典型电路中的U-I图像问题分析

福建龙岩市上杭县溪口中学（364221）罗春亮

在学习部分电路欧姆定律时，应用U-I图像解答相关问题是常考知识点。中考中，有时也会通过已知的U-I图像所提供的信息，考查学生运用串联或并联电路的特点及欧姆定律解决相关问题的能力，而从U-I图像中提取有用的信息是解题的关键。

U-I图像反映的是通过电阻的电流随它两端的电压变化的关系。当研究的电阻阻值恒定时，它的U-I图像是一条通过原点的倾斜直线（如图1）；
当研究的电阻阻值随着某些物理量的变化而变化时，它的U-I图像便会是一条过原点的曲线（如图2）。但是，不论是直线还是曲线，除通过图线可直接读出的电压与电流的信息外，图像的几个重要信息也有重要且特殊的物理意义。

图1

图2

1.原点。过原点表示当电阻两端所加电压为0时，通过电阻的电流也为0。

2.斜率。根据数学知识可知，斜率的公式为k=ΔU/ΔI，这一公式很容易让人联想起R=U/I，认为斜率大小就是阻值大小。这是对阻值定义以及几何知识理解不透彻的缘故。结合图1 和图2，并以两图中的A点为研究对象，当图线是直线时，有k=ΔU/ΔI=tanθ，R=U0/I0=tanθ，可见这种情况下图像的斜率与阻值的大小相等；
当图线为曲线时，有k=ΔU/ΔI=tanβ，R=U0/I0=tanα，可见这种情况下图像的斜率与阻值的大小不相等。因此，当运用斜率信息时，一定要注意图线的曲直。

3.面积。图线与坐标轴所围的面积也是一个重要的物理量，如图1 所示，以A点为研究对象，利用U-I图像中图线与坐标轴所围的面积可以计算电阻消耗的功率。

只要准确把握U-I图像中几个关键点的物理意义，就能获取U-I图像中的相关信息并运用这些信息解决问题。下面我们结合一些典型例题进行分析探讨。

（一）直接读图解决问题

此类题是最简单的一种考查题，通常可以直接通过题给U-I图像得出解题需要的信息。但是需要注意的是，为了提高题目的难度，更是为了考查学生的读图能力，命题者通常会在截距、坐标原点、单位等细微处设置陷阱，如果读图时不细心，就会容易出错。

【例1】在某次实验过程中，小兰所在小组画出如图3 所示的U-I图像，对此图的解读，下列选项中正确的是（ ）。

图3

A.小兰他们所用电源的电动势为2.0 V

B.小兰他们所用电源的内阻为4 Ω

C.小兰他们所用电源的短路电流为0.5 A

D.当电流为0.5 A时，电路中所接电阻阻值为0

解析：本题的命题陷阱显而易见是坐标原点的改动，纵轴表示电压的原点并非从0 开始，如果求电源内阻直接列式r=2.0 V ÷ 0.5 A=4 Ω，显然就错了。根据U-I图像中图线与纵轴的截距即电源的电动势可知，小兰他们所用电源的电动势为2.0 V，选项A 正确。图线的斜率k=ΔU/ΔI，由于图3中纵轴并非从0 点开始，故计算时一定要注意ΔU的正确取值应为2.0 V-1.8 V=0.2 V，故小兰他们所用电源的内阻r=0.2 V ÷ 0.5 A=0.4 Ω，选项B错误。当电流为0.5 A时，通过读图可知路端电压为1.8 V，电源的电动势为2.0 V，显然小兰他们所用电源的短路电流必大于0.5 A，选项C 错误。读图可知，当电流为0.5 A时，路端电压为1.8 V，经计算可知电源内阻为0.4 Ω，由欧姆定律可得此时电路中所接电阻的阻值R=E/I-r=2.0 ÷ 0.5-0.4=3.6（Ω），选项D错误。

（二）复杂电路结合U-I 图像考查电功率的计算

将串、并联电路与U-I图像相结合，把某些重要信息隐藏其中，考查电功率的计算，这类题通常涉及极值问题，比如电阻的最大值、最小值。另外，还要考虑某些电学元件的性质，比如灯泡、光敏电阻等的阻值会变化，只有考虑全面，才能正确解题。解答此类题，准确读图是关键。

［例2］某实验小组探究小灯泡的电压与电流关系。实验电路如图4 所示，图中电源选用5 V 的恒定电源，电压表量程为0～3 V，电流表量程为0～0.6 A，R2的阻值为2 Ω，待测灯泡L 的额定电压为4 V。图5是通过实验结果绘制的U-I图像。求：

图4

图5

（1）待测灯泡L正常发光时的电阻；

（2）断开开关S2和S3、闭合开关S1时，滑动变阻器R1可接入电路中的阻值大小范围。

解析：（1）本题U-I图像中的图线并不是一条直线，对解题有一定的迷惑性。由于要求“待测灯泡L 正常发光时的电阻”，“正常发光”时待测电阻两端电压应该为额定电压，即UL=U额=4 V，则由U-I图像可知，此时IL=0.4 A，则有：

（2）断开开关S2和S3、闭合开关S1时，滑动变阻器R1与待测灯泡串联。由串联电路性质可知，当待测灯泡正常发光时，滑动变阻器接入电路中的电压最小，则有：

U小=U-UL=5 V-4 V=1 V

此时滑动变阻器接入的电阻最小值为：

根据电压表的量程可知，滑动变阻器两端电压的最大值应为U1大=3 V。根据串联电路中电压的性质可知，待测灯泡两端的最小电压UL′=U-U1大=5V-3V=2V。

通过所给U-I图像可知，当待测灯泡两端电压为2 V时，电流I3=0.3 A。

根据串联电路电流性质可知，通过滑动变阻器的电流也为I3=0.3 A，所以此时滑动变阻器接入电路的电阻最大值为：

由此可知，当断开开关S2和S3、闭合开关S1时，滑动变阻器R1可接入电路中的阻值大小范围为2.5～10 Ω。

（三）画U-I图线，解决电路问题

当想判断电路中电阻的变化与电流、电压的关系时，通常的做法是通过欧姆定律进行计算，但是这种方法往往比较复杂，而运用作图法可以将一些复杂的计算简化。有些问题通过画U-I图像，根据图线的斜率变化情况可以判断电阻的变化与电流、电压的关系。

［例3］如图6 所示，当开关S 闭合、滑动变阻器R2的滑片P向下滑时，电路中连接的电流表和电压表的示数都会变化，已知R1是定值电阻，如果用I、U1、U2、U3分别表示电表的示数，用ΔI、ΔU1、ΔU2、ΔU3分别表示电表示数的变化量，则下列判断错误的是（ ）。

图6

A.U1/I的值不变，ΔU1/ΔI的值不变

B.U2/I的值变大，ΔU2/ΔI的值变大

C.U2/I的值变大，ΔU2/ΔI的值不变

D.U3/I的值变大，ΔU3/ΔI的值不变

解析：分析电路图，发现电阻R1和R2是串联关系，其中电压表V1测R1两端电压，电压表V2测R2两端电压，电压表V3测外接电路电压，电流表A 测外接电路电流。因为电阻R1是定值电阻，故U1/I=ΔU1/ΔI=R1，不论如何移动滑动变阻器的滑片，其值保持不变，故选项A 正确。由R1+R2=U3/I，如图7 所示，先画出电源的U-I图像，再在这个图中继续画出R1+R2的U-I图线（图7中虚线OM），当滑动变阻器R2的滑片P向下滑时，滑动变阻器接入电路中的阻值R2变大，因此R1+R2的值变大，可画出变化后的R1+R2的U-I图线（图7中实线ON），比较U-I图像中OM和ON的斜率（即U3/I的值），可看出U3/I的值变大；
因为ΔU3/ΔI的值为电源的U-I图线的斜率（物理意义为电源内阻），从图中看出ΔU3/ΔI的值不变，因此选项D 正确。同样，还可以将电源内阻等同于R1+r，画出如图8 所示的新电源的U-I图像，再在其上画出滑动变阻器R2的U-I图线，根据R2的大小画出两条图线OP和OQ并比较，可直观看出U2/I的值变大，ΔU2/ΔI的值不变，选项C正确。利用排除法可知本题应选B。有兴趣的读者可以用画图法判断U2/I和ΔU2/ΔI的变化情况。

图7

图8

（四）利用U-I图像计算电功率

在直流电路中，我们常用伏安特性曲线来描绘某元件的电压和电流关系，它们除能让我们直观地感受元件的电压和电流的关系外，还能帮助我们计算电阻类元件的实际功率。这类问题有个共同点，即电源和电阻类元件的U-I图像中有一条是曲线。在同一个U-I图像上作出两个研究元件的U-I图线时，两条图线的交点反映了元件的电压和电流，横、纵坐标的乘积即对应时刻元件消耗的实际功率。

［例4］如图9 所示，是小明所在实验小组绘制的一段导体的伏安特性曲线，当小明将一个阻值为18 Ω 的定值电阻同该段导体一起串联到一个电动势为9 V 的电源上时，若电源的内阻不计，求该段导体的实际功率。

图9

解析：题中所给伏安特性曲线是一条曲线，显然想要利用列式法求解比较困难。而且，研究对象还与一个定值电阻串联在一起，给解题也带来了一定的麻烦。这时，我们可以将定值电阻和电源视为一个整体来分析，将定值电阻视为电源的内阻，如此，就能在题给U-I图像中作出等效电源的伏安特性曲线，如图10 所示。两条图线的交点的横、纵坐标即为该段导体两端的电压和通过等效电源的电流，用作图法可快速读出交点坐标为（3，0.33），即该段导体两端电压和通过它的电流分别为3 V和0.33 A，则它消耗的实际功率为P=UI=3 V ×0.33 A=0.99 W。

图10

以上，只是对U-I图像问题的解决和应用做了简单的归纳。在教学过程中，教师应注意引导学生多总结、多思考，这样学生对相关问题的理解更深入，也会发现更多的U-I图像的妙用。物理离不开数学，跨学科的综合应用不仅能提高学生的物理学习能力，还能促进学生综合素质的提高。