面上做曲线运动，在 x 方向的速度图象和 y 方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是(

　)

　 3

　A．质点的初速度为 5 m/s B．质点所受的合外力为 3 N，做匀加速曲线运动 C．2 s 末质点速度大小为 6 m/s D．2 s 内质点的位移大小约为 12 m 【答案】ABD 【解析】由 x 方向的速度图象可知，在 x 方向的加速度为 1.5 m/s2 ，受力F x ＝3 N，由 y 方向的位移图象可知在 y 方向做匀速直线运动，速度为 v y ＝4 m/s，受力 F y ＝0.因此质点的初速度为 5 m/s，A 选项正确；受到的合外力为 3 N，显然，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，B 选项正确；2 s 末质点速度应该为 v ＝ 62 ＋4 2

　m/s＝2 13 m/s，C 选项错误；2 s 内 x 方向上位移大小 x ＝ v x t ＋ 12 at2 ＝9 m， y方向上位移大小 y ＝8 m，合位移大小l ＝ x2 ＋ y 2 ＝ 145 m≈12 m，D 选项正确。

　2．(多选)如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物 M ，长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方 O 点处，在杆的中点 C 处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物 M 。

　C 点与 O 点距离为 L ，现在杆的另一端用力使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度 ω 缓慢转至水平(转过了 90°角)，此过程中下列说法正确的是(

　)

　A．重物 M 做匀速直线运动 B．重物 M 做匀变速直线运动 C．重物 M 的最大速度是 ωL

　D．重物 M 的速度先增大后减小 【答案】CD 【解析】与杆垂直的速度 v 是 C 点的实际速度， v T 是细绳的速度，即重物 M 的速度。设 v T与 v 的夹角是 θ ，则 v T ＝ v cos θ ，开始时 θ 减小，则 v T 增大；当杆与细绳垂直( θ ＝0)时，重物 M 的速度最大，为 v max ＝ ωL ，然后再减小，C、D 正确。

　 4 3．(多选)饲养员在池塘边堤坝边缘 A 处以水平速度 v 0 往鱼池中抛掷鱼饵颗粒。堤坝截面倾角为 53°。坝顶离水面的高度为 5 m， g 取 10 m/s2 ，不计空气阻力(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)，下列说法正确的是(

　)

　A．若平抛初速度 v 0 ＝5 m/s，则鱼饵颗粒不会落在斜面上 B．若鱼饵颗粒能落入水中，平抛初速度 v 0 越大，落水时速度方向与水平面的夹角越小 C．若鱼饵颗粒能落入水中，平抛初速度 v 0 越大，从抛出到落水所用的时间越长 D．若鱼饵颗粒不能落入水中，平抛初速度 v 0 越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越小 【答案】AB 【解析】鱼饵颗粒落地时间 t ＝2 hg＝2×510 s＝1 s，刚好落到水面时的水平速度为 v＝ st ＝5× 341 m/s＝3.75 m/s＜5 m/s，当平抛初速度 v 0 ＝5 m/s 时，鱼饵颗粒不会落在斜面上，A 正确；由于落到水面的竖直速度 v y ＝ gt ＝10 m/s，平抛初速度越大，落水时速度方向与水平面的夹角越小，B 正确；鱼饵颗粒抛出时的高度一定，落水时间一定，与初速度 v 0 无关，C 错误；设颗粒落到斜面上时位移方向与水平方向夹角为 α ，则 α ＝53°，tan α ＝ yx ＝12 vy tv 0 t＝v y2 v 0 ，即v yv 0 ＝2tan 53°，可见，落到斜面上的颗粒速度与水平面夹角是常数，即与斜面夹角也为常数，D 错误。

　4．如图所示，甲、乙两同学从河中 O 点出发，分别沿直线游到 A 点和 B 点后，立即沿原路线返回到 O 点， OA 、 OB 分别与水流方向平行和垂直，且 OA ＝ OB 。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间 t 甲 、 t 乙 的大小关系为(

　)

　A． t 甲 < t 乙

　B． t 甲 ＝ t 乙

　C． t 甲 > t 乙

　D．无法确定 【答案】C 【解析】设水速为 v 0 ，人在静水中的速度为 v ， OA ＝ OB ＝ x 。对甲， O → A 阶段人对地的速

　 5 度为( v ＋ v 0 )，所用时间 t 1 ＝xv ＋ v 0 ； A → O阶段人对地的速度为( v － v 0 )，所用时间 t 2 ＝xv － v 0 。所以甲所用时间 t 甲 ＝ t 1 ＋ t 2 ＝xv ＋ v 0 ＋xv － v 0 ＝2 vxv2 － v02 。对乙， O → B 阶段和 B → O 阶段的实际速度 v ′为 v 和 v 0 的合成，如图所示。由几何关系得，实际速度 v ′＝ v2 － v02 ，故乙所用时间 t 乙 ＝2 xv ′ ＝2 xv2 － v02 。t 甲t 乙 ＝vv2 － v02 >1，即 t甲 > t 乙 ，故 C 正确。

　5．如图所示，一根长为 L 的轻杆 OA ， O 端用铰链固定，轻杆靠在一个高为 h 的物块上，某时刻杆与水平方向的夹角为 θ ，物块向右运动的速度为 v ，则此时 A 点速度为(

　)

　A． Lv sin θh

　B． Lv cos θh C． Lv sin2 θh

　D． Lv cos2 θh 【答案】C 【解析】如图所示，根据运动的合成与分解可知，接触点 B 的实际运动为合运动，可将 B点运动的速度 v B ＝ v 沿垂直于杆和沿杆的方向分解成 v 2 和 v 1 ，其中 v 2 ＝ v B sin θ ＝ v sin θ为 B 点做圆周运动的线速度， v 1 ＝ v B cos θ 为 B 点沿杆运动的速度。当杆与水平方向夹角为θ 时， OB ＝hsin θ ，由于B 点的线速度为 v 2 ＝ v sin θ ＝ OBω ，所以 ω ＝ v sin θOB＝ v sin2 θh，所以 A 的线速度 v A ＝ Lω ＝ Lv sin2 θh，选项 C 正确。

　6．(多选)如图所示， B 球在水平面内做半径为 R 的匀速圆周运动，竖直平台与轨迹相切且高度为 R ，当 B 球运动到切点时，在切点正上方的 A 球水平飞出，速度大小为32 Rg ， g为重力加速度大小，要使 B 球运动一周内与 A 球相遇，则 B 球的速度大小为(

　)

　 6

　A． π32 Rg

　 B． 2π32 Rg

　 C．π 2 Rg

　 D．2π 2 Rg

　【答案】AB 【解析】

　A 球平抛运动的时间 t ＝2 Rg，水平位移大小 x ＝ v 0 t ＝ 3 R ， A 球的落点在圆周上，从上向下看有两种可能， A 球水平位移与直径的夹角均为 30°。若在 C 点相遇， B 球转过的角度为 23 π，则B 球的速度大小为 v B ＝2π3Rt＝ π32 Rg ，A 正确；若在 D 点相遇， B 球转过的角度为 43 π，则B 球的速度大小为 v B ＝4π3Rt＝ 2π32 Rg ，B 正确。

　7．军事演习中， M 点的正上方离地 H 高处的蓝军飞机以水平速度 v 1 投掷一颗炸弹攻击地面目标，反应灵敏的红军的地面高炮系统同时在 M 点右方地面上 N 点以速度 v 2 斜向左上方发射拦截炮弹，两弹恰在 M 、 N 连线的中点正上方相遇爆炸，不计空气阻力，则发射后至相遇过程(

　)

　A．两弹飞行的轨迹重合 B．初速度大小关系为 v 1 ＝ v 2

　C．拦截弹相对攻击弹做匀速直线运动 D．两弹相遇点一定在距离地面 34 H高度处 【答案】C 【解析】两弹在 M 、 N 连线的中点正上方相遇，只能说明末位置相同，不能说明运动轨迹重合，故 A 错误。由于两弹恰在 M 、 N 连线的中点正上方相遇，说明它们的水平位移大小相等，又由于运动的时间相同，所以它们在水平方向上的速度相同，即 v 2 cos θ ＝ v 1 ， θ 为 v 2 与水平方向的夹角，所以 v 2 ＞ v 1 ，故 B 错误。两弹都只受到重力，都做匀变速运动，加速度相

　 7 同，所以拦截弹相对攻击弹做匀速直线运动，故 C 正确。根据题意只知道两弹运动时间相同，但不知道拦截炮弹竖直方向初速度的具体值，所以不能判断两弹相遇点距离地面的高度，所以 D 错误。

　8．(多选)如图所示， A 、 B 、 C 三点在同一个竖直平面内，且在同一直线上，一小球若以初速度 v 1 从 A 点水平抛出，恰好能通过 B 点，从 A 点运动到 B 点所用时间为 t 1 ，到 B 点时速度与水平方向的夹角为 θ 1 ，落地时的水平位移为 x 1 ；若以初速度 v 2 从 A 点水平抛出，恰好能通过 C 点，从 A 点运动到 C 点所用时间为 t 2 ，到 C 点时速度与水平方向的夹角为 θ 2 ，落地时的水平距离为 x 2 。已知 AB 间水平距离是 BC 间水平距离的 2 倍，则(

　)

　A． v 1 ∶ v 2 ＝2∶3 B． t 1 ∶ t 2 ＝ 2∶ 3 C．tan θ 1 ∶tan θ 2 ＝2∶3 D． x 1 ∶ x 2 ＝ 2∶ 3 【答案】BD 【解析】由于 A 、 B 、 C 三点在同一个竖直平面内，且在同一直线上，所以竖直方向的位移和水平方向上位移比值一定相等；设 ABC 的连线与水平方向之间的夹角为 θ ，则 tan θ ＝ yx ＝12 gt2v 0 t，解得 t ＝ 2 v0 tan θg，则落在 ABC 的连线上时竖直方向上的分速度 v y ＝ gt ＝2 v 0 tan θ 。设速度与水平方向的夹角为 α ，有 tan α ＝ vyv 0 ＝2tan θ ，知小球到达B 点与 C 点时，速度与水平方向的夹角与初速度无关，则速度与水平方向的夹角相同，故 C 错误。

　AB 间水平距离与 AC 间水平距离之比为 2∶3；由几何关系可知，小球到达 B 点与 C 点时，竖直方向的位移之比为 yby c ＝23 ，又y ＝ 12 gt2 ，解得y ＝ 2 v02 tan 2 θg，所以 yby c ＝v 12v 22 ，可得 v1v 2 ＝23 ，故 A 错误；联立得 t1t 2 ＝v 1v 2 ＝23 ，故 B 正确；两个小球在竖直方向都做自由落体运动，所以运动的时间是相等的，水平方向的位移 x ＝ v 0 t ，联立可得 x1x 2 ＝v 1v 2 ＝23 ，故 D 正确。

　 8 9．(多选)如图所示，水平地面有一个坑，其竖直截面为半圆形， ab 为沿水平方向的直径，在 a 点分别以初速度 v 0 (已知)、2 v 0 、3 v 0 沿 ab 方向抛出三个石子并击中坑壁，且以 v 0 、2 v 0抛出的石子做平抛运动的时间相等。设以 v 0 和 3 v 0 抛出的石子做平抛运动的时间分别为 t 1和 t 3 ，击中坑壁瞬间的速度分别为 v 1 和 v 3 ，则(

　)

　A．可以求出 t 1 和 t 3

　B．不能求出 t 1 和 t 3 ，但能求出它们的比值 C．可以求出 v 1 和 v 3

　D．不能求出 v 1 和 v 3 ，但能求出它们的比值 【答案】AC 【解析】做平抛运动的物体在任意时间的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。如图 1 所示，做平抛运动的物体在任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ ，位移与水平方向的夹角为 φ ，则有 tan θ ＝2tan φ 。以 v 0 、2 v 0 抛出的石子做平抛运动的时间相等，说明竖直分位移相等，设分别落在 A 、 B 点，如图 2 所示。以 3 v 0 抛出的石子其运动轨迹与 AB 延长线的交点在 b 点的正下方。根据几何关系有 AB ＝ 13 ab 。对于落在A点的石子，设 ab ＝2 R ，根据几何关系可求得竖直位移与水平位移之比，根据上述推论求竖直分速度与水平分速度之比，从而求出竖直分速度，再合成求出 v 1 ，由公式 v y ＝ at 求 t 1 。以 3 v 0 抛出的石子落在 c 点，根据数学知识可写出其轨迹方程和圆方程，再求得 c 点的坐标，与落在 A 点的石子下落位移比较，可求得落在 c 点时的竖直分速度，从而求出 v 3 。由公式v y ＝ at 求 t 3 。故 A、C 正确，B、D 错误。

　10．如图所示，一个长直轻杆两端分别固定一个小球 A 和 B ，两球的质量均为 m ，两球半径忽略不计，杆 AB 的长度为 l ，现将杆 AB 竖直靠放在竖直墙上，轻轻振动小球 B ，使小球 B在水平地面上由静止向右运动，求当 A 球沿墙下滑距离为 l2 时A 、 B 两球的速度 v A 和 v B 的大小。(不计一切摩擦)

　 9

　【解析】

　A 、 B 两球速度的分解情况如图所示，由题意知， θ ＝30°，由运动的合成与分解得：

　v A sin θ ＝ v B cos θ

　又 A 、 B 组成的系统机械能守恒：

　mg l2 ＝12 mv2A ＋ 12 mv2B

　解得：

　v A ＝ 123 gl ， v B ＝ 12gl 。

　11．如图所示，足够长的斜面与水平面夹角 α ＝37°，斜面上有一质量 M ＝3 kg 的长木板，斜面底端挡板高度与木板厚度相同。

　m ＝1 kg 的小物块从空中某点以 v 0 ＝3 m/s 水平抛出，抛出同时木板由静止释放，小物块下降 h ＝0.8 m 掉在木板前端，碰撞时间极短可忽略不计，碰后瞬间物块...