第43炼,线性规划——作图与求解
来源：程序员 发布时间：2020-10-13 点击：
第 43 炼 线性规划——作图与求解 一、基础知识 1、相关术语：
（1）线性约束条件：关于变量 , x y 的一次不等式（或方程）组 （2）可行解：满足线性约束条件的解 , x y
（3）可行域：所有可行解组成的集合 （4）目标函数：关于 , x y 的函数解析式 （5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解 2、如何在直角坐标系中作出可行域：
（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线 （2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况：
① 竖直线 x a 或水平线 y b ：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断 ② 一般直线 0 y kx b kb ：可代入 0,0 点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。例如：不等式 2 3 0 x y ，代入 0,0 符合不等式，则 2 3 0 x y 所表示区域为直线 2 3 0 x y 的右下方 ③ 过原点的直线 0 y kx k ：无法代入 0,0 ，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断。例如：
y x ：直线 y x 穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。考虑第四象限的点 0, 0 x y ，所以必有 y x ，所以第四象限所在区域含在 y x 表示的区域之中。
（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件 , 0 F x y （或 , 0 F x y ）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件 , 0 F x y （或 , 0 F x y ）边界能取值时，在图像中边界用实线表示
3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤 （1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域 （2）确定目标函数 z 在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设 , a b 为常数）
① 线性表达式——与纵截距相关：例如 z ax by ，则有a zy xb b ，从而 z 的取值与动直线的纵截距相关，要注意 b 的符号，若 0 b ，则 z 的最大值与纵截距最大值相关；若 0 b ，则 z 的最大值与纵截距最小值相关。
② 分式——与斜率相关（分式）：例如y bzx a：可理解为 z 是可行域中的点 , x y 与定点 , a b 连线的斜率。
③ 含平方和——与距离相关：例如 2 2z x a y b ：可理解为 z 是可行域中的点 , x y 与定点 , a b 距离的平方。
（3）根据 z 的意义寻找最优解，以及 z 的范围（或最值）
4、线性目标函数影响最优解选取的要素：当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同时，目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的选取。
例如：若变量 , x y 满足约束条件003 2 122 8xyx yx y ，则 3 4 z x y 的最大值等于_____ 作出可行域如图所示，直线 3 2 12 x y 的斜率132k ，直线 2 8 x y 的斜率212k ，目标函数的斜率34k ，所以2 1k k k ，所以在平移直线时，目标函数直线的倾斜程度要介于两直线之间，从而可得到在 2,3 A 取得最优解。但在作图中如果没有考虑斜率间的联系，平移的直线比 2 8 x y 还要平，则会发现最优解在 0,4 B 处取得，以及若平移的直线比 3 2 12 x y 还要陡，则会发现最优解在 4,0 C 处取得，都会造成错误。所以在处理目标函数与约束条件的关系时，要观察斜率的大小，并确定直线间“陡峭”程度的不同。
（1）在斜率符号相同的情况下：
k 越大，则直线越“陡”
（2）在作图和平移直线的过程中，图像不必过于精确，但斜率符号相同的直线之间，陡峭程度要与斜率绝对值大小关系一致，这样才能保证最优解选取的准确 （3）当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时，有可能达到最值的最优解有无数多个（位于可行域的边界上）
（4）当目标函数的斜率含参时，涉及到最优解选取的分类讨论，讨论通常以约束条件中同符号的斜率作为分界点。
二、典型例题：
例 1：若变量 , x y 满足约束条件2 002 2 0x yx yx y ，则 2 z x y 的最小值等于（
）
A.
52
B.
2
C.
32
D.
2
思路：按照约束条件作出可行域，可得图形为一个封闭的三角形区域，目标函数化为：
2 y x z ，则 z 的最小值即为动直线纵截距的最大值。目标函数的斜率大于约束条件的斜率，所以动直线斜向上且更陡。通过 平 移 可 发 现 在 A 点 处 ， 纵 截 距 最 大 。
且2 0:2 2 0x yAx y 解得11,2A ，所以 2 z x y 的最小值 min1 52 12 2z
答案：A 例 2：设变量 , x y 满足约束条件2 02 01x yx yy ，则目标函数 2 z x y 的最小值为（
）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
思路：作出目标函数的可行域，得到一个开放的区域，目标函数12 2zy x ， 通 过 平 移 可 得 最 优 解 为 2 0: 1,11x yA Ay ，所以min3 z
答案：B
例 3：若变量 , x y 满足12 0xx yx y ，则2 2z x y 的最大值为（
）
A.
10
B.
7
C.
9
D.
10
思路：目标函数2 2z x y 可视为点到原点距离的平方，所以只需求出可行域里距离原点最远的点即可，作出可行域，观察可得最远的点为 1, 3 A ，所以2max10 z OA
答案：D 例 4：设变量 , x y 满足约束条件2 2 02 2 01 0x yx yx y ，则11ysx的取值范围是（
）
A. 31,2
B.
1,12
C.
1,2
D.
1,22 思路：所求11ysx可视为点 , x y 与定点 1, 1 连线的斜率。从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可，可得在 1,0 处的斜率最小，即 min0 1 11 1 2k ，在 0,1处的斜率最大，为 max1 120 1k ，结合图像可得11ysx的范围为1,22 答案：D 例 5：若实数 , x y 满足条件01 00 1x yx yx ，则 3 x y 的最大值为（
）
A.
6
B.
5
C.
4
D.
3
思路：设 3 z x y ，则可先计算出 z 的范围，即可求出 z 的最大值：1 13 3y x z ，则最优解为 1, 1 , 1,2 A B ，所以 5,4 z ，则max5 z
答案：B 例 6 ：
设 O 为 坐 标 原 点 ， 点 M 的 坐 标 为 2,1 ， 若 点 , N x y 满 足 不 等 式 组4 3 02 12 01x yx yx ，则使 OM ON 取得最大值的点 N 的个数有（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D. 无数个 思路：设 2 z OM ON x y ，作出可行域，通过平移可发现达到最大值时，目标函数与直线 2 12 0 x y 重合，所以有无数多个点均能使OM ON 取得最大值 答案：D 例 7 ：（ 2015 ， 福 建 ）
变 量 , x y 满 足 约 束 条 件02 2 00x yx ymx y ，若 2 z x y 的最大值为 2 ，则实数m 等于（
）
A.
2
B.
1
C.
1
D.
2
思路：本题约束条件含参，考虑先处理常系数不等式，作出图像，直线 y mx 为绕原点旋转的直线，从图像可观察出可行域为一个封闭三角形，目标函数 2 y x z ，若 z 最大则动直线的纵截距最小，可 观 察 到 A 为 最 优 解 。2 2 0 2 2: ,2 1 2 1x y mA Ay mx m m ， 则 有2 22 22 1 2 1mzm m ，解得：
1 m
答案：C 小炼有话说：当线性约束条件含参数时，一方面可先处理常系数不等式，作出可行域的大致
范围，寻找参数变化时，可行域的共同特征；另一方面对含参数的直线确定是否过定点，在变化中寻找区域的规律。找到共同的最优解所满足的方程，便可根据最值求出参数 例 8：在约束条件2101 0xx y mx y 下，若目标函数 2 z x y 的最大值不超过 4，则实数m 的取值范围是（
）
A.
3, 3
B.
0, 3
C. 3,0
D. 3, 3
思路：先做出常系数直线，动直线20 x y m 时注意到20 m ，斜率为常数 1，且发现围成的区域恒为一个三角形。目 标 函 数 2 y x z ， 通 过 图 像 可 得 最 优 解 为2 221 01 1: ,2 2 0x ym mA Ax y m ， 所 以2 22max1 1 3 122 2 2 2m mz m ，则23 142 2m 解得：
3, 3 m 答案：D 例 9：若变量 , x y 满足约束条件020x yx yy ，若 z ax y 的最大值为 4，则 a （
）
A.
3
B.
2
C.
2
D.
3
思路：如图作出可行域，目标函数为 y ax z ，由于 a 决定直线的方向，且约束条件中的直线斜率有正有负。所以先考虑 a 的符号：
当 0 0 a a 时，此时与 y x 的斜率进行比较：
若 1 1 a a ，则 z 的最大值为 0，不符题意； 若 0 1 1 0 a a ，则最优解为 1,1 A ，代入解得3 a 与初始范围矛盾，故舍去；当 0 0 a a 时，直线与2 x y 斜率进行比较：
若 1 1 a a ，则最优解为 2,0 B ，代入解得 2 a ，符合题意 若 1 a ，可得 z 的最大值为 2，不符题意，舍去
若 0 1 0 1 a a ，则最优解为 1,1 A ，代入解得 3 a 与初始范围矛盾，舍去 综上所述：
2 a
答案：B 小炼有话说：（1）目标函数的直线陡峭程度不同，会导致最优解不同，所以当斜率含参时，可在约束条件中寻找斜率与目标函数斜率同号的直线，则这些直线的斜率通常是分类讨论的分界点。
（2）本题也可分别假设可行域 3 个顶点为最优解，求出 a 的值，再带入验证。
例 10：设 , x y 满足约束条件3 2 000, 0x yx yx y ，若目标函数 0, 0 z ax by a b 的最大值为 2 ，则1 1a b 的最小值是（
）
A.
256
B.
83
C.
2
D.
4
思 路 ：
先 做 出 可 行 域 ， 目 标 函 数a zz ax by y xb b ，由 0, 0 a b 可得直线的斜率为负，所以由图像可得最大值 在 1 , 1 处 取 得 ， 即m a x2 z a b ， 所 以 1 1 1 1 1 12 22 2b aa ba b a b a b 答案：C 小炼有话说：本题判断出斜率为负是解题的关键，从而能迅速通过平移直线得到最优解，而后与均值不等式结合求出最值 三、历年好题精选 1、（2016，衡阳联考）如果实数 , x y 满足条件2 01 02 0x yxy ，则yzx a的最小值为12，则正数 a 的值为__________ 2、(2014，温州中学三月考)已知实数 , x y 满足135 4y xxx y ，则2xy的最小值是_________
3、若点 1,1 在不等式组02 4 03 3m nx ymx nynx y m 所表示的平面区域内，则2 2m n 的取值范围是_________ 4、（2016，南昌二中四月考）已知实数 , x y 满足205 01 14 4x yx yy x ，则 222 22x y yx y 的取值范围是________ 5、设实数 y x, 满足2 02 5 02 0x yx yy ,则yxxyu 的取值范围为（
）
A. 2 ,31
B. 2 ,38
C.
23,38
D. 23, 0
6、设实数 , x y 满足2 412 2x yx yx y ，则 z x y 为（
）
A. 有最小值 2，最大值 3
B. 有最小值 2，无最大值 C. 有最大值 3，无最小值
D. 既无最小值，也无最大值 7、设 , x y 满足约束条件：04 3 12xy xx y ，则2 31x yx 的最小值是（
）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
8、（2016，湖南师大附中月考）若实数 , x y 满足2 01 01x yy xx ，设 2 , 2 u x y v x y ，则uv的最大值为（
）
A．1
B．54
C．75
D．2 9、（2015，北京）若 , x y 满足010x yx yx ，则 2 z x y 的最大值为（
）
A.
0
B.
1
C.
32
D.
2
10、 （2015，广东）若变量 , x y 满足约束条件4 5 81 30 2x yxy ，则 3 2 z x y 的最小值为（
）
A．315
B. 6
C. 235
D.
4
11、（2015，新课标 I）若 , x y 满足约束条件1 004 0xx yx y ，则yx的最大值为________ 答案：3 12、（2015，新课标 II）若 , x y 满足约束条件1 02 02 2 0x yx yx y ，则 z x y 的最大值为____ 13、（2015，山东）已知 , x y 满足约束条件020x yx yy ，若 z ax y 的最大值为 4 ，则 a （
）
A.
3
B.
2
C.
2
D.
3
14、（2014，北京）若 , x y 满足约束条件2 02 00x ykx yy ，且 z y x 的最小值为 4 ，则 k 的值为（
）
A.
2
B.
2
C.
12
D.
12
习题答案：
1 、答案：1 解析：根据约束条件画出可行域，可知11xy 时，min12z 即1 111 2aa 2、 、答案：
4
解析：设2xzy ，则有2x zy ，则可知抛物线与不等式可行域有公共点，作出可行域，如图 可 知 当 1 y x 与 抛 物 线 相 切 时 ， 此 时 z 取 得 最 小 值 ， 联 立 方 程2201x zyx zx zy x ，所以判别式24 0 4 z z z
3、 、答案：9,6110 解析：将 1,1 代入02 4 03 3m nx ymx nynx y m 可得：1 02 4 03 3 0m nm nm n ，作出可行域，2 2m n 可视为点 , m n 到原点距离的平方。结合图像可知：
5,6 到原点距离最大，即 2 2max61 m n 原点到直线 3 3 0 m n 的距离为3 1010，所以 2 2min910m n
4、 、答案：13 5,9 3 解析： 222 2 2 2 2221 12 21 2yx y y xyxzx y x yyx ，其中ykx 可视为 , x y 与 0,0 连线的斜率，作出可行域，数形结合可得：直线 ykx 与21 14 4y x 在第一象限相切时， k 取得最大值，解得：
1,2 k ，
22 21 111 22kzkkk ，而 1,2 k 时，1 92 3,2kk ，所以13 5,9 3z
5 5、 、答案：C 解析：令ytx ，作出可行域，可知 t 可视为 , , 0,0 x y 连线的斜率，1,23t
且1u tt 为1,23t 关于 t 的增函数，所以8 3,3 2u
6 、答案：B 解析：作出可行域（为开放区域），再平移直线 y x z 即可得到 z 在 2,0 处达到最小值，即min2 z ，但没有最大值 7 、答案：B 解析：2 3 11 21 1x y yux x ，则11ykx可视为可行域中的点 , x y 与 1, 1 连线的斜率，作出可行域可得：
1,5 k ，所以 u 的最小值为 3 8 8、 、答案：C 解析：方法一：1 32 1 3 12 22 2 2 22 1x y yu x yxv x y x yy ，其中xy为可行域中的点 , x y 与原点 0,0 连线斜率 k 的倒数，作出可行域可知：
1,3 k，所以1,13xy ，从而可计算出71,5uv 方 法 二 ：
由22u x yv x y 可 得 ：2323v uxu vy ， 代 入 到 不 等 式 组 可 得 ：
2 22 03 362 21 0 13 32 3213v u u vu vu v v uu vv uv u ，作出可行域，所求ukv 为 , v u 与 0,0 连线的斜率，数形结合即可得到最大值为75
9 、答案：D 解析：1 122 2z x y y x z ，作出可行域，可得最优解为 0,1 时， z 取得最大值 2
10 、答案：C 解析：由 3 2 z x y 可得：32 2zy x ，数形结合可知32 2zy x 经过41,5A 时，z 取得最小值min4 233 1 25 5z
11、 答案：3 解析：作出可行域（如图所示），所求分式00y yx x，即可行域中点与原点连线的斜率最大值，由图可知点 1,3 A 与原点连线斜率最大，所以yx的最大值为 3
12、答案：32
解析：目标函数变为 y x z ，即求动直线纵截距的最大值，作出可行域，数形结合可得直线过11,2D ，则max32z
xy–1 –2 –3 –4 1 2 3 4–1–2–3–41234DCBO
13 、答案：B 解析：由 z ax y 得 y ax z ，借助图形可知：当 1 a ，即 1 a 时在 0 x y 时有最大值 0，不符合题意；当 0 1 a ，即 1 0 a 时在 1 x y 时有最大值1 4, 3 a a ，不满足 1 0 a ；当 1 0 a ，即 0 1 a 时在 1 x y 时有最大值 1 4, 3 a a ，不满足 0 1 a ；当 1 a ，即 1 a 时在 2, 0 x y 时有最大值2 4, 2 a a ，满足 1 a ，所以 2 a
14 、答案：D 解析：目标函数变形为 y x z ，由直线2 0 kx y 可得该直线过定点 0,2 ，分0, 0 k k 讨论，若 0 k ，则由图可知 y x z 纵截距的最小值在直线过 2,0 处取得，即min2 z ，不符题意；当 0 k 时，可知直线 y x z 纵截距的最小值过 2 0 kx y 与 x 轴的交点2,0k ，所以min20 4 zk ，解得12k
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