通过声卡采集光电门数据研究大幅度阻尼单摆的振动

张世功，肖志俊，刘广群

(贵州理工学院 理学院，贵州 贵阳 550003)

光电门是大学物理实验中经常用到的计时计数仪器，可以用来验证与速度相关的机械能守恒定律等[1]。其内部有一个线性光源，向另一个接收光敏电阻发出光线。当光敏电阻接收到的光照度改变时，其阻值会发生变化，从而引起电阻两端电压的改变。然后通过单片机进行计数、计时实现对挡光时间的测量[2]。但一般的光电门只能对总时间和挡光次数进行统计，对于理想单摆等周期性实验已经可以达到使用目的。但对于非线性的实验，由于光电门设备不能对每个周期进行计时，需要利用示波器等仪器才能达到预期目的[3]。相关文献[4]从理论上研究了大摆角单摆的周期，并利用单次测量的方式进行了验证，但也未能研究周期随时间的变化。

计算机声卡的采样频率一般为44.1 kHz，时间分辨率可以达到0.023 ms。通过声卡对光电门产生的电压信号进行采样，可以实现对每一次挡光时间的准确测量，从而对非周期性振动展开详细研究。本文基于MATLAB软件通过声卡对单摆通过光电门的时间进行测量，计算了重力加速度。发现单摆周期随着时间有减小的趋势，又对大幅度初始条件的阻尼单摆进行了分析，并对空气阻尼系数进行了估计。结果显示，利用基础的简单仪器，也可以实现更复杂的物理实验深入研究。

本文利用杭州大华生产的DHTC-1型多功能微秒计配套的光电门，内部的红、黑、黄三颗线分别为电源正、负及信号线，其中电源负极与信号负极共用。通过直流电源供电，并将信号的两端与3.5 mm音频接头(左右声道也短接)相接后插入计算机的音频输入接口。单摆仪选择大华DH4605MP，测量得到摆长顶点到小球上、下边缘的长度分别为99.50 cm及101.00 cm，利用50分度游标卡尺测量小球直径为1.600 cm。由于使用平视法对摆长进行测量，米尺不能贴近上下顶点边缘，故存在1 mm的误差，本文不做误差分析，其他常规注意事项也不再列出。

接通电源后，光线射出并被对面的光敏电阻接收，当光线被遮挡时，光敏电阻上的电压信号产生突变，并被传输到声卡中。利用MATLAB的audiorecorder函数对声卡的信号进行提取，可以得到光敏电阻两端的电压信号。当单摆摆动正常后，运行程序对光电门进行数据采样，采集数据为30个周期，总时稍长于1 min，数据如图1所示，其中(a)图为采集数据的整体图，而(b)图为单次挡光的信号局部图。由于信号幅度对研究周期等振动规律无作用，图中信号进行了归一化。

图1 声卡采集的光电门原始数据

显然，当光电门被遮挡时，光敏电阻接收光照减小，电阻增大，测量电压增大。上升沿和下降沿分别为由光敏电阻从无遮挡状态变化为被遮挡状态及由被遮挡变化为无遮挡时的情况。

对原始电压信号数据进行一阶差分，上升沿和下降沿将分别变化为一个正脉冲和负脉冲，如图2所示。对该脉冲进行定位可以得到遮挡状态变化的时间信息。

图2 光电门原始数据的一阶差分

一阶差分后的信号，在原始信号上升沿和下降沿，即遮挡状态发生变化的时刻分别有一个极值。利用其对时间信息进行定位，即用所有挡光状态发生变化时(即从无遮挡状态变化为被遮挡状态和由被遮挡状态变化为无遮挡状态)对应的时间减去相应的第一个上升沿和下降沿时间，即可以得到每次挡光开始和挡光结束的时刻。结果显示，上升沿和下降沿的到时几乎完全重叠，并与周期次数呈线性关系，文中不再进行图示。第61次挡光开始和挡光结束的时间分别为60.123 4 s及60.123 9 s，这里数据已经减去了第一次挡光开始和挡光结束的时间，即这两个数据分别是利用挡光开始和挡光结束的总净时间，取其平均为60.123 6 s，为30个周期振动的总时间，周期为2.004 12 s，计算得到的重力加速度g=9.85±0.02 m/s2，误差主要来自为长度测量。

一个完整的单摆振动周期包含两次挡光过程，故振动周期可通过上升沿(或下降沿)时刻间隔一个数据进行差分得到，分别称为上升沿周期和下降沿周期，如图3所示。每一次的上升沿周期和下降沿周期都非常接近，两条线重合性较好。但相邻的周期时间(包括上升沿周期和下降沿周期)却显示了交替变化的状态，原因仍有待分析。

理想简谐振动的周期不随时间发生变化，由于空气阻尼的存在，单摆振动幅度逐渐减小。图3中的周期显然呈现了随时间(振动次数)减小的趋势。为充分研究大幅度振动初始条件单摆周期随时间(振动幅度减小过程)的变化情况，进行了长时间采样实验。受实验条件影响，再加上地球自转引起的傅科摆现象，长时间的单摆振动会逐渐变为圆锥摆。采样时间设定为500 s时，此时单摆的幅度已经衰减得较小。

初始(最大)摆角通过小球下落前到摆长重垂线的水平距离与摆长计算得到，其中测量水平距离为35.8 cm，摆长为1.002 m，估计初始摆角为arcsin(0.358/1.002)≈21°，已远超5°。

首先，小幅(小角度)振动的单摆近似为理想的简谐振动，前文已经利用小幅振动周期对重力加速度进行了计算。但实验中的初始摆角达到了近21°，明显不是理想的简谐振动，需要利用大摆角的单摆理论进行模拟仿真。

式(1)为Lindstedt-Poincare摄动法[5]获得的大幅单摆近似周期公式

(1)

对大幅单摆周期进行计算，式中T为周期、ω0为理想单摆的角频率、a为摆角、φ为与摆角相关的积分变量。这个积分实际是第一类椭圆积分，可以通过查表获得，也可以利用数值计算方法得到，摆角为21°时的单摆周期为2.018 5 s。

采集得到的原始数据及其一阶差分信号不再进行展示。图4为存在阻尼情况及大幅角初始条件的单摆周期随时间的变化图。初始时刻的单摆周期略小于2.02 s，与理论计算的2.018 5 s相当，验证了摄动法求解大振幅单摆周期的正确性。

大幅单摆的周期随着时间推移逐渐变小，这实际上是因为阻尼的存在使摆幅(摆角)逐渐减小，所以周期也随时间减小。图中上升沿周期、下降沿周期和平均周期几乎完全重叠。在接近500 s时刻，摆角小于5°，单摆周期略小于2.005 s，与前文的2.004 12基本一致。但同时发现，周期还存在继续下降趋势，但实验已难以进行，实验小球会存在大概率碰撞光电门门架。图4中的周期随时间的变化曲线不甚光滑，存在小的突变，可能是实验条件或程序运行计时的问题。

Time/s

由于空气阻尼的影响，单摆幅度逐渐减小，周期也逐渐减小，可以利用单摆每次通过平衡位置的速度与时间的关系对空气的阻尼系数进行估计。

为了测量小球通过平衡位置时的速度，实验用了1.80 mm管径的黑色细管穿在摆线外面，紧靠在小球上方。利用相邻上升沿和下降沿的时差计算小球通过平衡位置的速度。小球静止时，光电门的光线刚好照射在细管的中间部分，所以光线照射的位置可视为单摆的平衡位置。

小球通过平衡位置时的速度(称其为低位速度)随时间的变化如图5中的“×”所示，低位速度随时间推移也逐渐减小。利用初始摆角和摆长可以计算得到首次通过平衡位置的最大速率为1.144 m/s，与图5中的初始低位速度实验值趋势较为接近。

图5中的另外四条彩色点线为拟合的低位速度随时间的变化，拟合公式分别采用了v=(p+qt)-n和v=v0e-δt。拟合结果见表1所示。表中还通过积分的方法对加速度与速度的关系以及初始速度等进行了计算。

时间/s

为了估计空气阻尼，并为使问题简单化，假设连续低位速度为直线运动的速度，时间对应原来的时间，对空气阻尼进行计算，结果如表1.表中前两行的拟合结果存在物理意义问题，即初速度大小为负，阻尼系数为正，不再进行讨论。所有拟合的公式中以1.5方的确定系数R2最接近1，说明公式

表1 存在空气阻尼情况的速度拟合情况

v=(p+qt)-3/2

(2)

中的速度与时间的的关系与实验值最接近，这一点与文献[6]的结论相当。但拟合的初速度(3.00 m/s)却与初始条件计算的结果(1.16 m/s)有些出入，但却与e指数公式拟合的初速度(1.087 m/s)吻合程度高。

不同公式拟合的空气阻尼系数均在0.01附近或0.008 9～0.020 6之间，与文献[7]中的空气阻尼系数相当。由于单摆周期测量存在诸多系统误差因素[8]，结果仍有待进一步的实验证明。

利用MATLAB通过声卡对光电门数据进行了采集，对存在阻尼情况下的大幅度单摆进行了研究，采集数据可对每一次挡光状态变化的时刻进行时间定位，以此为基础对大幅度单摆的周期进行了测量，结果表明：由于阻尼的存在，大幅度单摆的周期随时间呈指数下降，通过对低位速度的测量与数值拟合，发现速度也呈指数下降，拟合结果的初始低位速度与阻尼系数与实际情况相当，为简单仪器测量复杂实验提供了技术支撑。