大跨度铁路桥梁变形弦测法评价的频域理论

晋智斌，陆 军，金 秋，张宇杰，何 鑫

(1.西南交通大学土木工程学院，成都 610031；

2.中国市政工程西南设计研究总院有限公司，成都 610084)

我国沿海沿江地区提出了建造高速铁路超大跨度桥梁的需求，目前已建成2座千米级主跨的高铁桥梁，即沪苏通大桥(主跨1 092 m)和五峰山大桥(主跨1 092 m)。超大跨度桥梁大多采用缆索承重体系，其结构刚度小，温度和列车荷载引起的变形显著。高速列车在桥上的走行性成为超大跨桥梁方案的控制因素。

为控制桥梁下挠，呼准铁路黄河特大桥(预应力混凝土刚构连续梁)采用调整钢束张拉顺序、二期恒载上桥时间及预留体外预应力束等措施[1]。三内丸山跨线桥选用刚度较大的矮塔斜拉桥结构体系，并采用了斜拉索防晒隔热系统来控制与季节相关的桥梁变形[2]。

《铁路桥涵设计规范》[3]中以挠跨比控制中小跨度桥梁刚度；
对于大跨度桥梁，一般认为可以放松其挠跨比限值；
陈克坚等[4]认为大跨度铁路钢桁梁斜拉桥竖向刚度可适当偏低，竖向挠跨比设计值可取为1/500或1/800；
陈卓[5]认为车辆经过大跨度桥梁时，车辆最大响应并非出现在跨中，挠跨比不适合作为大跨度桥梁竖向刚度控制指标。

高芒芒、赵会东等[6]指出弦测法适合作为大跨度桥面静态不平顺的控制指标，建议用40 m中点弦测矢度控制高速铁路桥梁变形；
郑晓龙等[7]以某上承式铁路拱桥为研究对象，研究了温度和收缩徐变引起的长波不平顺对列车动力响应的影响，建议以40 m弦测矢度5.5 mm作为桥梁变形的控制限值；
刘超等[8]以百合郁江特大桥为例，采用60 m弦测评价梁面线形；
杨飞等[9]还根据轨检车实测数据，拟合出60 m弦测幅值与车辆振动加速度的关系，据此给出了弦测矢度的限值；
魏贤奎等[10]采用10 m弦测法评价某大跨度斜拉桥高低和水平偏差；
柏华军、文望青等[11]建议当铁路桥跨度增大时，可采取设置过渡梁、增加辅助跨等方法控制梁端转角。

近年来，弦测矢度逐渐被接纳作为大跨桥梁变形控制的指标。弦测法的弦长和矢度限值主要依靠轨检车实测数据归纳和经验判断。虽然路基与桥梁上轨道不平顺的特征有较大差别，在缺少大跨桥上实测数据时，只能采用路基线路数据进行推算。当运营车型、车速、轨道不平顺等条件发生变化时，尚需重新积累实测数据拟定弦长和矢度限值。对于如何确定最优弦长和矢度限值这一基本问题，理论研究尚显不足。

从车辆振动频域理论入手，阐释弦测法反映车辆振动水平的基本原理。从频响函数相似的角度，给出最优弦长的确定方法，并用频域响应给出车辆振动加速度与弦测值矢度的关系。

弦测法是一种测量轨道高低、轨向不平顺的方法，利用车体与3个轮对，在车辆上建立测量“基准线”进行轨道高低和轨向测量[12-16]。将检测车前后两轮与轨道接触点的连线作为测量基准线，中间轮与轨道接触点偏离基准线的大小作为高低不平顺的测量结果，即矢度值。图1为弦测法测量原理。

图1 弦测法原理示意

轨道不平顺里程x处的弦测矢度值用M(x)来表示。设弦测中测点位置为x，则前后测点位置分别为x+L/2和x-L/2；
相应位置轨道不平顺值为f(x+L/2)和f(x-L/2)。由于轨道不平顺f(x)远小于弦测长度L，弦测矢度值M(x)和轨道不平顺f(x)的关系如下

(1)

(2)

弦测法幅值的频响函数HL(Ω)是弦测矢度与简谐激励的比值，即

(3)

图2 简谐激励下的弦测法原理

根据式(3)，画出10，30，40，60 m弦长中点弦测法幅值的频响函数，如图3所示。从图3及式(3)分析，弦测法的频响函数有如下特征：在波长为弦长奇数分之一处取得最大值2，波长为弦长偶数分之一处取得最小值0；
在波长大于弦长后，频响函数单调递减。

图3 弦测法频响函数

车辆振动加速度频响函数推导兹简述如下[17]，两系悬挂垂向振动模型如图4所示。模型共有6个自由度，分别为车体沉浮与点头，前后转向架的沉浮与点头。图4中，Mc为车体质量；
Jc为车体点头转动惯量；
Mb为转向架质量；
Ks和Kp分别为二系垂向悬挂刚度和一系垂向悬挂刚度；
Cs和Cp分别为二系垂向悬挂阻尼和一系垂向悬挂阻尼；
zc和φc分别为车体竖向位移和点头位移；
zb1和zb2分别为前后转向架的沉浮位移；
lc为列车定距之半；
lt为转向架轴距之半。

图4 两系悬挂车辆竖向振动模型

根据上述车辆模型，推导车辆加速度的频响函数。每个轮对下的轨面变形输入具有固定的相位差。若第1个轮对下的轨道简谐输入为eiωt(其中，i为虚数单位；
ω为轨面变形激励的频率ω=2πν/λ；
λ为激励波长；
ν为车速)，则第2个轮对的输入为ei(ωt-β1)，第3个轮对的输入为ei(ωt-β2)，第4个轮对的输入为ei(ωt-β3)。其中，β1，β2，β3为第2，第3和第4轮对输入相对于第1轮对输入的滞后相位。由图4中各轮对之间的距离关系可知：β1=4πlt/λ，β2=4πlc/λ，β3=β1+β2。

车体加速度的测量位置是在转向架正上方，因而，车体的沉浮和点头振动对测量加速度均有贡献。

(1)车体沉浮运动频响函数

式(4)中，z1=(zb1+zb2)/2，为前后两个转向架沉浮的均值；
qzeiωt为4个轮对下的轨道输入车辆平均沉浮激励，即

(5)

式(4)可进一步写成

(6)

由式(6)可以求得车辆沉浮振动频率响应函数为

Hz(ω)=

(7)

根据加速度频响函数与位移频响函数的关系，可得沉浮加速度频响函数为

(8)

(2)车体点头运动频响函数

在简谐激励下，车体点头与前后转向架沉浮差值的耦合振动方程为

(9)

式(9)中，z2=(zb1-zb2)/2，为前后转向架沉浮差值；
qφeiωt为4个轮对下轨道对车体的点头激励，是前后转向架下垂向激励差值的一半，即

(10)

(11)

(3)转向架上方车体加速度频响函数

(12)

式中，“±”号分别为前后转向架上方的车体测点加速度。

按式(12)计算，图5给出某高速车辆转向架上方车体加速度的频响函数曲线，车辆运行速度为250 km/h。

图5 车辆加速度频响函数曲线

从图5可见，车辆垂向加速度频响曲线有2个峰值点，激励波长λν1=42.7 m处对应于车辆的第一阶自振频率，激励波长λν2=11.4 m处对应于车辆的第二阶自振频率。

从振动频域分析理论可知，若两个物理系统的频响函数在所有波长范围内成比例关系，则无论输入的频谱如何，在相同的输入下，两个系统响应总是成比例的。据此原理，为使得弦测法确切地反映车辆加速度，应令弦测法频响函数尽量接近车辆振动频响函数。弦测法和车辆加速度频响函数逼近原则如下。

(1)弦测法能反映车辆频响函数的长波单调衰减段。弦测法单调衰减段是激励波长大于弦长的区段(即λ>L)。车辆频响函数的单调衰减段是波长大于车辆第一阶频率对应波长的区段(即λ>λν1)。因此，弦测法的弦长L应不超过λν1；
否则弦测法频响函数在超过λν1后还有一个峰值，不满足单调衰减条件。

(2)弦测法能反映车辆频响函数短波段的峰值。弦测法在λ=(1，1/3，1/5，1/7，…)L，即弦长奇数分之一处取得最大值；
车辆频响函数在短波段λ=λν2处取得峰值，其中，λν2为车辆第二阶自振频率对应的激励波长。因此，弦测法的弦长应等于车辆第二阶自振频率对应波长的奇数倍，即L=(1，3，5，7，…)λν2。

以某速度250 km/h的车辆为例，用上述思路确定最优波长。按式(12)算出车辆加速度频率响应函数，表达为幅值-波长关系如图6所示。从图6中可见，车辆两个敏感波长分别是42.7 m和11.4 m，则弦测法弦长应选择(1，3，5，7，…)×11.5 m<42.7 m，筛选出弦长为3×11.4 m=34.2 m。

图6 列车频响函数与弦测幅值频响函数的最佳逼近

由于轨道对车辆激励时间的频率ω与车速ν及激励波长λ之间的关系是ω=2πν/λ，车辆的敏感波长与车速成正比。因此，弦测最优弦测也与车速成正比。以图6中车辆频响函数为例，在车速200～350 km/h范围内，其最优弦长见表1。

表1 车速200～350 km/h对应的弦测法最优弦长

弦测法评价桥梁变形的思路是认为轨面弦测矢度与车辆加速度之间呈线性关系，通过限定弦测幅值来间接控制车辆加速度，通过动检车实测数据回归出这一线性关系[9]。本节从随机振动理论出发，给出弦测矢度与车辆加速度的关系，以便在缺乏实测数据的场合应用。

设中点弦测法矢度值的标准差为σ2，则其与轨道不平顺功率谱密度的关系为

(13)

式中，S(Ω)为轨道不平顺谱空间域表达式；
HL(Ω)为弦测法幅值的频响函数，见式(3)。

根据随机振动理论，车辆竖向振动加速度的标准差σp与不平顺谱关系为

(14)

式中，Hp(ω)为车体转向架上方加速度对轨道高低不平顺的频响函数，见式(12)；
S(ω)为轨道不平顺谱的时间表达，其与轨道不平顺谱空间域S(Ω)的表达关系为

S(ω)=S(Ω)/v

(15)

(16)

式中，ν为均值穿越率，即每米范围内样本历程正向穿过均值次数；
T为样本长度。

按第3节频响函数相似原则选定最优弦长，其弦测矢度频响函数与车辆加速度频响函数形状接近；
在相同的轨道不平顺激励下，车辆加速度和弦测矢度实测的平均频率接近。因此，这两个过程可以采用相同的峰值系数。据此，车辆加速度峰值与弦测法峰值之比就是二者的标准差比，即

r=σ2/σp

(17)

上述比值也可以采用时域方法统计得到。即按给定轨道不平顺激励(实测或模拟)，再输入车辆-轨道动力仿真程序[19]，进行时域动力分析得到车辆加速度历程y(x)。同时，计算轨道激励的弦测矢度历程z(x)，则弦测矢度与加速度比值r为max|z(x)|/max|y(x)|。

以德国低干扰谱、中国高速有砟谱和中国高速无砟谱为激励，按照时域法计算的比值r如图7所示。其中，弦测法弦长为40 m，车速为250 km/h。鉴于轨道激励的随机性，不同样本算出的r值略有差异，文中生成30个样本进行统计，图中还给出了r值95%、90%以及85%分位数(分别为均值减去1.65、1.28和1.03倍的标准差)。

图7 40 m弦测法的r时域统计

时域法和频域法得到的弦测矢度与车辆加速度比值对比见表2。时域样本具有一定的离散性，由表2可得，其平均值为11 mm·s2/m。

表2 轨道随机不平顺激励下比值r的频域解与时域解对比(弦测40 m，车速250 km/h)

弦测法最优弦长在频域上使得弦测矢度和车辆加速度频响函数尽量接近，在时域上表现为：

①弦测矢度历程z(x)和车辆加速度历程y(x)的波形相似；
②二者幅值max|z(x)|/max|y(x)|(即r值)较稳定，对激励波长范围和波长成分不敏感。

5.1 波形相似系数

考察不同弦长的弦测矢度值时程和车体加速度时程的相似性，来评判弦测法弦长选取的优劣。根据德国低干扰谱生成轨道不平顺样本，计算该样本的弦测法矢度；
另外将轨道不平顺样本输入车辆-轨道动力分析程序[19]，计算得出车体转向架上方的加速度。分别比较34，40，60 m弦长矢度值与车辆加速度的相似性。车辆加速度频响函数如图5所示，车速为250 km/h。轨道不平顺的矢度与车辆加速度历程见图8。大致可看出，车体加速度时程与34 m和40 m弦测矢度值较为接近，而与60 m弦测法矢度值偏差较大。说明车速为250 km/h下，34，40 m弦测法矢度值均可较好地反映列车加速度响应规律。

图8 转向架上方车体加速度与弦测矢度时程曲线

为定量评估弦测法矢度值的时程曲线与车体加速度时程曲线的相关性，以弦测法矢度与车体加速度时程的互相关函数作为波形相似系数Ryz

(18)

式中，Δ为弦测法矢度值的时程曲线与车体加速度时程曲线里程差。

图9给出不同弦长弦测矢度值与车体加速度的波形相似系数关系。由图9可看出，60 m弦测法矢度时程曲线与车体加速度时程曲线的互相关系数较低，仅为0.40。而34 m和40 m弦测法矢度值的时程曲线与车体加速度的时程曲线互相关系数较高，其中，34 m弦测法矢度值的时程曲线与车体加速度时程曲线互相关系数最高，为0.64；
40 m弦测法矢度值时程曲线与车体加速度时程曲线互相关系为0.61，略小于34 m弦测法。说明按照第3节原则可得到优选的弦长。

图9 不同弦长弦测法矢度时程曲线与车体加速度时程曲线的互相关系数

需要说明的是，3种弦测法时程与车体加速度时程的峰值有一定时间差，其原理见图10。图中箭头代表轮对位置，弦测矢度值时程起点为轨检车后轮对测点，而车体加速度时程起点为车辆第一轮对。由于弦测法测试的是弦长中心点，车体加速度测试位置是在构架中心正上方，在图10的测量起点下，弦测矢度和车辆加速度的初始相位差即为图中的Δ。显然，这一相位差并不影响弦测矢度与车辆加速度的相关性。为直观起见，图8和图9是减掉这一初始相位差后的结果。

图10 弦测法时程与车体加速度时程初始相位差Δ(单位：m)

另外，可从图8中统计各时程的平均频率(即均值穿越率)。在T=650 m的历程中，34 m弦测矢度和车辆振动加速度的正向穿越次数vT分别为34次和35次，按式(16)换算成峰值系数差别为0.35%。这从样本层面说明了推导式(17)时采用的相同峰值系数的合理性。

5.2 波长范围敏感性

从图6可知，在不同的波长范围内，弦测法频响函数和车辆加速度频响函数的接近程度不同，因此，随机不平顺的波长范围对二者峰值比r有一定影响。车辆加速度频响函数如图5所示，其车速为250 km/h。随机不平顺的波长上限为5～80 m，波长下限为2 m。根据频域理论(式(17))计算得到比值r。

34，40，60 m弦长弦测法在德国低干扰谱不同随机不平顺波段的r值如图11所示。从图11中可见，在波长上限超过40 m后，34 m弦长弦测法比值r的变化不明显，最后持平于10.23左右，说明其对波长范围敏感性不强。60 m弦测的r值随波长范围变动最明显，而40 m弦长的r值随波长范围的变动程度居中。可见，从波长敏感度方面，第3节给出的是优选弦长。

大跨度桥梁变形的长波成分显著，若r值对波长上限不敏感，说明弦测矢度限值不依赖于桥梁具体跨度，通用性高。图11中波长上限在40 m以下时r值波动较大，但由于轨道随机不平顺的波长上限一般大于40 m，因此，小于40 m波长部分的波动并不影响弦测法限值选定。

图11 波长范围对峰值比r的影响

5.3 谱型敏感性

在不同类型的轨道不平顺谱激励下，弦测矢度和车辆加速度比值r也会出现变动。比值r随谱型的变动越小，则弦长选取越好。以德国低干扰谱、中国高速有砟谱以及中国高速无砟谱为激励，按式(17)计算34，40，60 m弦长矢度的r值。计算中，车辆加速度频响函数如图5所示，车速为250 km/h，随机不平顺的波长范围是2～80 m。

不同谱型不平顺激励下，各弦长测弦测法和车辆加速度峰值比r如图12所示。34 m弦长弦测法比值r随谱型的变化不明显，最大偏差仅有3.55%；
40 m弦测矢度的不同谱型间比值r最大偏差为8.79%；
60 m弦测的r值对于不同谱型变动最显著，不同谱型间比值r最大偏差达15.64%。可见，从谱型敏感度方面，第3节给出的是优选弦长。

图12 3种弦测法对于不同谱型的r值

以某主跨1 092 m的高速铁路斜拉桥为例，考察上述变形控制方法可行性。桥梁立面如图13所示。统计该桥多次轨道实测不平顺和根据实测不平顺模拟的车辆加速度，计算桥上轨道实测不平顺的弦测法幅值与加速度峰值比r，考察40 m弦测法弦测矢度与车辆加速度比值与理论比值是否相符。

图13 某高速铁路斜拉桥立面(单位：m)

本实例的轨道几何采用轨检小车参照CPⅢ点测得，数据中包含长波成分。将波长200 m以上由曲率控制的成分滤掉；
再将滤波后的斜拉桥轨道实测不平顺输入车辆-轨道动力学模拟程序[19]计算车辆加速度。图14给出了滤波后的1条轨道实测不平顺及其激励下的模拟车辆加速度。车辆加速度的观测点位于车体转向架正上方的位置。根据车速(250 km/h)和桥上轨道不平顺波长范围(2～200 m)，可知图14中车辆加速度的频率范围是0.35～35 Hz。《机车车辆动力学性能评定及试验鉴定规范》[18]要求车体加速度传感器的工作频率范围为0～100 Hz，车辆垂向加速度的截断频率范围是0.4～40 Hz，这与车辆模拟加速度频段范围接近，因此，对模拟加速度不再作滤波处理。

图14 轨道实测不平顺值和模拟的车辆加速度

按照上述过程，计算多次实测桥上轨道不平顺样本的弦测峰值与车体垂向加速度峰值，求出二者的比值r，如图15所示。图中还给出了r值95%、90%以及85%分位数(分别为均值减去1.65、1.28和1.03倍的标准差)。

图15 实测轨道不平顺40 m弦测法峰值比

实测比值与理论比值数据对比见表3，表3中理论值是对应于中国有砟轨道随机不平顺的结果。从表中可以看出，实测比值与理论比值的偏差较小(仅1.98%)。

《高速铁路有砟轨道线路维修规则》[20]的车体垂向加速度av划分为4级：经常保养1.0 m/s2，舒适度1.5 m/s2，临时补修2.0 m/s2，限速2.5 m/s2。车辆垂向加速度限值可根据表3的比值r换算为弦测矢度限值av×r。其中，r的平均值为11 mm·s2/m。

表3 弦测矢度与车辆加速度比值r的实测与理论值 mm·s2/m

近年来，工程界逐渐认识到弦测法矢度是反映大跨桥梁行车舒适性的有效指标。但弦测法桥梁变形控制的关键参数依赖实测数据和工程经验。从频域分析出发，为基于弦测法的大跨桥梁变形控制提供一些理论依据，主要研究成果如下。

(1)阐明了弦测法控制大跨桥梁变形的原理。发现了弦测矢度与车辆加速度二者频响函数之间形状相似，是弦测法有效的主要原因。

(2)给出了弦测法最优弦长的选取原则。最优弦长为车辆第二阶自振频率对应激励波长的奇数倍，接近但小于车辆第一阶自振频率对应的激励波长。

(3)基于随机振动理论，得到了弦测矢度与车体加速度峰值之比的表达式。根据该峰值比，可将车辆加速度限值转化为弦测矢度的限值。

(4)从时域波形相似性、峰值比稳定性等角度，论证了最优弦长的选取原则。发现最优弦长的弦测波形与车辆加速度波形相似性最好；
最优弦长的峰值比对不平顺波长范围及轨道随机不平顺谱函数形式均不敏感。

(5)以车速250 km/h的高速车辆为例，建议实际工程中采用40 m弦长，峰值比为11 mm·s2/m。利用某超大跨度铁路桥梁实测轨道线形数据，检验了峰值比表达式的准确性。