螺旋线和螺旋面

　 §9.3 螺旋线和螺旋面

　本课主要内容:(螺旋线、螺旋面) 螺旋线

　螺旋线是应用比较广的一种空间曲线。螺旋线可以在不同的曲面上形成，常见的螺旋线有圆柱螺旋线、圆锥螺旋线等。

　1.圆柱螺旋线

　(1) 柱螺旋线的形成 当一动点A沿着导圆柱的母线作等速直线运动，同时该母线又绕圆柱面轴线作等角速回转运动，点A的运动轨迹称为圆柱螺旋线（图9-19a）。

　图 9-19；圆柱螺旋线形成、投影画法及螺旋线的展开 (2) 圆柱螺旋线的基本要素

　（a）导圆柱面的直径D。

　（b）导程Ph动点A绕圆柱面回转一周沿轴向移动的距离。

　（c）旋向 螺旋线的旋转方向有右旋及左旋之分。

　(3) 圆柱螺旋线的画法 根据圆柱螺旋线的三个基本要素，可画出圆柱螺旋线的投影图如图9-19b所示（右旋螺旋线）。

　(a) 将导面的水平投影（圆周）等分为若干等分（图中为12等分），并按逆时针方向顺次标记为0、1、2…11、12各等分点；而在正面投影图上将导程Ph作同数等分（12等分）并自上而下标记为00、10、20、30…110、120、各等分点。

　(b) 过等分点00 、10 、20 、30 …110 、120 作OX轴平行线与过水平投影各等分点0、１、２…11、12，作OX轴的垂线对应相交，可得0' 、1'、 2'…11'、12'，然后依次光滑连接即得螺旋线的正面投影（不可见部分画成虚线），螺旋线的水平投影在圆周上。? ?(c) 圆柱螺旋线的展开 图6—19是圆柱螺旋线的展开图，螺旋线是周长πD和导程 P h 为直角三角形的斜边。每一导程螺旋线长度 L= 。

　图中的 a 为圆柱螺旋线的升角 tg a= ，它的余角 b 称为螺旋角。

　2.圆锥螺旋线

　一动点沿圆锥面上的直母线作匀速直线运动，而母线同时又绕圆锥轴线作等角速回转运动，则动点在锥面上的轨迹称为圆锥螺旋线。母线回转一周时，动点沿轴线方向移动的距离 Ph 称为导程。

　圆锥螺旋线的画法和圆柱螺旋线类似，也是将导面的底圆和导程分为同数等分（12等分）；在圆锥面上作出各条素线的投影，各条素线的正面投影与过导程等分点所作的轴平行线相交，可得a'、 b'、 c'…m'，既为圆锥螺旋线上各点的正面投影，再求出相应的水平投影 a、b…m，然后依次光滑连接各点（不可见部分画为虚线），既得圆锥螺旋线的两面投影。如图9-20所示，为右旋圆锥螺旋线，其水平投影是一条阿基米德螺旋线。

　图 9-20圆锥螺旋线画法 螺旋面

　1. 渐开线螺旋面

　直母线作螺旋运动的同时，且与导圆柱面上的螺旋线相切形成的曲面称为渐开线螺旋面。如图 9-21中直母线AB绕轴线OO作螺旋运动，同时与导圆柱面上的螺旋线相切（切点为A 0 、A 1 、A 2 …A 5 ），则母线AB在空间形成了渐开线螺旋面。渐开线的螺旋面的直母线与导圆柱面上的素线夹角等于螺旋线的螺旋角，而螺旋升角+螺旋角=90°，如果已知导圆柱直径 d、 螺旋面导程 Ｐ h 和直母线长L，既可绘制出渐开线螺旋面的投影图，其作图步骤如下：

　图 9-21渐开线螺旋面 3.切线曲面

　? 一直母线始终切于一空间曲导线，其运动轨迹称为切线曲面。如图 11-7所示，有一直母线IA1切曲导线AB于点I，直母线IA1连续运动到素线IIA2-位置，切曲导线AB于点II，直母线IA1如此连续运动并始终保持与曲导线AB相切，所形成的曲面即为切线曲面。

　?当曲导线为一圆柱螺旋线时，则形成渐开线螺旋面，它是工程上应用最广泛的切线曲面。

　 （1）渐开线螺旋面的两个基本性质为：

　? 它与正截面相交所得交线为一渐开线。为使证明简捷起见，取一特殊正截面——水平投影面与它相交，得一交线为曲线AA4，如图 11-8所示。由上一章所述圆柱螺旋线的性质可知，圆柱螺旋线上任一点所作的切线都与水平面成等角α；又由曲线投影性质可知，该圆柱螺旋线上任一点 切线的投影也与它的投影（圆）相切，故曲线AA4与圆的切线族正交，曲线AA4为此圆的渐开线。由于圆柱螺旋线的切线曲面与正截面相交为一渐开线，故此切线曲面命名为渐开线螺旋面。? ? ?② 渐开线螺旋面的直母线上任一点的运动轨迹为与曲导线具有相同导程的圆柱螺旋线。

　?为使证明简捷起见，取直母线上点A1。当点I沿圆柱螺旋线旋转一个Δθ角度，上升一个ΔS的距离，运动到点位置时，点A1运动到素线A2II上A II位置，A II -II=A1I。如图11-9a﹑b所示，得2=2-ΔS。过A II作线A II CA22，故A II -II C≌△A1 I1，则I1= II C=ΔS，因而C2=2-ⅡC=ΔS。再过A II -作线A II -a11-C2，则A II -a11--=C2=ΔS，即点A1-也上升一个ΔS的距离。

　?由图11-9c中可知，当点I旋转到点II位置时，其水平投影也从1旋转到2的位置。旋转角度为Δθ，则点A1水平投影a1旋转到a11。从o1a1及o2a11中，可以很容易得出: a1旋转到a11时，其旋转角度也为Δθ由此证明，直母线上点A1与点I旋转同一角度，上升同一距离，即直母线上任一点运动的轨迹为与曲导线具有相同导程的圆柱螺旋线。 图11－9 无 ? （2）渐开线螺旋面为较复杂的曲面，绘制其投影图时，除了作出曲导线和直母线外，还需按上一章所述精确地作圆柱螺旋线某点切线的方法画出一系列素线。 ?具体作图过程如下（图11-10）：

　? 作出曲导线（圆柱螺旋线）的两面投影。

　? 自该曲导线水平投影（圆周）上的各分点（图上为12个分点）作切线，并各取长度为1/12πd、1/6πd、…、πd，这样就确定了诸素线的水平迹点a1、a2、…、a12 及其水平投影1a1、2a2、…、12a12。

　? 由各素线的水平投影，即可确定它们的正面投影。其中素线A6、XIIA12为正平线，故它们的正面投影与X轴的夹角α反映曲导线升角的大小。

　 图 11－10，11－11 ?在投影图上求水平面与渐开线螺旋面交线的方法，与第五章中特殊位置面与一般位置面求交线的方法相同，只要求出渐开线螺旋面上一系列素线与水平面的交点，然后依次光滑地相连即可。如图11-10所示，有一水平面P，它与渐开线螺旋面一系列素线交于P、P、…、P等点，在水平投影上依次光滑地连接这一系列点得一渐开线。

　?渐开线螺旋面在工程上应用的例子之一是斜齿轮的齿形表面，图11-11所示为斜齿轮的局部齿形。