平面几何中添加辅助线常用方法论文：浅谈平面几何中添加辅助线常用方法

　 平面几何中添加辅助线的常用方法论文：浅谈平面几何中添加辅助线的常用方法

　【摘要】本文主要归纳了三角形、梯形、圆这三类几何图形中添加辅助线的常用方法，并介绍了这些常用方法在三类几何问题中的具体应用。

　【关键词】平面几何 添加辅助线 常用 方法

　对于平面几何来说，不论是证明题，计算题，还是作图题，常常都涉及到添加辅助线的问题［1］。因此，怎样添加辅助线对于解决平面几何问题就显得尤其重要。

　本人在教育实习期间，发现有的学生面对平面几何问题，不知道去添加辅助线，有的学生即使添加了辅助线，但对问题的解决却帮助不太大。基于以上情况，为了帮助同学们有一些清晰添加辅助线的常用方法，本文归纳了三角形、梯形、圆这三类几何图形中添加辅助线的常用方法，并介绍了这些常用方法在三类几何问题中的具体应用，具体如下：

　1.在三角形、梯形、圆中添加辅助线的常用方法：

　1.1 三角形

　1.1.1 等腰三角形：连底边上的中线或高或顶角的角平分线；

　1.1.2 直角三角形斜边上有中点：连中线;

　1.1.3 斜三角形：①作中线、中位线；

　② 过中点作延长线或平行线；

　③ 截长补短法；

　④连接两点。

　1.2 梯形

　1.2.1 由梯形的小底两端作大底的垂线，作直角三角形和矩形；（图1）

　1.2.2 由小底的一端作另一腰的平行线，或作另一对角线的平行线，作三角形和平行四边形；（图2，图3）

　1.2.3 延长两腰交于一点，作相似三角形；（图4）

　1.2.4 由大底的一端作另一腰的平行线，作平行四边形；（图5）

　1.2.5 过一腰的中点作另一腰的平行线，作全等三角形；（图6）

　1.2.6 连小底一端与另一腰的中点，并与大底的一边相交，作全等三角形；（图7）

　1.2.7 连两腰的中点，作梯形的中位线；（图8）

　1.2.8 连梯形的对角线，把梯形转化为三角形；（图9）

　1.2.9 过小底的中点分别作两腰的平行线，构造一个集中有两腰及上下两底差的三角形和平行四边形。（图10）

　1.3 圆

　1.3.1 作弦心距；

　1.3.2 作过切点的半径或弦；

　1.3.3 过已知点作圆的切线；

　1.3.4 作直径上的圆周角；

　1.3.5 作两圆的公切线或连心线；

　1.3.6 作两相交圆的公共弦或连心线；

　1.3.7 作辅助圆。

　2.添加辅助线在具体解题中的应用

　2.1 在三角形中

　2.1.1 利用等腰三角形三线合一添高

　在等腰或等边三角形中，若已知三边，求面积或需证明底边上的某些线段相等时，常通过添底边上的高，利用等腰三角形三线合一的性质，可得高把原来的三角形分成左右两个全等的直角三角形，利用直角三角形勾股定理或全等三角形对应边、对应角相等的性质解题。

　例1［2］ 已知：点d，e在bc上，ab=ac，ad=ae求证：bd=ce

　图11

　分析：已知条件中有两个等腰三角形，而所证的两条线段正好位于底边上，通过添高利用等腰三角形三线合一的性质可得线段。再根据等式性质，命题即可得证。

　证明：过a作bc边的高，垂足点为h,

　∵ab=ac,ad=ae，ah⊥bc

　∴bh=hc, dh=he（等腰三角形三线合一）

　∴bd=ce

　说明：本题利用等腰三角形三线合一添高，使证明简便。

　2.1.2 直角三角形斜边上有中点连中线

　在直角三角形中，连斜边的中线构造两个等腰三角形，或便于运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

　例2［3］ 已知和ce是三角形abc的两条高线，求证：线段de的垂直平分线过bc边的中点f。

　图12

　分析：已知要证线段de的垂直平分线过bc边的中点f，只要在bc边上取中点f，连接df、ef利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，知ef=12bc=df从而△efd是等腰三角形，易知de的垂直平分线过点f。

　证明：取的中点为点f，连接ef、df

　∵ bd,ce分别是ac，ab上的高线

　∴ 在rt△中，ef

　在rt△中df=12bc

　∴ef = df

　∴△efd是等腰三角形

　作de的垂直平分线l交点为g，

　∵等腰三角形的三线合一

　∴线段df的垂直平分线过bc边的中点f。

　说明：此题是在直角三角形中，连斜边的中线构造两个等腰三角形，运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，然后又利用等腰三角形的三线合一，问题便得解。

　2.1.3 过中点作延长线或平行线

　例3［3］ 试证三角形中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于底三边的一半。

　已知：是三角形abc两边ab,ac上的中点（图13）

　图13

　求证：ef∥=12bc

　此题添加辅助线的方法有：

　①延长ef至q，使fq=ef,连结qc,从三角形全等，在推到出ebcq是平行四边形；（图14）

　图14

　②过f作gs∥ab交bc于g，过a作as∥bc交gs于s。从三角形全等，再推导出ebgf是平行四边形。（图15）

　图15

　③过e,f任作两条平行线的直线ps和rt，过a作st ∥ bc,分别交前者s,t,再由sprt是平行四边形去证两对三角形全等。（图16）

　图16

　说明：此题上面的三种添加辅助线的方法都是过中点作延长线或平行线得到平行四边形，利用平行四边形的性质，问题便得解。

　2.1.4 截长补短法

　此法用于证明两条线段之和或之差等于另一 条线段。截长法——在较长线段中截取一段等于图中另一条线段；补短法——延长一条线段，使延长部分等于图中另一条线段。

　例4［6］ 已知在中，ad平分∠bac， ∠b=2∠c，求证：ab+bd=ac

　图17

　证明：在ac上截取af=ab，连接df

　在∠abd与∠afd中

　∠1=∠2(已知)公共边)

　∴△abd△afd（sas）

　∴∠b=∠afd，bd=df（全等三角形对应角，对应边相等）

　又 ∠b=2∠c

　∴∠afd=2∠c

　又∠afd=∠fdc+∠c（在三角形中，一个外角等于不相邻的两个内角和）

　∴∠fdc=∠c

　∴fd=fc（等角对等边） 即 ab+bd=ac

　说明：在上述几何题型中，通过透析题、图的条件及待证结论特征，一法补短，即延长ab 到点e，使ae=ac。一法截长，在ac上截取af=ab。

　例5［6］ 如图18，为 △abc的中线，求证：ab＋ac＞2ad。

　图18

　分析：要证ab＋ac＞2ad，由图想到： ab＋bd＞ad,ac＋cd＞ad，所以有ab＋ac＋ bd＋cd＞ad＋ad＝2ad，左边比要证结论多bd＋cd，故不能直接证出此题，而由2ad想到要构造2ad，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

　证明：延长至e，使de=ad，连接be，则ae＝2ad

　∵ad为△abc的中线（已知）

　∴bd＝cd（中线定义）

　在△acd和△ebd中

　bd=cd(已证)对顶角相等)辅助线的作法)

　（sas）

　∴be＝ca（全等三角形对应边相等）

　∵在△abe中有：ab＋be＞ae（三角形两边之和大于第三边）

　∴ab＋ac＞2ad。

　说明：有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形

　2.1.5 连接两点法

　三角形包括三条边、三个角这六个元素，若已知或需证明某些边、角的等量关系时，若不能直接从已知的条件中进行证明，那么此时可以考虑连接两点构造新的三角形，使所证的元素在所构造的新的三角形中。可通过证所构造的三角形全等或相似来证明结论。

　例6 已知，ad=bc，求证：∠a=∠c

　图19

　分析：∠a与∠c分别在△abo和△cdo中，若通过直接证明这两个三角形全等，根据已知条件显然不够，观察已知条件中的四条边正好组成△abd和△cdb，而bd正好又是两个三角形的公共边，发现只要证明△abd和△cdb全等，本题结论即可得证。

　证明：连接bd

　在△abd和△cdb中，

　由ab=cd（已知），ad=cb （已知），

　bd=db （公共边）

　∴△abd（sss）

　∴∠a=∠c（全等三角形的对应角相等）

　说明：此题根据已知与求证很容易构造三角形全等，于是就连结bd，便得证。

　2.2 在梯形中

　2.2.1 由梯形的小底两端作大底的垂线，作直角三角形和矩形

　例7［2］ 等腰梯形的较长的底为ab长16，较短的底长为8，ac的长为13，求梯形abcd的面积。

　图20

　解：过d、c分别作ab的垂线df,ce交ab于f、e

　ad=bc,df=ce

　rt△aec中，－12

　sabcd=12(ab+dc)×ce

　=12（16+8）× 5=60

　答：梯形的面积为60（面积单位）

　说明：此题是求梯形的面积，根据梯形的面积公式，梯形的上下底都已知，而高有待求，如上图作梯形的高，在根据等腰梯形的性质便很容易就出高，于是面积也得解。

　2.2.2 延长两腰交于一点，作相似三角形

　例8［3］ 证：如果梯形的底角相等，那么这个梯形是等腰梯形。

　已知梯形abcd的底角相等，即∠ a= ∠b(图21)

　图21

　求证：ad=bc

　分析：延长ad与bc使相交于p，因为∠ a= ∠b，可知△pab是一个等腰三角形，再证得△pdc也是等腰三角形，就可证得ad=bc了。

　证：延长ad和bc,使相交于p， △pab中∠ a= ∠b（已知）

　pa=pb(等腰三角形的判断定理)

　但是dc∥ ab（梯形的两底平行）

　∠a=∠ pdc, ∠b= ∠pcd(平行线的同位角相等)，就是∠ pdc=∠ pcd

　∴pd=pc(等腰三角形的判定定理)

　因为pa －pd=pb －pc

　∴ad=bc

　说明：此题是延长两腰交于一点，作相似三角形，这是解题的妙点。

　2.2.3 在梯形形中一题多种添加辅助线

　例9 试证梯形中位线性质定理

　已知梯形两腰ab,cd的中点分别为e,f

　求证：ef∥bc,ef=12(bc+ad)(图22)

　图22

　分析：因为ef是梯形中位线，所以 借助于三角形中位线性质定理则辅助线可设想有这样几种作法：

　①连af并延长和bc的延长交于q（图23）先证ad=cq,再推导；

　图23

　②连ac交ef于p（图24），则ep是△abc的中位线，pf是△acd的中位线，再推导;

　图24

　③过e作cd的平行线与da的延长线及bc边分别相交点n,m（图25），先证四边形ndef和mcef是平行四边形，再推导；

　图25

　④过a作am∥cd与ef相交一点n,与bc相交一点m(图26)，先证en是△abm的中位线，再推导；

　图26

　⑤过b作cd的平行线与da的延长线相交于一点m,延长fe与bm相交于一

　⑥点n(图27)，先证四边形mdfn与bcfn是平行四边形，再推导。

　图27

　说明：此题共用了五种添加辅助线的方法，但都是设法利用三角形中位线以及平行四边形的性质，在梯形中作辅助线可根据具体的题而作。

　2.3 在圆中

　2.3.1 作弦心距

　证明圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的在于利用垂径定理来沟通弦

　例10 如图28，已知，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab交小圆于c、d两点。

　图28

　求证：。

　证明：过o作oe ⊥ ab，垂足为e

　由垂径 定理：ae = eb，ce = de即：ac=bd

　2.3.2 作过切点的半径或弦

　当所证问题含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径或弦，利用该半径与切线垂直或弦切角定理来沟通题设与结论之间的联系。

　例11 已知是⊙o的直径，ac⊥mn，bd⊥mn，mn切⊙o于k，求证：

　（1）ac+bd=ab

　（2）bk=abbd

　图29

　分析：①ac、bd为直角梯形的上、下底边，其和必与梯形的中位线有关，由mn切⊙o于k，想到需连结ok，则ok为梯形的中位线且ok=12（ac+bd），而ab=2ok，所以有ac+bd=ab。

　②要证bk，即ab∶bk=bk∶bd，所以需连结ak，由弦切角定理知∠kab=∠bkd，又∠akb=∠kdb=90，所以△akb∽△kdb，故问题可以获证。

　2.3.3 过已知点作圆的切线

　过已知点作圆的切线是圆中常作的辅助线之一，其目的在于利用切线的性质来沟通题中各元素间的联系。

　例12 如图30，、ce是△abc中的两条高，o是其 外接圆的圆心，则ao⊥de。

　图30

　分析：欲证oa⊥de，直接证明显然非常困难。由oa是⊙o的半径，可想到如果de平行于圆o过a点的切线，则问题即可得到解决，于是可过a作⊙o的切线mn，要使mn∥ed，只须∠mae=∠aed，由于∠mab=∠acb，所以只须证∠aed=∠acb。又因为ce⊥ab，bd⊥ac，所以知b、c、d、e四点共圆，故∠aed=∠acb，于是问题得证。

　2.3.4 作直径上的圆周角

　由于直径上的圆周角为直角，所以在有关圆的证明问题中，利用该性质极易构造出直角三角形，从而将问题化归到直角三角形中去证明。

　例13

　［5］

　在锐角△中，bc=a、ca=b、ab=c，外接圆半径为r，求证：

　图31

　分析：由于所证结论与三角函数及外接圆直径有关，因此需在该三角形的外接圆中构造出一个直角三角形，故作直径，连结bd，得rt△，如图31，因∠d=∠a，所以有： 即a。同理可证b

　2.3.5 作两圆的公切线或连心线

　在解决有关两圆相切的问题时，常常需作出两圆的公切线或连心线，利用公切线垂直于连心线或弦切角，来沟通两圆间的关系。

　例14 如图32，已知两圆外切于点，⊙o的弦ab的延长线切⊙o于点c，ap的延长线交⊙o于点d，求证：∠bpc=∠cpd。

　图32

　分析：所证的两个角难以建立直接关系，不妨过点p作两圆的公切线pe，则∠1=∠bap，∠2=bcp，两式相加得∠1+∠2=∠bap+∠bcp。

　而∠1+∠2=∠bpc，∠bap+∠bcp=∠cpd，故∠bpc=∠cpd，问题获证。

　2.3.6 作两相交圆的公共弦或连心线

　在解决有关两圆相交的问题时，最常见的辅助线是两圆的公共弦或连心线，公共弦可连通两圆中的弦、角关系，连心线则垂直平分公共弦。

　例15［4］ 如图33，与⊙o相交于a、b，过a的两条直线与⊙o、⊙o分别交于c、e和d、f，设直线ce和fd交于g，求证：∠g=∠bef+∠bfe。

　图33

　分析：连结ab，则∠eca=∠eba，∠gdc=∠abf，所以∠eca=∠eba，∠gdc=∠abf，所以∠eca+∠gdc=∠ebf。又∠gcd+∠cdg+∠g，∠，从而可使问题获证。

　2.3.7 作辅助圆

　若能判断出某些点在同一圆上时，往往可构作辅助圆，从而利用圆的性质促使问题的解决，注意有时为了图形的简洁，辅助圆可以不画出来。

　例16 如图34，从圆心向圆外的直线xy作垂线oa，a为垂足，过a的割线交⊙o于点b、c，过b、c两点的切线交xy于d、e，求证：da=ae。

　图34

　分析：要证da=ae，由oa⊥de知，只须证od=oe，因b、c为切点，可连结ob、oc，问题转化为证明。又ob=oc，故只须找出另一组等量即可，由∠obd=∠oad，知、b、a、d四点共圆，可得∠odb=∠oab，由∠oce=∠oae，知、a、e、c四点也共圆，可得∠oac=∠oec，故∠odb=∠oec，问题获得解决。

　总之，作辅助线的目的是构筑条件和结论的通道——位置关系和数量关系，以充分挖掘图形的性质，使隐含条件明朗化，它相当于代数问题中的引入参变量。

　3.总结语

　由上我们可以看到在不同类型题目中，辅助线扮演着不可替代的角色，添加恰当辅助线会使我们的解题更加得心应手，原来不容易证明或求解的变得更容易证明或求解了，总之添加辅助线要求我们在熟练掌握所学知识基础上再利用一些常用的方法去做艰苦的探索，才能添加出恰当的辅助线。

　通过写这篇论文笔者也体会到了添加辅助线的几点小小心得。①仔细观察，联系自己所学过的知识，是否能把已知或求证转化为我们平常所熟悉的知识上去；②善于对题目分析、转化；③对于一些常用的定理及其逆定理，定理的性质要求熟练掌握。要学会积累和总结一些解题的常用方法；④要勇于尝试，一次不行再做一次，此路不通走另一条路；⑤添加辅助线在平面几何解题的过程中是有很大帮助的，因此，掌握一些添加辅助线的常用方法是必要的。

　本人通过本文的写作，期望能对中学生学习平面几何有所帮助，也期望能对其教学有所帮助。

　参考文献

　［1］ 刘千章.巧添辅助线.社科学出版社出版,1986.6版.

　［2］ 杨荣祥.数理化自学从书平面几何.上海科学技术出版社,1963.10版.

　［3］ 梅向明.初中几何第二册学习手册下册.农村读物出版社,1987.12版.

　［4］ 曾广钦,李辉.怎样作辅助线.黑龙江科学技术出版社,1981.12版.

　［5］ 袁晓东.浅谈几何辅助线.北京师范大学出版社,1983.11版.