数列基础大题20道练习

　题 数列基础大题 20 道练习

　 一、解答题 1．已知等差数列  na 中，11 a  ，3 21 a a   . （1）求数列  na 的通项公式； （2）求数列  na 的前 n 项和nS . 2．nS 为等差数列  na 的前 n 项和，已知71 a  ，432 S   . （1）求数列  na 的通项公式； （2）求nS ，并求nS 的最小值. 3．等差数列  na 满足1 210 a a   ，4 32 a a   . （1）求  na 的通项公式. （2）设等比数列  nb 满足2 3b a  ，3 7b a  ，求数列  nb 的前 n 项和. 4．数列  na 的前 n 项和为nS ，且 2 *nS n n N   ，数列  nb 满足12 b  ， *13 2 2,n nb b n n N    . （1）求数列  na 的通项公式； （2）求证：数列   1nb  是等比数列； （3）设数列  nc 满足1nnnacb，其前 n 项和为nT ，证明：

　1nT  . 5．已知等差数列  na 的前 n 项和nS 满足30 S  ，55 S   . （1）求  na 的通项公式； （2）

　2n nb a    求数列11n nb b   的前 n 项和nT . 6．已知点1(1, )6是函数1( ) ( 0, 1)2xf x a a a    图象上一点，等比数列 { }na 的前 n 项和为 ( ) c f n  .数列 { }( 0)n nb b  的首项为 2c ，前 n 项和满足11( 2)n nS S n  … . （1）求数列 { }na 的通项公式； （2）若数列11{ }n nb b的前 n 项和为nT ，问使10002017nT  的最小正整数 n 是多少？

　试卷第 2 页，总 3 页 7．已知数列 { }na 的前 n 项和为22 30 .nS n n  

　（1）当nS 取最小值时，求 n 的值； （2）求出 { }na 的通项公式. 8．设 N n，数列  na 的前 n 项和为nS ，已知12n n nS S a   ，1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列  na 的通项公式； （2）若数列  nb 满足1( 1) ( 2)na nn nb a   ，求数列  nb 的前 2n 项的和2nT . 9．已知等比数列 { }na 中，4 3 22 3 0 a a a    ，且112a  ，公比 1 q  . （1）求na ； （2）设 { }na 的前 n 项和为nT ，求证112nT   . 10．在正项等比数列 { }na 中，416 a  ，且2a ，3a 的等差中项为1 2a a  ． （1）求数列 { }na 的通项公式； （2）求数列 { }na n  的前 n 项和为nS ． 11．已知正项等比数列  na 的前 n 项和为nS ，且12 a  ，38 a  . （1）求数列  na 的通项公式； （2）求数列  na 的前 n 项和nS . 12．已知数列  na （*n N  ）是公差不为 0 的等差数列，若11 a  ，且2a ，4a ，8a 成等比数列. （1）求  na 的通项公式； （2）若11nn nba a，求数列  nb 的前 n项和nS . 13．已知数列  na 中，1 11,1n nna a an . （1）写出数列  na 的前 5 项. （2）猜想数列  na 的通项公式. 14．已知各项均为正数的数列  na 的的前 n 项和为nS ，对n N   ，有22n n nS a a   ．

　（Ⅰ）求数列  na 的通项公式； （Ⅱ）令1 11nn n n nba a a a ，设  nb 的前 n 项和为nT ，求证：

　1nT  ． 15．已知数列  na 的前 n 项和22nS n n   ，数列  nb 满足24log 3n nb a   . （1）求数列  na 、  nb 的通项公式； （2）设14n nn nc ba a ，求数列  nc 的前 n 项和nT . 16．记nS 为等差数列  na 的前 n 项和，已知17 a   ，315 S   ． （1）求  na 的通项公式； （2）求nS 的最小值． 17．已知在等差数列  na 中，35 a  ，17 63 a a  ． （1）求数列  na 的通项公式：

　（2）设2( 3)nnbn a，求数列  nb 的前 n项和nS ． 18．记等差数列  na 的前 n 项和为nS ，设312 S  ，且1 2 32 , , 1 a a a  成等比数列. 求 （1）

　a 1 和 d. （2）求数列  na 的前 n 项和nS . 19．数列{a n }是首项为 23，公差为整数的等差数列，且第 6 项为正，第 7 项为负． (1)求数列的公差； (2)求前 n 项和 S n 的最大值． 20．已知等差数列  na 的前 n 项和为nS ，且25 a  ，511 a  . （1）求  na 的通项公式； （2）若 120nS  ，求 n .

　 答案第 1 页，总 15 页 参考答案 1．（1）na n  ；（2）  12nn nS . 【分析】

　（1）根据题中条件，先得出公差，进而可求出通项公式； （2）根据（1）的结果，由等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】

　（1）因为等差数列  na 中，首项为11 a  ，公差为3 21 d a a    ， 所以其通项公式为   1 1na n n     ； （2）由（1）可得，数列  na 的前 n 项和   112 2nnn a a n nS   . 2．（1）

　213na n   ；（2）212nn S n   ， 6 n  时，nS 的最小值为36  . 【分析】

　（1）利用等差数列的通项公式以及前 n 项和公式求出1a ， d ，代入通项公式即可求解.

　（2）利用等差数列的前 n 项和公式可得nS ，配方即可求解. 【详解】

　（1）设  na 的公差为 d

　， 由71 a  ，432 S   ， 即116 14 34 322a da d     ，解得1112ad  ， 所以  11 2 13na a n d n      . （2） 2 21111 122nn nS na d n n n n n        ，

　 2212 6 36nS n n n      ， 所以当 6 n  时，nS 的最小值为36  . 3．（1）

　22na n   ；（2）22 4n.

　 答案第 2 页，总 15 页 【分析】

　（1）利用等差数列的通项公式求解即可；（2）根据条件计算2 3, b b ，从而求出1 ,b q ，利用等比数列前 n 项和公式即可求出ns . 【详解】

　解：( 1 )∵  na 是等差数列， 1 2 14 310 2 102 2a a a da a d         ， ∴解出 2 d  ，14 a  ， ∴1( 1)na a d n   

　4 2 2 n   

　2 2 n   . ( 2 )∵2 32 3 2 8 b a      ， 3 72 7 2 16 b a      ，  nb 是等比数列， 322bqb ， ∴b 1 =4 21 (1) 4(1 2 )2 41 1 2n nnnb qsq      4．（1）

　 *2 1na n n N    ；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】

　（1）当 2 n  时，2 21( 1) 2 1n n na S S n n n       .检验，当 1 n 时11 2 1 1 a     符合，即可得解； （2）当 2 n  时，根据 11 13 1 131 1nnn nb bb b    ，即可得证；

　 答案第 3 页，总 15 页 （3）利用错位相减法可得：11 ( 1)3nnT n     ，即可得证. 【详解】

　（1）当 1 n 时，1 11 a S   . 当 2 n  时，2 21( 1) 2 1n n na S S n n n       . 检验，当 1 n 时11 2 1 1 a     符合. 所以  *2 1na n n N    . （2）当 2 n  时， 111 1 13 1 1 3 2 131 1 1nn nn n nb b bb b b         ， 而11 3 b   ， 所以数列   1nb  是等比数列，且首项为 3，公比为 3. （3）由（1）（2）得11 3 3 3   n nnb ， 2 1 1(2 1)1 3 3nnnnna nc nb       ， 所以1 2 3 1 n n nT c c c c c     

　2 3 11 1 1 1 11 3 5 (2 3) (2 1)3 3 3 3 3n nn n                                       ① 2 3 4 11 1 1 1 1 11 3 5 (2 3) (2 1)3 3 3 3 3 3n nnT n n                                       ② 由①-②得 1 2 3 42 1 1 1 1 1 1(2 1) 23 3 3 3 3 3 3n nnT n                                        2 111 113 31 1(2 1) 21 3 313nnn                          11 1 1 1(2 1)3 3 3 3n nn              

　 答案第 4 页，总 15 页 2 2 2 13 3 3nn        ， 所以11 ( 1)3nnT n     . 因为1( 1) 03nn    ， 所以 1nT  . 【点睛】

　本题考查了利用nS 和na 的关系求通项，构造法证明等比数列，以及错位相减法求和，是数列基本方法的考查，属于基础题. 5．（1）

　2na n   ；（2）1nnTn. 【分析】

　（1）由30 S  ，55 S   ，可得113 23 025 45 52a da d     求出1 ,a d ，从而可得  na 的通项公式； （2）由（1）可得nb n  ，从而可得11 1 1 1( 1) 1n nb b n n n n   ，然后利用裂项相消求和法可求得nT

　【详解】

　解：（1）设等差数列  na 的公差为 d ， 因为30 S  ，55 S   . 所以113 23 025 45 52a da d     ，化简得1102 1a da d    ，解得111ad  ， 所以1( 1) 1 ( 1)( 1) 2na a n d n n          ， （2）由（1）可知 2 (2 ) 2n nb a n n         ，

　 答案第 5 页，总 15 页 所以11 1 1 1( 1) 1n nb b n n n n   ， 所以1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) 12 2 3 1 1 1nnTn n n n           【点睛】

　此题考查等差数列前 n 项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题 6．（1）13nna  ；（2）59. 【分析】

　（1）由已知求得13a  ，116a c   ，21 1 1( ) ( )18 6 9a c c      ，31 1 1( ) ( )54 18 27a c c      ，得公比3213aqa ，即可写出通项； （2）由题意可得可得ns 是首项为 1，公差为 1 的等差数列.所以 1 ( 1)ns n n     ，所以2ns n  ，由221( 2)( 1)nns nns n  … ，作差可得：

　2 1nb n   ，1 n 时11 b  也满足上式( 2) n… ，根据裂项相消法求和即可得解. 【详解】

　（1）解：1 1(1)2 6a f   . 13a  ， 1 1( )2 3 nf n   ，则等比数列 { }na 的前 n 项和为1 12 3 nc 

　116a c   ，21 1 1( ) ( )18 6 9a c c      ，31 1 1( ) ( )54 18 27a c c     

　由 { }na 为等比数列，得公比3213aqa  ， 111 1913 63a c     ，则12c  ，113a 

　11 1 1·3 3 3nn na  ； （2）：由12 1 b c   ，得11 s  ，

　 答案第 6 页，总 15 页 当 2 n… 时，11n ns s  ，则ns 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，  1 ( 1)ns n    ，2ns n  ( ) nN

　则221( 2)( 1)nns nns n  … ，作差可得 2 1nb n   ( 2) n… . 当 1 n 时，11 b  满足上式  2 1,nb n n N  

　11 1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n nb b n n n n      1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1nnTn n n n                     ，

　由10002 1 2017nnTn ，得100017n  ，则最小正整数 n 为 59 . 【点睛】

　本题考查了数列与函数，考查了求等比数列的通项公式以及裂项求和法，有一定的计算量，属于中档题. 7．（1）

　7 n  或 8 n ；（2）4 32na n  

　【分析】

　（1）直接对22 30 .nS n n   进行配方，由 n+N 可求出其最小值 （2）由11, 1, 2nn nS naS S n   求解 { }na 的通项公式 【详解】

　解：（1）22 215 2252 30 2( 15 ) 22 2nS n n n n n         ， 因为 n+N ， 所以当 7 n  或 8 n 时，nS 取最小值， （2）当 1 n 时，1 12 30 28 a S      ， 当 2 n  时，2 212 30 [2( 1) 30( 1)] 4 32n n na S S n n n n n          ，

　 答案第 7 页，总 15 页 当 1 n 时，128 a   满足上式， 所以 4 32na n  

　【点睛】

　此题考查由数列的递推公式求通项公式，考查 ,n na S 的关系，属于基础题 8．（1）

　21( *)na n n N    ；（2）2 122 2 2nnT n   . 【分析】

　（1）由12n n nS S a   ，得12( )n na a n N   ，所以数列 { }na 是以1a 为首项，2 为公差的等差数列，再由已知条件可得：11 a  ，即可得解； （2）由（1）得 2 1na n   ，所以1( 2) ( 1)na nn nb a       2 1 2 1nnn     , 分组求和即可得解. 【详解】

　（1）由12n n nS S a   ，得12( )n na a n N   ， 所以数列 { }na 是以1a 为首项，2 为公差的等差数列. 由1a ，2a ，5a 成等比数列可得22 1 5a a a  ， 即21 1 1( 2) ( 8) a a a    ，解得11 a  ， 所以 2 1( *)na n n N    . （2）由（1）得 2 1na n   ，所以1( 2) ( 1)na nn nb a  

　    2 1 2 1nnn    

　所以   222(2 1)1 3 5 7 4 3 4 12 1nnT n n              2 12 2 2nn  . 【点睛】

　本题考查了数列的基本量的运算和数列的分组求和法，是常规的计算题，属于基础题. 9．（1）1( )2nna = ；（2）见解析.

　 答案第 8 页，总 15 页 【分析】

　（1）由等比数列的通项公式，可得 q 的方程，解方程可得 q 的值，进而得到所求通项公式； （2）利用等比数列求和公式求和，进而根据数列的单调性即可证明． 【详解】

　（1）由已知得：212 3 1 02q q q      或 1 q  (舍去)， 所以1111 1 12 2 2n nnna a q             . （2）因为112a  ，12q  ，所以1 112 2111212nnnT             ， 因为12xy   在 R 上为减函数，且102xy    恒成立， 所以当*1 n N n   ，时，1 102 2n    ， 所以1 11 12 2nnT      . 10．（1）

　2 nna  ；（2） 112 22nnn nS    . 【分析】

　（1）设出公比，根据条件列方程组求解即可； （2）分组，利用等差等比的求和公式求和. 【详解】

　解（1）设正项等比数列 { }na 的公比为 ( 0) q q  ， 由题意可得3121 1 1 1162( )a qa q a q a a q   ，解得122aq ．  数列 { }na 的通项公式为12 2 2n nna   ； （2）        1121 22 1 21 12 22 1 2 2nnn na a a nn n n nS             . 【点睛】

　 答案第 9 页，总 15 页 本题考查等比数列的通项公式，考查等差，等比数列求和公式，是基础题. 11．（1）*2 ,nna n N   ；（2）1 *2 2,nnS n  N . 【分析】

　（1）根据12 a  ，38 a  ，先求解等比数列的公比，然后利用公式可得数列  na 的通项公式； （2）根据等比数列的求和公式进行求解. 【详解】

　（1）设等比数列  na 的公比为 q ，则2 23 12 8 a a q q    ，所以 2 q = 或 2 q   （舍）， 所以112n nna a q  ，*n N . （2）由（1）得 2 nna  ，所以   111 2 1 22 21 1 2n nnna qSq     . 【点睛】

　本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式，熟记公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 12．（1）na n  ；（2）1nn. 【分析】

　（1）设  na 的公差为 d，由2a ，4a ，8a 成等比数列，得 24 2 8a a a   ，从而解方程可求出公差，进而可求得  na 的通项公式； （2）由（1）得 11 1 1 11 1nn nba a n n n n     ，然后利用裂项相消法可求得nS

　【详解】

　解：（1）设  na 的公差为 d，因为2a ，4a ，8a 成等比数列，所以 24 2 8a a a   . 即      21 1 13 7 a d a d a d      ，即21d a d  又11 a  ，且 0 d  ，解得1 d 

　所以有  11na a n d n     . （2）由（1）知： 11 1 1 11 1nn nba a n n n n     

　 答案第 10 页，总 15 页 则1 1 1 1 112 2 3 1nSn n     .即111 1nnSn n   . 【点睛】

　此题考查等差数列基本量计算，考查裂项相消法求和，考查计算能力，属于基础题 13．（1）1 2 3 4 51 1 1 11, , , ,2 3 4 5a a a a a      ；（2）1nan

　【分析】

　（1）利用递推关系式，根据11 a  ，逐项代入即可求解.

　（2）根据前 5 项即可猜想. 【详解】

　（1）由1 11,1n nna a an ，可得：

　2 11 1 111 1 2 2a a    ，3 22 2 1 12 1 3 2 3a a    ， 4 33 3 1 13 1 4 3 4a a    ，5 44 4 1 14 1 5 4 5a a     . （2）猜想：1nan

　【点睛】

　本题考查了由递推关系式求数列中的项、根据前几项求数列的通项公式，属于基础题. 14．（I）

　, na n n N ;（Ⅱ）证明过程见解析； 【解析】

　试题分析：（Ⅰ）利用1 12 2 2n n na S S  

　整理得11n na a 

　,进而计算可得结论；（Ⅱ）通过分母有理化可知1 11nbn n ，并项相加即得结论．. 试题解析：（I）当 1 n 时，1 21 12a a a   ，得11 a  或 0 （舍去）． 当 2 n 时，22n n nS a a   ，21 1 12n n nS a a    ，两式相减得  11 2n na a n   ， 所以数列  na 是以 1 为首相，1 为公差的等差数列，*,na n n N   ． （Ⅱ）     1 11 1 11 1 1 1nn n n nba a a a n n n n n n n n        

　 答案第 11 页，总 15 页       11 1 11 1 1 1 1n nn nn n n n n n n n n n            1 2 31 1 1 1 1 1 112 2 3 3 4 1n nT b b b bn n                                  11 11 n   15．（1）

　43na n   ； 2 nnb  （2）14 224 1nnn 【分析】

　（1）根据当 2 n  时，1 n n na S S  可以求出数列  na 的通项公式，再验证当 1 n 时，首项是否适合；再根据24log 3n nb a   ，结合对数与指数互化公式进行求解即可； （2）化简数列  nc 的通项公式，利用分组求和的方法，结合等比数列前 n 项和、裂项相消法进行求解即可. 【详解】

　（1）由22nS n n   ， 当 2 n  时，14 3n n na S S n    ， 1 n 时，11 a  对上式也成立， ∴ 4 3na n   ； 又24log 3n nb a   ，2lognb n  ， 2 nnb  . （2）14 4 1 12 2(4 3)(4 1) 4 3 4 1n nn nn nc ba a n n n n            ，  2 1 21 1 1 1 111 2 5 5 9 4 3 4 1nnTn n                         1 11 4 22 2 1 24 1 4 1n nnn n           . 【点睛】

　本题考查了已知数列前 n 项和求通项公式，考查了分组求和法，考查了裂项相消法，考查了

　 答案第 12 页，总 15 页 数学运算能力. 16．（1）

　29na n   ；（2）16  ． 【分析】

　（1）由315 S   ，得13 3 15 a d    ，再由17 a   ，可求得公差为 d ，从而可求出等差数列  na 的通项公式； （2）由（1）可得28nS n n   ，对其配方可求出其最小值 【详解】

　（1）设  na 的公差为 d ，由题意得13 3 15 a d    ． 由17 a   得2 d  ．所以  na 的通项公式为 2 9na n   ． （2）由（1)得  228 4 16nS n n n      ． 所以当 4 n  时，nS 取得最小值，最小值为16  ． 【点睛】

　此题考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的基本量计算，属于基础题 17．（1）

　21na n   ；（2）1nn. 【分析】

　（1）设等差数列  na 的公差为 d ，根据317 653aa a ，列出1a 和 d 的方程组，进而求出1a 和d ，即可求出  na 的通项公式； （2）由（1）可知1 11nbn n ，根据裂项相消法即可求出结果. 【详解】

　设等差数列  na 的公差为 d ， 由317 653aa a ，可得 11 12 516 3 5a da d a d     解得1a 1,d 2 = = ， 所以等差数列  na 的通项公式可得 2 1na n   ;

　 答案第 13 页，总 15 页 （2）

　由（1）可得2 1 1( 3)22 ( 1) 1nnbn a n n n n     ， 所以1 1 1 1 11 ...2 2 3 1 1nnSn n n                       . 【点睛】

　本题主要考查了等差数列通项公式的求法，以及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题. 18．（1）11 a  ，3 d  ，或18 a  ，4 d   ，（2）23 12 2nS n n   或22 10nS n n   

　【分析】

　（1）由1 2 32 , , 1 a a a  成等比数列，可得22 1 32 ( 1) a a a   ，结合312 S  ，列出关于1 ,a d 的方程组，可求出 a 1 和 d. （2）直接利用等差数列的前 n 项和公式求解即可 【详解】

　解：（1）设等差数列  na 的公差为 d ， 因为1 2 32 , , 1 a a a  成等比数列，所以22 1 32 ( 1) a a a   ， 即21 1 1( ) 2 ( 2 1) a d a a d     ， 因为312 S  ，所以13 23 122a d  ，即14 a d   ， 所以 16 2(4 )(4 2 1) d d d      ， 8 (4 )(5 ) d d    ，解得 3 d  或 4 d   ， 当 3 d  时，11 a  ，当4 d   时，18 a  ， 所以11 a  ，3 d  ，或18 a  ，4 d   ， （2）当11 a  ，3 d  时，2( 1) 3 132 2 2nn nS n n n     ， 当18 a  ，4 d   时，2( 1)8 ( 4) 2 102nn nS n n n      

　【点睛】

　此题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式，考查计算能力，属于基础题 19．（1）

　4 d   ；（2）78 【分析】

　 答案第 14 页，总 15 页 （1）根据6 70, 0 a a   可得 d 的范围，再根据 d 为整数得到 d 的值. （2）根据项的符号特征可得6S 最大． 【详解】

　(1)由已知，得6 15 23 5 0 a a d d      ， 7 16 23 6 0 a a d d      . 解得23 235 6d     . 又 d Z  ，∴ 4 d   . (2)∵ 0 d  ，∴数列  na 是递减数列． 又∵60 a  ，70 a  ， ∴当 6 n  时， nS 取得最大值，为 66 56 23 4 782S      . 【点睛】

　一般地，等差数列的前 n 项和nS 的最值可以通过等差数列的通项的符号来确定，如果  na 满足 0ma  ，10ma ，则nS 有最小值且最小值为mS ；如果  na 满足 0ma  ，10ma ，则nS 有最大值且最大值为mS . 20．（1）

　21na n   ；（2）

　10 . 【分析】

　（1）设等差数列  na 的首项为1a ，公差为 d ，由等差数列的通项公式代入25 a  ，511 a  ，即可得解； （2）由（1）求出通项公式na ，进而求出nS ，代入求和公式即可的解. 【详解】

　（1）设等差数列  na 的首项为1a ，公差为 d ， 因为25 a  ，511 a  ， 所以15 a d   ，14 11 a d   ，

　 答案第 15 页，总 15 页 解得13 a  ，2 d  . 所以    11 3 2 1 2 1na a n d n n         ，*nN ， 所以  na 的通项公式为 2 1na n   ，*nN . （2）由（1）知13 a  ， 2 1na n   ， 因为 120nS  ， 所以 11202nn a a  ， 即  3 2 11202n n   ， 化简得22 120 0 n n   ， 解得 10 n . 【点睛】

　本题考查了等差数列基本量的计算，考查了等差数列的通项公式和求和公式，有一定的计算量，难度不大，是基础题.