多题一解,培养运算素养——齐次化在2022年高考圆锥曲线题中的应用
来源:优秀文章 发布时间:2023-04-09 点击:
崔 征
⦿湖北省宜昌市葛洲坝中学
夏咏芳
⦿湖北省宜昌市夷陵中学
圆锥曲线的相关问题是高考数学考查的一个热点,这类问题的特点是计算量较大,平时的复习备考不仅要掌握常规方法和基本技能技巧,还要注意归纳总结,对于特定的问题,还要学习一些特定的方法.如果题目中出现两直线斜率之和或者之积的条件时,常常可以利用齐次化的方法大大降低计算量.接下来我们一起看看2022年的几道高考题是如何用齐次化的方法简化计算的.
[(x-2)+2]2-2[(y-1)+1]2=2.
整理双曲线方程,得
[(x-2)+2]2-2[(y-1)+1]2=2,
即(x-2)2+4(x-2)-2(y-1)2-4(y-1)=0.
将双曲线与直线方程联立,构造齐次式得
(x-2)2+4(x-2)[m(x-2)+n(y-1)]-2×(y-1)2-4(y-1)[m(x-2)+n(y-1)]=0,
两边同时除以(x-2)2,可得
(-2-4n)k2+(4n-4m)k+1+4m=0.
解得n=m,代入直线l,可得l的斜率为-1.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于M,N,当|MN|=2时,求k的值.
椭圆方程可变形为x2+4[(y-1)+1]2=4,展开得x2+4(y-1)2+8(y-1)=0,齐次化,可得
由Δ=-32n>0,得n<0.
直线lAB方程为y=t1x+1,直线lAC方程为y=t2x+1,则两直线与x轴的交点分别为
点评:该题第(2)问的主要线索是|MN|=2,我们可以把|MN|的长度用AB,AC的斜率表示出来,但凡碰到有斜率之和或者斜率之积,或者斜率之差,都可以用这种齐次化的方式来简化计算.
图1
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;
(2)求|CD|的最小值.
其实不仅在2022年的高考中,齐次化能发挥重大作用,在往年的高考中不少圆锥曲线问题都可以用齐次化大大地简化运算,比如2020年山东卷中解析几何大题也可以用齐次化法简化计算,读者朋友不妨尝试一下.关于齐次化,大家还需要注意一下几点:
(1)如果圆锥曲线的题目里出现斜率之和或者斜率之积,或者斜率之差等条件,那么就可以尝试用齐次化来解决.
(2)如果直线经过的点在曲线外,曲线与直线联立后往往不仅会剩下一次项,还会剩下常数项,这个时候也可以秉承齐次化的思想加以处理,将1平方就可以构造出二次项了.
(3)齐次化的方法不仅可以解决与椭圆有关的定点定值问题,同样也适用于双曲线和抛物线,在这里就不做过多的赘述了.
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