【高分复习笔记】郑君里《信号与系统》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解

　目录 内容简介 目 录 第1章 绪 论 1.1 复习笔记 1.2 课后习题详解 1.3 名校考研真题详解 第2章 连续时间系统的时域分析 2.1 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 名校考研真题详解 第3章 傅里叶变换 3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 名校考研真题详解 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析 4.1 复习笔记 4.2 课后习题详解 4.3 名校考研真题详解 第5章 傅里叶变换应用于通信系统——滤波、调制与抽样 5.1 复习笔记 5.2 课后习题详解 5.3 名校考研真题详解 第6章 信号的矢量空间分析 6.1 复习笔记 6.2 课后习题详解 6.3 名校考研真题详解 第7章 离散时间系统的时域分析 7.1 复习笔记 7.2 课后习题详解 7.3 名校考研真题详解 第8章 z变换、离散时间系统的z域分析

　8.1 复习笔记 8.2 课后习题详解 8.3 名校考研真题详解 第9章 离散傅里叶变换以及其他离散正交变换 9.1 复习笔记 9.2 课后习题详解 9.3 名校考研真题详解 第10章 模拟与数字滤波器 10.1 复习笔记 10.2 课后习题详解 10.3 名校考研真题详解 第11章 反馈系统 11.1 复习笔记 11.2 课后习题详解 11.3 名校考研真题详解 第12章 系统的状态变量分析 12.1 复习笔记 12.2 课后习题详解 12.3 名校考研真题详解

　第 第1 章 绪 论 1.1 复习笔记

　本章作为《信号与系统》的开篇章节，是整个信号与系统学习的基础。本章介绍了有关信号与系统的基本概念和术语，给出几种典型的信号和系统的表现形式，讲述了各信号与系统的特点以及信号之间的运算和转换。通过本章学习，读者应掌握：如何判断信号类型、不同信号之间的运算、信号的分解以及系统类型的判断。

　一、信号概述 1信号的概念及分类（见表1-1-1）

　表1-1-1 信号的概念及分类

　 2典型的连续信号（见表1-1-2）

　表1-1-2 典型的信号及表示形式

　3信号的运算（见表1-1-3）

　表1-1-3 信号的运算

　 4阶跃函数和冲激函数 阶跃信号和冲激信号是信号与系统中最基础的两种信号，许多复杂信号皆可由二者或二者的线性组合表示。具体见表1-1-4及表1-1-5。

　（1）单位阶跃信号u（t）

　表1-1-4 单位阶跃信号u（t）

　（2）单位冲激信号δ（t）

　表1-1-5 单位冲激信号δ（t）表示形式及性质

　5信号的分解 一个一般信号根据不同类型可分解为以下几种分量，具体见表1-1-6。

　表1-1-6 信号的分解

　 二、系统 1系统概念及分类（见表1-1-7）

　表1-1-7 系统的概念及分类

　系统模型如下：

　输入信号经过不同系统可得到不同输出信号，具体见表1-1-8。

　表1-1-8 不同系统特性

　1.2 课后习题详解

　1-1 分别判断图1-2-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？

　（a）

　（b）

　 （c）

　（d）

　（e）

　 （f）

　图1-2-1 解：（a）连续时间信号（模拟信号）；（b）连续时间信号（量化信号）；（c）离散时间信号（数字信号）；（d）离散时间信号（抽样信号）；（e）离散时间信号（数字信号）；（f）离散时间信号（数字信号）。

　1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号。（重复习题1-1题所问。）

　（1）e －αt sin（ωt）； （2）e －nT ； （3）cos（nπ）； （4）sin（nω 0 ）（ω 0 为任意值）； （5）（1/2）

　n 。

　以上各式中n为正整数。

　解：（1）e －αt sin（ωt）时间、幅值均连续取值，故为连续时间信号（模拟信号）； （2）e －nT 时间离散、幅值连续，故为离散时间信号（抽样信号）； （3）cos（nπ）时间、幅值均离散，故为离散时间信号（数字信号）； （4）sin（nω 0 ）时间离散、幅值连续，故为离散时间信号（抽样信号）； （5）（1/2）

　n 时间离散、幅值连续，故为离散时间信号（抽样信号）。

　1-3 分别求下列各周期信号的周期T。

　（1）cos（10t）－cos（30t）； （2）e j10t ； （3）[5sin（8t）] 2 ； （4）

　。

　解：（1）分量cos（10t）的周期T 1 ＝2π/10＝π/5，分量cos（30t）的周期T 2 ＝π/15，两者的最小公倍数是π/5，所以此信号的周期T＝π/5。

　（2）因为e j10t ＝cos（10t）＋jsin（10t），所以此信号周期为T＝2π/10＝π/5。

　（3）因为[5sin（8t）] 2 ＝25sin 2 （8t）＝25×{[1－cos（16t）]/2}＝12.5－12.5cos（16t），所以此信号的周期为T＝2π/16＝π/8。

　（4）原式可整理为

　其中n为正整数。所以此信号的周期为2T。

　1-4 对于教材例1-1所示信号，由f（t）求f（－3t－2），但改变运算顺序，先求f（3t）或先求f（－t），讨论所得结果是否与原例之结果一致。

　解法一：f（t）→f（3t）→f（－3t）→f（－3t－2），运算结果如图1-2-2。

　图1-2-2 解法二：f（t）→f（－t）→f（－3t）→f（－3t－2），运算结果如图1-2-3。

　图1-2-3 所得结果一致。

　1-5 已知f（t），为求f（t 0 －at）应按下列哪种运算求得正确结果（式中t 0 ，a都为正值）？ （1）f（－at）左移t 0 ；

　（2）f（at）右移t 0 ； （3）f（at）左移t 0 /a； （4）f（－at）右移t 0 /a。

　解：正确答案是（4）。

　（1）

　（2）

　（3）

　（4）

　显然只有（4）的变换结果与题干要求相符。

　1-6 绘出下列各信号的波形：

　（1）[1＋sin（Ωt）/2]sin（8Ωt）； （2）[1＋sin（Ωt）]sin（8Ωt）。

　解：（1）高频信号sin（8Ωt）的周期T＝2π/（8Ω），与其相乘的信号作为信号包络，波形如图1-2-4（a）所示。

　（2）高频信号的周期T＝2π/（8Ω），波形如图1-2-4（b）所示。

　图1-2-4

　1-7 绘出下列各信号的波形。

　（1）[u（t）－u（t－T）]sin（4πt/T）； （2）[u（t）－2u（t－T）＋u（t－2T）]sin（4πt/T）。

　解：（1）由于

　而信号sin（4πt/T）的周期为T/2，故只需画出信号sin（4πt/T）在区间[0，T]上的波形如图1-2-5（a）所示。

　（2）原式＝{u（t）－u（t－T）－[u（t－T）－u（t－2T）]}sin（4πt/T），由于

　信号sin（4πt/T）的周期为T/2，故截取信号sin（4πt/T）在区间[0，T]上的波形，并在区间[T，2T]上将其反相，所得波形如图1-2-5（b）所示。

　（a）

　 （b）

　图1-2-5

　1-8 试将描述图1-2-6所示波形的教材表达式（1-16）和（1-17）改用阶跃信号表示。

　 图1-2-6 解：（1）表达式（1-16）为

　改用阶跃函数可表示为

　（2）表达式（1-17）为

　改用阶跃信号可表示为

　1-9 粗略绘出下列各函数式的波形图。

　（1）f（t）＝（2－e －t ）u（t）； （2）f（t）＝（3e －t ＋6e －2t ）u（t）； （3）f（t）＝（5e －t －5e －3t ）u（t）； （4）f（t）＝e －t cos（10πt）[u（t－1）－u（t－2）]。

　解：题（1）、（2）、（3）、（4）信号波形，分别如图1-2-7（a）、（b）、（c）、（d）所示。

　（a）

　 （b）

　（c）

　 （d）

　图1-2-7

　1-10 写出图1-2-8（a）、（b）、（c）所示各波形的函数式。

　（a）

　 （b）

　（c）

　图1-2-8 解：（1）由图1-2-8（a）可得

　 （2）由图1-2-8（b）可得

　（3）由图1-2-8（c）可得

　 1-11 绘出下列各时间函数的波形图。

　（1）te －t u（t）； （2）e －（t－1）

　[u（t－1）－u（t－2）]； （3）[1＋cos（πt）][u（t）－u（t－2）]； （4）[u（t）－2u（t－1）＋u（t－2）]；

　（5）

　； （6）d[e －t （sint）u（t）]/dt。

　解：各时间函数的波形图如图1-2-9（a）～（f）所示。

　（a）

　（b）

　（c）

　 （d）

　（e）

　（f）

　图1-2-9

　1-12 绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别。

　（1）t[u（t）－u（t－1）]； （2）tu（t－1）； （3）t[u（t）－u（t－1）]＋u（t－1）； （4）（t－1）u（t－1）； （5）－（t－1）[u（t）－u（t－1）]； （6）t[u（t－2）－u（t－3）]； （7）（t－2）[u（t－2）－u（t－3）]。

　解：信号的波形分别为图1-2-10（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g）所示。

　图1-2-10

　1-13 绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别。

　（1）f 1 （t）＝sin（ωt）·u（t）； （2）f 2 （t）＝sin[ω（t－t 0 ）]·u（t）； （3）f 3 （t）＝sin（ωt）·u（t－t 0 ）； （4）f 4 （t）＝sin[ω（t－t 0 ）]·u（t－t 0 ）。

　解：信号波形分别为图1-2-11（a）、（b）、（c）、（d）所示。

　图1-2-11

　1-14 应用冲激信号的抽样特性，求下列表示式的函数值。

　（1）

　（2）

　（3）

　（4）

　（5）

　（6）

　（7）

　解：利用抽样性质

　得：

　（1）

　（2）

　（3）

　（4）

　（5）

　（6）

　（7）

　 1-15 电容C 1 与C 2 串联，以阶跃电压源v（t）＝Eu（t）串联接入，试分别写出回路中的电流i（t）、每个电容两端电压v C1 （t）、v C2 （t）的表示式。

　解：根据题意可知，电容C 1 、C 2 和电压源v（t）串联，可得回路电流

　则电容两端电压v C1 （t）、v C2 （t）分别为

　1-16 电感L 1 与L 2 并联，以阶跃电流源i（t）＝Iu（t）并联接入，试分别写出电感两端电压v（t）、每个电感支路电流i L1 （t）、i L2 （t）的表示式。

　解：根据题意可知，电感L 1 、L 2 和电流源i（t）并联，可得电感两端电压

　则电感支路电流i L1 （t）、i L2 （t）分别为

　 1-17 分别指出下列各波形的直流分量等于多少：

　（1）全波整流f（t）＝|sin（ωt）|； （2）f（t）＝sin 2 （ωt）； （3）f（t）＝cos（ωt）＋sin（ωt）； （4）升余弦f（t）＝K[1＋cos（ωt）]。

　解：（1）信号sin（ωt）的周期为2π/ω，则整流信号|sin（ωt）|的周期为T＝π/ω，所以直流分量

　 （2）由f（t）＝sin 2 （ωt）＝[1－cos（2ωt）]/2可知，周期T＝π/ω。

　因为cos（2ωt）在一个周期内的平均值为零，所以直流分量

　（3）f（t）的周期T＝2π/ω，而在[0，2π/ω]内cos（ωt）和sin（ωt）的积分均为零，所以f D＝0。

　（4）f（t）的周期T＝2π/ω，在[0，2π/ω]内cos（ωt）积分为零，所以f D ＝K。

　1-18 粗略绘出图1-2-12所示各波形的偶分量和奇分量。

　图1-2-12 解：信号的偶分量f e （t）＝[f（t）＋f（－t）]/2，奇分量f o （t）＝[f（t）－f（－t）]/2。

　（a）由图1-2-12（a）可知，f e （t）和f o （t）的波形如图1-2-13（a）所示。

　图1-2-13（a）

　（b）由图1-2-12（b）可知，信号f（t）为偶函数，即f（t）＝f（－t），所以其f e （t）＝f（t），f o （t）＝0，即偶分量为其本身，奇分量为0，f e （t）的波形如图1-2-13（b）所示。

　图1-2-13（b）

　（c）先作出f（－t）的波形如图1-2-13（c 1 ）所示。

　图1-2-13（c 1 ）

　则可得f e （t）和f o （t）的波形如图1-2-13（c 2 ）所示。

　图1-2-13（c 2 ）

　（d）先作出f（－t）的波形如图1-2-13（d 1 ）所示。

　 图1-2-13（d 1 ）

　则可得f e （t）和f o （t）的波形如图1-2-13（d 2 ）所示。

　图1-2-13（d 2 ）

　1-19 绘出下列系统的仿真框图。

　（1）d[r（t）]/dt＋a 0 r（t）＝b 0 e（t）＋b 1 {d[e（t）]/dt}； （2）d 2 [r（t）]/dt 2 ＋a 1 {d[r（t）]/dt}＋a 0 r（t）＝b 0 e（t）＋b 1 {d[e（t）]/dt}。

　解：（1）取中间变量q（t），使 d[q（t）]/dt＋a 0 q（t）＝e（t）① 激励信号e（t）与中间变量q（t）的关系，如图1-2-14所示。

　 图1-2-14 将①代入原方程，得

　② 对比等式两边，可知r（t）＝b 0 q（t）＋b 1 {d[q（t）]/dt} 从而得到系统仿真框图，如图1-2-15所示。

　图1-2-15 （2）取中间变量q（t），使 d 2 [q（t）]/dt 2 ＋a 1 {d[q（t）]/dt}＋a 0 q（t）＝e（t）① 激励信号e（t）与中间变量q（t）的关系，如图1-2-16所示。

　 图1-2-16 将式①代入原方程，可得r（t）＝b 0 q（t）＋b 1 {d[q（t）]/dt}。

　从而得到系统仿真框图，如图1-2-17所示。

　图1-2-17

　1-20 判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果的。

　（1）r（t）＝d[e（t）]/dt； （2）r（t）＝e（t）u（t）； （3）r（t）＝sin[e（t）]u（t）； （4）r（t）＝e（1－t）； （5）r（t）＝e（2t）； （6）r（t）＝e 2 （t）；

　（7）

　； （8）

　。

　解：（1）令r 1 （t）＝d[e 1 （t）]/dt，r 2 （t）＝d[e 2 （t）]/dt，则

　系统满足线性关系。

　又 ，满足时不变性。

　由r（t）＝d[e（t）]/dt可知，系统在t 0 时刻的响应与t＞时的输入无关，因此系统满足因果性。

　综上，系统是线性、时不变、因果系统。

　（2）令r 1 （t）＝e 1 （t）u（t），r 2 （t）＝e 2 （t）u（t），则c 1 r 1 （t）＋c 2 r 2 （t）＝c 1 e 1 （t）u（t）＋c 2 e 2 （t）u（t）＝[c 1 e 1 （t）＋c 2 e 2 （t）]u（t），系统满足线性关系。

　又r（t－t 0 ）＝e（t－t 0 ）u（t－t 0 ）≠e（t－t 0 ）u（t），故系统时变。

　由r（t）＝e（t）u（t）知，系统响应只与当前激励有关，因此系统满足因果性。

　综上，系统是线性、时变、因果系统。

　（3）令r 1 （t）＝sin[e 1 （t）]u（t），r 2 （t）＝sin[e 2 （t）]u（t），则c 1 r 1 （t）＋c 2 r 2 （t）＝c1 sin[e 1 （t）]u（t）＋c 2 sin[e 2 （t）]u（t）≠sin[c 1 e 1 （t）＋c 2 e 2 （t）]u（t）。

　系统不满足线性关系。

　又r（t－t 0 ）＝sin[e（t－t 0 ）]u（t－t 0 ）≠sin[e（t－t 0 ）]u（t），故系统时变。

　由r（t）＝sin[e（t）]u（t）可知，系统响应只与当前激励有关，因此系统满足因果性。

　综上，系统是非线性、时变、因果系统。

　（4）令r 1 （t）＝e 1 （1－t），r 2 （t）＝e 2 （1－t），则c 1 r 1 （t）＋c 2 r 2 （t）＝c 1 e 1 （1－t）＋c2 e 2 （1－t），系统满足线性关系。

　由r（t）＝e（1－t）知，激励信号e（t）反褶后再右移1个单位可得响应信号r（t）。

　因为 ，故系统时变。

　当t＝0时，r（0）＝e（1－0）＝e（1），0时刻的响应取决于将来输入，故系统不满足因果条件。

　综上，系统是线性、时变、非因果系统。

　（5）令r 1 （t）＝e 1 （2t），r 2 （t）＝e 2 （2t），则c 1 r 1 （t）＋c 2 r 2 （t）＝c 1 e 1 （2t）＋c 2 e 2 （2t），系统满足线性关系。

　又r（t－t 0 ）＝e[2（t－t 0 ）]≠f[e（t－t 0 ）]＝e（2t－t 0 ），故系统时变。

　因为t＝1时，r（1）＝e（2），响应取决于将来值，不满足因果要求，所以系统为非因果系统。

　综上，系统是线性、时变、非因果系统。

　（6）令r 1 （t）＝e 1 2 （t），r 2 （t）＝e 2 2 （t），则：c 1 r 1 （t）＋c 2 r 2 （t）＝c 1 e 2 1 （t）＋c 2 e 2 2 （t）≠[c 1 e 1 （t）＋c 2 e 2 （t）] 2

　系统不满足线性关系。

　又r（t－t 0 ）＝e 2 （t－t 0 ），故系统为时不变系统。

　因为响应r（t）＝e 2 （t）只与输入的当前值有关，所以系统满足因果条件。

　综上，系统是非线性、时不变、因果系统。

　（7）令 ，则

　系统满足线性关系。

　作替换有 ，则

　 故系统满足时不变特性。

　由 知，响应只与当前及以前的输入有关，故系统满足因果性。

　综上，系统是线性、时不变、因果系统。

　（8）令 ，则

　系统满足线性关系。

　又 ，故系统时变。

　当t＝1时， ，响应与未来输入有关，因此系统不满足因果特性。

　综上，系统是线性、时变、非因果系统。

　1-21 判断下列系统是否是可逆的。若可逆，给出它的逆系统；若不可逆，指出使该系统产生相同输出的两个输入信号。

　（1）r（t）＝e（t－5）； （2）r（t）＝d[e（t）]/dt； （3）

　； （4）r（t）＝e（2t）。

　解：若系统在不同激励信号作用下产生不同的响应，则该系统可逆。

　（1）可逆，逆系统为r（t）＝e（t＋5）；

　（2）不可逆，因为若e 1 （t）＝t＋1，e 2 （t）＝t，则r（t）＝d[e 1 （t）]/dt＝d[e 2 （t）]/dt＝1，不同激励产生相同的响应，系统不可逆； （3）可逆，逆系统为r（t）＝d[e（t）]/dt； （4）可逆，逆系统为r（t）＝e（t/2）。

　 1-22 若输入信号为cos（ω 0 t），为使输出信号中分别包含以下频率成分：

　（1）cos（2ω 0 t）； （2）cos（3ω 0 t）； （3）直流。

　请你分别设计相应的系统（尽可能简单）满足此要求，给出系统输出与输入的约束关系式。讨论这三种要求有何共同性、相应的系统有何共同性。

　解：（1）系统模型为：r（t）＝e（2t）； （2）系统模型为：r（t）＝e（3t）； （3）系统模型为：r（t）＝e（t）＋c（c为非零常数）。

　三个要求的共性是：输入信号经过系统后，有新的频率分量产生。

　三个系统的共性是：都可以改变输入信号的频率或增加新的频率分量。

　1-23 有一线性时不变系统，当激励e 1 （t）＝u（t）时，响应r 1 （t）＝e －at u（t），试求当激励e 2（t）＝δ（t）时，响应r 2 （t）的表示式（假定起始时刻系统无储能）。

　解：由于该系统为线性时不变系统，起始时刻系统无储能，故系统的响应为零状态响应。又因为

　利用线性时不变系统的微分特性知

　1-24 证明δ函数的尺度运算特性满足δ（at）＝δ（t）/|a|。（提示：利用教材图1-28，当以t为自变量时脉冲底宽为η，而改以at为自变量时底宽变成η/a，借此关系以及偶函数特性即可求出以上结果。）

　证明：首先以t为横轴，脉冲底宽为η，高度为1/η，作δ（t）的矩形逼近图形，如图1-2-18所示。

　图1-2-18 再以at（假设a＞0）为横轴作相同的图形时，底宽变成η/a，但是要保证矩形的高度保持不变，则有矩形的面积变为原来的1/a倍，即δ（at）＝δ（t）/a。因为δ（t）是偶函数，所以当a＜0时有δ（at）＝δ（－at）＝－δ（t）/a。即从作用效果上来讲：δ（at）＝δ（t）/|a|。

　命题得证。

　1.3 名校考研真题详解

　一、选择题 1信号（sin2t＋cos5t）

　2 的周期是（

　）。[电子科技大学2013研] A．π/5 B．π/2 C．2π D．不是周期信号 【答案】C 【解析】将（sin2t＋cos5t）

　2 展开并进行降幂以及积化和差可得：（1－cos4t）/2＋（sin7t）/2－（sin3t）/2＋（1＋cos10t）/2。

　由此可知上式四项的周期分别为2π/4，2π/7，2π/3，2π/10，最小公倍数为2π，因此信号周期为2π。

　2 的值为（

　）。[武汉大学2015研] A．不确定 B．e －2

　C．0 D．e 2

　【答案】C 【解析】由冲激信号的抽样特性

　可得

　3积分 等于（

　）。[武汉科技大学2017研] A．－2δ（t）

　B．－2u（t）

　C．u（t－2）

　D．－2δ（t－2）

　【答案】B 【解析】根据冲激函数的性质有

　 4y（t）＝5cos（3t＋π/2）＋3cos（2t＋π/3）的周期是（

　）。[西南交通大学2014研] A．π/6 B．π/3 C．2π D．∞ 【答案】C 【解析】第一项周期为T 1 ＝2π/3，第二项周期T 2 ＝2π/2＝π，两者最小公倍数是2π，因此，y（t）的周期为2π。

　5下列各表达式中错误的是（

　）。[武汉科技大学2017研] A．δ′（t）＝－δ′（－t）

　B．

　C．

　D．δ′（t－t 0 ）＝δ′（t 0 －t）

　【答案】D 【解析】对于D项由冲激偶函数性质可知：δ′（t－t 0 ）＝δ′[（－1）（t 0 －t）]＝－δ′（t 0 －t）。

　6若f（t）是已录制声音的磁带，则下列表述错误的是（

　）。[西南交通大学2014研] A．f（－t）表示将磁带倒带转播放产生的信号 B．f（t＋2）表示将磁带以超前2个单位播放 C．f（t/2）表示原磁带放音速度以二倍速度加快播放 D．2f（t）将磁带的音量放大一倍播放 【答案】C 【解析】f（t/2）表示将声音长度扩展两倍，正常放音情况下，原磁带放音速度会降低一半播放。

　7若f（t）为系统的输入激励，y（t）为系统的输出响应，y（0）为系统的初始状态，下列哪个输出响应所对应的系统是线性系统（

　）。[西南交通大学2014研] A．y（t）＝5y 2 （0）＋3f（t）

　B．y（t）＝3y（0）＋2f（t）＋d[f（t）]/dt C．y（t）＝2y（0）f（t）＋2f（t）

　D．y（t）＝4y（0）＋2f 2 （t）

　【答案】B 【解析】线性系统性质：f 1 （t）→y 1 （t），f 2 （t）→y 2 （t），则a 1 f 1 （t）＋a 2 f 2 （t）→a 1 y 1 （t）＋a 2 y 2 （t），对于微分方程形式的系统而言，线性系统中不会出现输入、输出的乘积形式，也不会出现输入本身、输出本身的乘积形式。

　8系统 是（

　）。[电子科技大学2013研] A．非线性、时不变、非因果、稳定 B．线性、时变、非因果、稳定 C．非线性、时变、因果、非稳定 D．线性、时不变、非因果、稳定 【答案】B 【解析】①线性 设系统算子为T，则c 1 x 1 （t）＋c 2 x 2 （t）通过系统后的结果T[c 1 x 1 （t）＋c 2 x 2 （t）]为

　 因此系统是线性的。

　②时不变性 令t→t－t 0 ，则经过算子T后T[x（t－t 0 ）]为

　而

　比较以上两式有y（t－t 0 ）≠T[x（t－t 0 ）]，因此系统是时变的。

　③因果性 令t＝3有y（3）＝x（3）＋x（5），说明当前响应与未来激励相关，因此系统是非因果的。

　④稳定性 若x（t）有界，则y（t）＝x（t）＋x（t＋2）显然也是有界的，因此该系统是稳定的。

　综上所述，该系统是线性、时变、非因果、稳定系统。

　二、填空题 1计算积分 ______。[北京邮电大学2016研] 【答案】1 【解析】已知冲激偶积分公式

　故

　2某连续时间系统的输入为x（t），零状态响应为y m （t）＝3x（t）＋4，试判断该连续时间系统是否为线性系统______，是否为非时变系统______。[北京交通大学2015研] 【答案】否；是 【解析】因为3[x 1 （t）＋x 2 （t）]＋4≠[3x 1 （t）＋4]＋[3x 2 （t）＋4]＝y 1 （t）＋y 2 （t），因此该系统是非线性的；又因为3x（t－t 0 ）＋4＝y（t－t 0 ），因此该系统是非时变的。

　3 ______。[北京交通大学2015研] 【答案】1/2 【解析】依题意有

　 4积分 的值＝______。[华中科技大学2012研] 【答案】－2cos2 【解析】根据冲击偶函数的性质有

　三、判断题 1信号x（t）经过一个连续时间系统的输出为y（t）＝x（2t），该系统是时变系统。（

　）[北京邮电大学2016研] 【答案】对 【解析】由时不变判断方法可知，y（t－t 0 ）＝x[2（t－t 0 ）]≠T[x（t－t 0 ）]＝x（2t－t 0 ），因此系统是时变系统。

　2信号x（t）经过一个连续时间系统的输出为，T为非零实常数，该系统是因果系统。[北京邮电大学2016研] 【答案】错 【解析】因果系统是指系统在t 0 时刻的响应只与t＝t 0 和t＜t 0 时刻的输入有关，而该连续时间系统输出y（t）在t时刻的响应与时间段t－T/2＜t i ＜t＋T/2内的输入均有关，因此该系统是非因果系统。

　3两个线性时不变系统相级联的先后顺序不影响总的输入输出关系。（

　）[中山大学2010研] 【答案】对 【解析】线性时不变系统级联，总的系统函数相当于各个系统函数相卷积，根据卷积的性质，卷积的次序是可以交换的。

　4卷积可用于非线性时不变系统。（

　）[南京大学2010研] 【答案】错 【解析】设激励信号为e（t），系统的零状态响应为r（t），则

　此运算是线性时不变系统的输入和系统函数的卷积运算，因此若要满足上式，则系统必须要有叠加性，即要求是线性的；应用于非线性系统时，由于违反了叠加定理，因此不能使用。

　四、简答题 分析系统y（t）＝f（1－t）的线性、因果和时变特性。[西安电子科技大学2017研] 答：（1）线性 设系统算子为T，则c 1 f 1 （t）＋c 2 f 2 （t）通过系统后的结果T[c 1 f 1 （t）＋c 2 f 2 （t）]为 c 1 f 1 （1－t）＋c 2 f 2 （1－t）＝c 1 y 1 （t）＋c 2 y 2 （t）。

　因此系统是线性的。

　（2）因果性 令t＝0有y（0）＝f（1），说明当前响应与未来激励相关，因此系统是非因果的。

　（3）时不变 令t→t－t 0 ，则经过算子T后T[f（t－t 0 ）]为f（1－t－t 0 ），而y（t－t 0 ）＝f[1－（t－t 0 ）]＝f（1－t＋t 0 ），比较以上两式有y（t－t 0 ）≠T[f（t－t 0 ）]，因此系统是时变的。

　综上所述，该系统是线性、非因果、时变系统。

　五、画图题 1已知函数f 1 （－t/2）和f 2 （t）的波形如图1-3-1所示。画出y 1 （t）＝f 1 （t＋1）u（－t）和y 2 （t）＝f 2 （5－3t）的波形。[西安电子科技大学2017研]

　图1-3-1 答：y 1 （t）的波形如图1-3-2所示。

　 图1-3-2 根据f 2 （t）的波形图可知，f 2 （t）＝9δ（t＋1），因此y 2 （t）的表达式为：y 2 （t）＝f 2 （5－3t）＝3δ（t－2），则y 2 （t）的波形图如图1-3-3所示。

　图1-3-3

　2已知f（t）波形如图1-3-4所示，请画出信号f 1 （t）＝f（2－t）u（4－t）的波形图。[武汉大学2015研]

　图1-3-4 答：将f（t）先翻转然后右移两个单位后取t＜4的部分即可，如图1-3-5所示。

　 图1-3-5

　3信号x（t）如图1-3-6所示，画出信号y（t）＝2x（－t/3＋2/3）的图形。[北京邮电大学2012研]

　图1-3-6 答：y（t）＝2x[－（t－2）/3]如图1-3-7（d）所示。

　图1-3-7

　4粗略画出函数式 的波形图。[中山大学2011研] 答：此函数是Sa函数的尺度变换和位移变换，函数式的波形图如图1-3-8所示。

　 图1-3-8

　5已知f（t）的波形如图1-3-9所示，试画出f（5－2t）的波形。[武汉理工大学2010研]

　图1-3-9 答：由f（t）的波形可知f（－t）波形如图1-3-10所示。

　 图1-3-10 由f（－t）波形得f（－2t）波形如图1-3-11所示。

　图1-3-11 由以上得f（5－2t）＝f[－2（t－5/2）]波形如图1-3-12所示。

　 图1-3-12

　六、计算题 1 [西安电子科技大学2017研] 解：根据冲激函数性质有

　 2计算下列积分。[武汉大学2015研] （1）

　（2）

　解：（1）

　 （2）

　 3任意信号是如何分解成无穷多个单位阶跃信号或无穷多的单位冲激信号的？请阐述之。[武汉大学2015研] 答：以冲激响应为例，这种分解思路是先把信号f（t）分解成宽度为∆t的矩形窄脉冲之和，任意时刻k∆t的矩形脉冲幅度为f（k∆t）。假设f（t）为因果信号，则f（t）可表示为

　令窄脉冲宽度∆t→0，并对其取极限，得到

　此时k∆t→η，∆t→dη，，即求和运算变为积分运算。于是，用冲激函数表示任意信号的积分形式为

　同理，任意信号用阶跃函数表示为

　 4已知信号如图1-3-13所示。

　图1-3-13 （1）求x（t）与d[x（t）]/dt的表达式 （2）画出d[x（t）]/dt的图形 （3）画出x（2－t）u（－t）的图形。[电子科技大学2013研] 解：（1）根据x（t）的波形可以直接写出x（t）的表达式为

　x（t）＝（t－1）[u（t）－u（t－1）]＋2[u（t－1）－u（t－2）]＋（2－t）[u（t－2）－u（t－3）]＝（t－1）u（t）－（t－3）u（t－1）－tu（t－2）＋（t－2）u（t－3）

　因此d[x（t）]/dt的表达式为 d[x（t）]/dt＝[u（t）－u（t－1）]－[u（t－2）－u（t－3）]－δ（t）＋2δ（t－1）－2δ（t－2）＋δ（t－3）。

　（2）d[x（t）]/dt的图形如图1-3-14所示。

　图1-3-14 （3）利用信号的基本运算方法x（t）→x（－t）→ x[－（t－2）]→u（－t）

　x（2－t）。

　可得x（2－t）u（－t）的图形如图1-3-15所示。

　图1-3-15

　第 第2 章 连续时间系统的时域分析 2.1 复习笔记

　本章介绍了有关连续时间系统的时域分析，给出了几种典型的系统响应求解方法，讲述了冲激响应和阶跃响应及其性质以及卷积的性质。通过本章学习，读者应掌握：根据不同系统进行微分方程的建立、不同类型系统响应求解分析、如何求完全响应及各个分量以及冲激响应和阶跃响应的求解。

　一、微分方程的建立 微分方程是描述和分析连续时间系统的有力工具。对给定的具体系统进行电路分析，按照元件的约束条件可建立相应的微分方程。

　LTI系统一般可用高阶的微分方程表示为：

　二、系统响应的求解（见表2-1-1）

　表2-1-1 LTI系统方程解的分析

　 注：a．自由响应和零输入响应都满足齐次方程的解，但是系数完全不同，零输入响应的系数仅由起始储能情况决定，而自由响应的系数要同时依从于起始状态和激励信号。

　b．自由响应由两部分组成，其中，一部分由起始状态决定，另一部分由激励信号决定，二者都与系统的自身参数有关；当系统0 － 状态为零，则零输入响应为零，但自由响应可以不为零。

　c．零输入响应在0 － 时刻到0 ＋ 时刻不跳变，此时刻若发生跳变，可能为零状态响应分量。

　三、冲激响应和阶跃响应及其性质（见表2-1-2）

　表2-1-2 冲激响应和阶跃响应及其性质

　四、卷积及其性质（见表2-1-3）

　表2-1-3 卷积及其性质

　五、利用卷积分析通信系统多径失真的消除办法 在无线通信系统中，当接收机从正常途径收到发射信号时，可能还有其他寄生的传输路径，例如从发射机经某些建筑物反射到达接收端，产生所谓“回波”现象。

　回波系统的冲激响应表达式为：

　h（t）＝δ（t）＋aδ（t－T）

　若存在多个回声，则回波系统冲激响应可表示为：

　为了从含有干扰信号的回波系统中取出正常信号，需要设计一个“逆系统”进行补偿，逆系统的冲激响应以h i （t）表示，则e（t）＝r（t）*h i （t）＝e（t）*[h（t）*h i （t）]，经推导可得：

　 可根据具体环境要求，将k值取若干有限项即可满足消除回声的要求。

　2.2 课后习题详解

　2-1 对图2-2-1所示电路图分别列写求电压v 0 （t）的微分方程表示。

　 图2-2-1 解：（1）由图2-2-1（a）所示可列写两个网孔的KVL方程为：

　又 v o （t）＝2d[i 2 （t）]/dt③ 联立式①②③可得微分方程为：

　2d 3 [v o （t）]/dt 3 ＋5d 2 [v o （t）]/dt 2 ＋5d[v o （t）]/dt＋3v o （t）＝2d[e（t）]/dt。

　（2）图2-2-1（b）为双耦合电路，列出微分方程：

　化简方程组可得微分方程：

　 （3）由图2-2-1（c）所示列写电路方程，得：

　消元可得微分方程：

　（4）由图2-2-1（d）所示列写电路方程，得：

　消元可得微分方程：

　2-2 图2-2-2所示为理想火箭推动器模型。火箭质量为m 1 ，荷载舱质量为m 2 ，两者中间用刚度系数为k的弹簧相连接。火箭和荷载舱各自受到摩擦力的作用，摩擦系数分别为f 1 和f 2 。求火箭推进力e（t）与荷载舱运动速度v 2 （t）之间的微分方程表示。

　图2-2-2 解：设m 1 的速度为v 1 （t），对m 1 、m 2 进行受力分析，如图2-2-3所示。

　图2-2-3 其中，F k 为弹簧对火箭的张力，F k ′为弹簧对荷载舱的张力，且

　根据牛顿第二定律，分别对m 1 ，m 2 建立方程：

　消元可得微分方程：

　 2-3 图2-2-4是汽车底盘缓冲装置模型图，汽车底盘的高度z（t）＝y（t）＋y 0 ，其中y 0 是弹簧不受任何力时的位置。缓冲器等效为弹簧与减震器并联组成，刚度系数和阻尼系数分别为k和f。由于路面的凹凸不平[表示为x（t）的起伏]通过缓冲器间接作用到汽车底盘，使汽车振动减弱。求汽车底盘的位移量y（t）和路面不平度x（t）之间的微分方程。

　图2-2-4 解：对汽车底盘进行受力分析。

　 图2-2-5 设汽车底盘运动速度为v（t），方向向上；F k 为弹簧对汽车底盘的拉力，方向向下；F f 为减震器阻尼力，方向向下，如图2-2-5所示。

　汽车底盘的加速度为：

　① 因弹簧的位移量为x（t）－y（t），所以拉力为：

　F k （t）＝k[y（t）－x（t）]② 减震器对汽车底盘的作用力为：

　F f （t）＝f{d[y（t）－x（t）]/dt}③ 由牛顿第二定律知：

　F k （t）＋F f （t）＝－m·a（t）

　将式①②③代入上式，可得微分方程：

　d 2 [y（t）]/dt 2 ＋（f/m）{d[y（t）]/dt}＋（k/m）y（t）＝（f/m）{d[x（t）]/dt}＋（k/m）x（t）

　2-4 已知系统相应的齐次方程及其对应的0 ＋ 状态条件，求系统的零输入响应。

　（1）d 2 [r（t）]/dt 2 ＋2d[r（t）]/dt＋2r（t）＝0，给定：r（0 ＋ ）＝1，r′（0 ＋ ）＝2； （2）d 2 [r（t）]/dt 2 ＋2d[r（t）]/dt＋r（t）＝0，给定：r（0 ＋ ）＝1，r′（0 ＋ ）＝2； （3）d 3 [r（t）]/dt 3 ＋2d 2 [r（t）]/dt 2 ＋d[r（t）]/dt＝0，给定：r（0 ＋ ）＝r′（0 ＋ ）＝0，r′′（0＋ ）＝1。

　解：（1）系统的特征方程为：

　α 2 ＋2α＋2＝0 特征根为：

　α 1 ＝－1＋j，α 2 ＝－1－j 显然特征根为两个不相等复数解，故零输入响应可设为：

　r zi （t）＝e －t （A 1 cost＋A 2 sint）（t≥0 ＋ ）

　代入初始条件r（0 ＋ ）＝1，r′（0 ＋ ）＝2得：

　A 1 ＝1，A 2 ＝3 则系统的零输入响应为：

　r zi （t）＝e －t （cost＋3sint）（t＞0）

　（2）系统的特征方程为：

　α 2 ＋2α＋1＝0 特征根为：

　α 1 ＝α 2 ＝－1 由于特征根为两个相等的实数，故零输入响应可设为：

　r zi （t）＝A 1 e －t ＋A 2 te －t （t≥0 ＋ ）

　代入初始条件r（0 ＋ ）＝1，r′（0 ＋ ）＝2得：

　A 1 ＝1，A 2 ＝3 则系统的零输入响应为：

　r zi （t）＝（3t＋1）e －t （t＞0）

　（3）系统的特征方程为：

　α 3 ＋2α 2 ＋α＝0 特征根为：

　α 1 ＝0，α 2 ＝α 3 ＝－1 故零输入响应可设为：

　r zi （t）＝A 1 ＋A 2 e －t ＋A 3 te －t （t≥0 ＋ ）

　代入初始条件得：

　A 1 ＝1，A 2 ＝－1，A 3 ＝－1 则系统的零输入响应为：

　r zi （t）＝1－（1＋t）e －t （t＞0）

　2-5 给定系统微分方程、起始状态以及激励信号分别为以下两种情况：

　（1）d[r（t）]/dt＋2r（t）＝e（t），r（0 － ）＝0，e（t）＝u（t）； （2）d[r（t）]/dt＋2r（t）＝3d[e（t）]/dt，r（0 － ）＝0，e（t）＝u（t）。

　试判断在起始点是否发生跳变，据此对（1）（2）分别写出其r（0 ＋ ）值。

　解：当微分方程右端包含δ（t）及其各阶导数时，系统从0 － 状态到0 ＋ 状态发生跳变。

　（1）将e（t）＝u（t）代入原方程得：

　d[r（t）]/dt＋2r（t）＝u（t）

　因方程右端不包含δ（t）及其导数项，故r（t）在t＝0处连续，即r（0 ＋ ）＝r（0 － ）＝0。

　（2）将e（t）＝u（t）代入原方程得：

　d[r（t）]/dt＋2r（t）＝3δ（t）

　因方程右端包含δ（t），故r（t）在t＝0处发生跳变。

　由冲激函数匹配法知，方程右端存在3δ（t）时，方程左端d[r（t）]/dt必定包含3δ（t），因此r（t）在0 － 到0 ＋ 时刻有3∆u（t）存在，从而有r（0 ＋ ）－r（0 － ）＝3，已知r（0 － ）＝0，则r（0 ＋ ）＝3＋r（0 － ）＝3。

　2-6 给定系统微分方程：d 2 [r（t）]/dt 2 ＋3d[r（t）]/dt＋2r（t）＝d[e（t）]/dt＋3e（t），若激励信号和起始状态为：e（t）＝u（t），r（0 － ）＝1，r′（0 － ）＝2。试求它的完全响应，并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应各分量。

　解：方程的特征方程为：

　α 2 ＋3α＋2＝0 特征根为：

　α 1 ＝－1，α 2 ＝－2 由于特征根为两个不相等实数，故零输入响应可设为：

　r zi （t）＝A 1 e －t ＋A 2 e －2t （t＞0）① 代入已知条件：

　将其代入式①解得：

　A 1 ＝4，A 2 ＝－3 故零输入响应为：

　r zi （t）＝4e －t －3e －2t （t＞0）

　将激励信号e（t）＝u（t）代入原方程得：

　②

　方程右端包含δ（t），所以r zs （t）在0 － 到0 ＋ 状态有跳变。

　利用冲激函数匹配法，则：

　将上式代入式②对比得a＝1。

　故 。

　由上面所求特征根可设齐次解为：

　r zsh （t）＝B 1 e －t ＋B 2 e －2t （t＞0）

　又因t＞0时，e（t）＝u（t）＝1，故设特解为：

　r zsp （t）＝p（t＞0）

　将特解代入原微分方程，解得：p＝3/2 故零状态响应为：

　r zs （t）＝B 1 e －t ＋B 2 e －2t ＋3/2（t＞0）③ 将 、r zs （0 ＋ ）代入③，可得：

　r zs （t）＝－2e －t ＋e －2t /2＋3/2（t＞0）

　所以完全响应为：

　r（t）＝r zi （t）＋r zs （t）＝2e －t －5e －2t /2＋3/2（t＞0）

　其中，自由响应分量为2e －t －5e －2t /2（t＞0），强迫响应分量为3/2（t＞0）。

　2-7 电路如图2-2-6所示，t＝0以前开关位于“1”，已进入稳态，t＝0时刻，S 1 与S 2 同时自“1”转至“2”，求输出电压v 0 （t）的完全响应，并指出其零输入、零状态、自由、强迫各响应分量（E和I s 各为常量）。

　 图2-2-6 解：换路前，系统处于稳态，因而有v o （0 － ）＝E；换路后，由于电容两端电压不会发生突变，所以v o （0 ＋ ）＝v o （0 － ）＝E。

　列写t≥0 ＋ 后的电路方程：

　Cd[v o （t）]/dt＋v o （t）/R＝e（t）① 其中，e（t）＝I s u（t）。

　（1）求零输入响应 由方程①可知，系统特征方程为：

　Cα＋1/R＝0 则特征根为：

　α＝－1/RC 故设零输入响应为：

　v zi （t）＝Ae －t/RC （t＞0）

　将v zi （0 ＋ ）＝v o （0 － ）＝E代入上式得：A＝E 所以零输入响应为：

　v zi （t）＝Ee －t/RC （t＞0）

　（2）求零状态响应 由e（t）＝I s 可设特解为B，代入方程①得：B＝RI s 。

　故零状态响应设为：

　v zs （t）＝Ce －t/RC ＋RI s （t＞0）

　由冲激函数匹配法可得：v zs （0 ＋ ）＝v zs （0 － ）＝0，代入上式得：C＝－RI s 。

　所以零状态响应为：

　v zs （t）＝－RI s e －t/RC ＋RI s （t＞0）

　（3）完全响应为：

　v o （t）＝v zi （t）＋v zs （t）＝（E－RI s ）e －t/RC ＋RI s （t＞0）

　自由响应分量为（E－RI s ）e －t/RC （t＞0），强迫响应分量为RI s （t＞0）。

　2-8 图2-2-7所示电路，t＜0时，开关位于“1”且已达到稳态，t＝0时刻，开关自“1”转至“2”。

　图2-2-7 （1）试从物理概念判断i（0 － ），i′（0 － ）和i（0 ＋ ），i′（0 ＋ ）； （2）写出t≥0 ＋ 时间内描述系统的微分方程表示，求i（t）的完全响应。

　解：（1）开关位于“1”时电路达到稳态，由于回路中有电容器，因此电感两端的电压u L （t）＝0，回路电流i（0 － ）＝0； 由u L （t）＝L{d[i（t）]/dt}，可知i′（0 － ）＝0； 开关转至“2”时，电容两端电压瞬时不变，所以v C （0 ＋ ）＝v C （0 － ）。

　由i（t）＝C{d[v（t）]/dt}，可知i（0 ＋ ）＝i（0 － ）＝0； 故换路后电阻两端电压为0，又因为电容两端电压为10V，则电感两端电压为20－10＝10V。

　由u L （t）＝L{d[i（t）]/dt}，可知i′（0 ＋ ）＝10A。

　（2）由电路图列方程：

　将C、L、R代入并整理得一般形式为：

　i′′（t）＋i′（t）＋i（t）＝e′（t）① t≥0时，将e（t）＝20u（t）代入①，得：

　d 2 [i（t）]/dt 2 ＋d[i（t）]/dt＋i（t）＝20δ（t）

　所以t≥0 ＋ 时，上式可化为：

　d 2 [i（t）]/dt 2 ＋d[i（t）]/dt＋i（t）＝0（t≥0 ＋ ）

　特征方程为：

　α 2 ＋α＋1＝0 特征根为：

　齐次解为：

　由初始条件i（0 ＋ ）＝0，i′（0 ＋ ）＝10，解得：

　所以完全响应为：

　 2-9 求下列微分方程描述的系统冲激响应h（t）和阶跃响应g（t）。

　（1）d[r（t）]/dt＋3r（t）＝2d[e（t）]/dt； （2）d 2 [r（t）]/dt 2 ＋d[r（t）]/dt＋r（t）＝d[e（t）]/dt＋e（t）； （3）d[r（t）]/dt＋2r（t）＝d 2 [e（t）]/dt 2 ＋3d[e（t）]/dt＋3e（t）。

　解：（1）将冲激响应h（t）代入方程，得：

　d[h（t）]/dt＋3h（t）＝2δ′（t）① 特征方程为：

　α＋3＝0 特征根为：

　α＝－3 故方程齐次解为：

　h（t）＝Ae －3t （t≥0 ＋ ）② 由冲激函数匹配法，设

　上述方程组代入①，对比可得：

　a＝2，b＝－6 故有h（0 ＋ ）＝h（0 － ）＋b＝－6，代入式②得A＝－6。

　又因为a＝2，h（t）中含有2δ（t），所以系统的冲激响应为：

　h（t）＝2δ（t）－6e －3t u（t）

　阶跃响应为：

　（2）系统的阶跃响应方程为：

　d 2 [g（t）]/dt 2 ＋d[g（t）]/dt＋g（t）＝d[u（t）]/dt＋u（t）＝δ（t）＋u（t）① 特征方程为：

　α 2 ＋α＋1＝0 特征根为：

　 齐次解可设为：

　设特解为g p （t）＝B，代入方程①，解得B＝1。

　故系统完全响应形式为：

　由冲激函数匹配法可设

　代入阶跃响应方程①得：a＝1。

　故g′（0 ＋ ）＝g′（0 － ）＋a＝1，g（0 ＋ ）＝g（0 － ）＝0。

　将其代入 ，得：

　故系统阶跃响应为：

　系统冲激响应为：

　 （3）系统的冲激响应方程为：

　d[h（t）]/dt＋2h（t）＝δ′′（t）＋3δ′（t）＋3δ（t）① 特征方程为：

　α＋2＝0 特征根为：

　α＝－2 故解的形式为：

　h（t）＝Ae －2t （t≥0 ＋ ）

　由冲激函数匹配法，设

　② 将式②代入式①得：a＝b＝c＝1，h（0 ＋ ）＝h（0 － ）＋c＝1； 则可解得A＝1，且h（t）中含有δ（t）、δ′（t）。

　故冲激响应为：

　h（t）＝δ′（t）＋δ（t）＋e －2t u（t）

　阶跃响应为：

　 2-10 一因果性的LTI系统，其输入、输出用下列微分-积分方程表示。

　其中f（t）＝e －t u（t）＋3δ（t），求该系统的单位冲激响应h（t）。

　解：原微分方程可变换为：

　d[r（t）]/dt＋5r（t）＝e（t）*f（t）－e（t）

　令e（t）＝δ（t），则：

　d[h（t）]/dt＋5h（t）＝e －t u（t）＋2δ（t）

　引入微分算子p，则e －t u（t）＝δ（t）/（p＋1），从而有：

　（p＋5）h（t）＝δ（t）/（p＋1）＋2δ（t）

　则：

　 2-11 设系统的微分方程表示为：d 2 [r（t）]/dt 2 ＋5d[r（t）]/dt＋6r（t）＝e －t u（t）

　，求使完全响应为r（t）＝Ce －t u（t）时的系统起始状态r（0 － ）和r′（0 － ），并确定常数C值。

　解：引入微分算子p，即e －t u（t）＝δ（t）/（p＋1），微分方程可变为：

　（p 2 ＋5p＋6）r（t）＝δ（t）/（p＋1）

　故系统的零状态响应为：

　 由原微分方程知，特征根为α 1 ＝－2，α 2 ＝－3，所以零输入响应可表示为：

　r zi （t）＝A 1 e －2t ＋A 2 e －3t （t＞0）

　由已知系统的完全响应r（t）＝Ce －t u（t），故零状态响应为：

　对比得A 1 ＝1，A 2 ＝－1/2，C＝1/2。

　代入得零输入响应为：

　r zi （t）＝e －2t －e －3t /2（t＞0）

　故系统的初始状态为：

　2-12 有一系统对激励为e 1 （t）＝u（t）时的完全响应为r 1 （t）＝2e －t u（t），对激励为e 2 （t）＝δ（t）时的完全响应为r 2 （t）＝δ（t）。

　（1）求该系统的零输入响应r zi （t）； （2）系统的起始状态保持不变，求其对于激励为e 3 （t）＝e －t u（t）的完全响应r 3 （t）。

　解：（1）由题意可知e 2 （t）＝d[e 1 （t）]/dt，所以r zs2 （t）＝d[r zs1 （t）]/dt。

　由于是同一系统，零输入响应均为r zi （t），可得方程组：

　式②－①得：

　由微分算子法知（p－1）r zs1 （t）＝[1－2/（p＋1）]δ（t），则：

　将r zs1 （t）代入式①得：r zi （t）＝r 1 （t）－r zs1 （t）＝2e －t u（t）－e －t u（t）＝e －t u（t）。

　（2）由于系统的初始状态不变，则系统的零输入响应不变，即r zi （t）＝e －t u（t），由题意知激励为δ（t）时，完全响应为δ（t），所以，系统的单位冲激响应为：

　h（t）＝δ（t）－e －t u（t）

　当激励为e 3 （t）＝e －t u（t）时，其零状态响应为：

　r zs3 （t）＝e 3 （t）*h（t）＝e －t u（t）*[δ（t）－e －t u（t）]＝e －t u（t）－te －t u（t）

　故完全响应为：

　r 3 （t）＝r zi （t）＋r zs3 （t）＝（2－t）e －t u（t）

　2-13 求下列各函数f 1 （t）与f 2 （t）的卷积f 1 （t）*f 2 （t）：

　（1）f 1 （t）＝u（t），f 2 （t）＝e －αt u（t）； （2）f 1 （t）＝δ（t），f 2 （t）＝cos（ωt＋45 。

　）； （3）f 1 （t）＝（1＋t）[u（t）－u（t－1）]，f 2 （t）＝u（t－1）－u（t－2）； （4）f 1 （t）＝cos（ωt），f 2 （t）＝δ（t＋1）－δ（t－1）； （5）f 1 （t）＝e －αt u（t），f 2 （t）＝（sint）u（t）。

　解：（1）根据卷积微分和积分性质：

　故：

　（2）f 1 （t）*f 2 （t）＝δ（t）*cos（ωt＋45°）＝cos（ωt＋45°）

　（3）根据卷积微分和积分性质得：

　 （4）已知 ，因此求卷积并化简得：

　f 1 （t）*f 2 （t）＝cos（ωt）*[δ（t＋1）－δ（t－1）]＝cos[ω（t＋1）]－cos[ω（t－1）]＝－2（sinω）sin（ωt）

　（5）

　 2-14 求下列两组卷积，并注意相互间的区别。

　（1）f（t）＝u（t）－u（t－1），求s（t）＝f（t）*f（t）； （2）f（t）＝u（t－1）－u（t－2），求s（t）＝f（t）*f（t）。

　解：（1）根据卷积微分和积分性质得：

　 波形如图2-2-8（a）所示。

　（2）根据卷积微分和积分性质得：

　波形如图2-2-8（b）所示。

　（a）

　 （b）

　图2-2-8 从图形看出两者的区别为：将s 1 （t）右移2个单位将得到s 2 （t）。

　2-15 已知f 1 （t）＝u（t＋1）－u（t－1），f 2 （t）＝δ（t＋5）＋δ（t－5），f 3 （t）＝δ（t＋1/2）＋δ（t－1/2）。画出下列各卷积波形。

　（1）s 1 （t）＝f 1 （t）*f 2 （t）； （2）s 2 （t）＝f 1 （t）*f 2 （t）*f 2 （t）； （3）s 3 （t）＝{[f 1 （t）*f 2 （t）][u（t＋5）－u（t－5）]}*f 2 （t）； （4）s 4 （t）＝f 1 （t）*f 3 （t）。

　解：（1）s 1 （t）＝f 1 （t）*f 2 （t）＝[u（t＋1）－u（t－1）]*[δ（t＋5）＋δ（t－5）]＝[u（t＋6）－u（t＋4）]＋[u（t－4）－u（t－6）] 波形如图2-2-9（a）所示。

　（2）s 2 （t）＝f 1 （t）*f 2 （t）*f 2 （t）＝s 1 （t）*f 2 （t）＝[u（t＋11）－u（t＋9）]＋2[u（t＋1）－u（t－1）]＋[u（t－9）－u（t－11）] 波形如图2-2-9（b）所示。

　（3）s 3 （t）＝{[f 1 （t）*f 2 （t）][u（t＋5）－u（t－5）]}*f 2 （t）＝{s 1 （t）[u（t＋5）－u（t－5）]}*f 2 （t）＝[u（t＋5）－u（t＋4）＋u（t－4）－u（t－5）]*[δ（t＋5）＋δ（t－5）]＝[u（t＋10）－u（t＋9）]＋[u（t＋1）－u（t－1）]＋[u（t－9）－u（t－10）] 波形如图2-2-9（c）所示。

　（4）s 4 （t）＝f 1 （t）*f 3 （t）＝[u（t＋1）－u（t－1）]*[δ（t＋1/2）＋δ（t－1/2）]＝u（t＋3/2）－u（t－1/2）＋u（t＋1/2）－u（t－3/2）

　波形如图2-2-9（d）所示。

　 （a）

　（b）

　（c）

　 （d）

　图2-2-9

　2-16 设 ，证明r（t）＝Ae －t ，0≤t≤3，并求出A值。

　解：由于t∈[0，3]，因此

　则A＝1/（1－e －3 ）。

　2-17 已知某一LTI系统对输入激励e（t）的零状态响应，求该系统的单位冲激响应。

　解：由于

　又

　 对比得：h（t）＝e t－1 u（－t＋3）。

　2-18 某LTI系统，输入信号e（t）＝2e －3t u（t），在该输入下的响应为r（t），即r（t）＝H[e（t）]，又已知

　求该系统的单位冲激响应h（t）。

　解：由 ，可得：

　又 ，所以h（t）＝（e －2t /2）u（t）。

　2-19 对图2-2-10所示的各组函数，用图解的方法粗略画出f 1 （t）与f 2 （t）卷积的波形，并计算卷积积分f 1 （t）*f 2 （t）。

　 （a）

　（b）

　（c）

　（d）

　 （e）

　（f）

　图2-2-10 解：（a）①当－∞＜t＋2≤－3，即－∞＜t≤－5时，f 1 （t）*f 2 （t）＝0； ②当－3＜t＋2≤－2，即－5＜t≤－4时，f 1 （t）*f 2 （t）＝t＋5； ③当－2＜t＋2≤－1，即－4＜t≤－3时，f 1 （t）*f 2 （t）＝－t－3； ④当－1＜t＋2≤1，即－3＜t≤－1时，f 1 （t）*f 2 （t）＝0； ⑤当1＜t＋2≤2，即－1＜t≤0时，f 1 （t）*f 2 （t）＝2（t＋1）； ⑥当2＜t＋2≤3，即0＜t≤1时，f 1 （t）*f 2 （t）＝2（1－t）； ⑦当－1＜t－2≤1，即1＜t≤3时，f 1 （t）*f 2 （t）＝0； ⑧当1＜t－2≤2，即3＜t≤4时，f 1 （t）*f 2 （t）＝t－3； ⑨当2＜t－2≤3，即4＜t≤5时，f 1 （t）*f 2 （t）＝－t＋5； ⑩当3＜t－2＜∞，即t＞5时，f 1 （t）*f 2 （t）＝0。

　综上，卷积结果为：

　 f 1 （t）与f 2 （t）卷积积分的图解及卷积后的波形如图2-2-11（a）所示。

　 图2-2-11（a）

　（b）①当－∞＜t＋1≤1，即－∞＜t≤0时，

　②当1＜t＋1＜∞，即0＜t＜∞时，有

　综上，卷积结果为：

　 卷积图解及卷积后波形如图2-2-11（b）所示。

　图2-2-11（b）

　（c）①当－∞＜t≤0时，f 1 （t）*f 2 （t）＝0； ②当0＜t≤1时，

　③当t＞1且t－π≥0，即1＜t≤π时，有

　④当0＜t－π≤1，即π＜t≤π＋1时，有

　⑤当t－π＞1，即t＞π＋1时，f 1 （t）*f 2 （t）＝0。

　综上，卷积结果为：

　卷积图解如图2-2-11（c）所示。

　 图2-2-11（c）

　（d）①当t≤0时，f 1 （t）*f 2 （t）＝0 ②当0＜t≤1时

　③当1＜t≤2时

　④当2＜t≤3时

　⑤由以上推广，当n为奇数，且n＜t≤n＋1（n≥2）时：

　 当n为偶数，且n＜t≤n＋1（n≥2）时，

　结合以上n为奇数或n为偶数的情况，可得对于n＜t≤n＋1，（n≥2）时，有

　综上，可得：

　卷积图解及卷积后波形如图2-2-11（d）所示。

　 图2-2-11（d）

　（e）由题意可得d[f 2 （t）]/dt＝δ（t－1）。

　又 ，则由卷积性质可得：

　 ①当t－1≤0，即t≤1时，f（t）＝0； ②当t－1＞0，即t＞1时，f（t）＝g（t）*δ（t－1）＝[1－cos（t－1）]u（t－1）。

　综上，可得：

　卷积结果如图2-2-11（e）所示。

　图2-2-11（e）

　（f）由题意可得：

　 可将d[f 1 （t）]/dt看成周期为3的函数，g（t）的周期为2。

　利用卷积性质：

　①d[f 1 （t）]/dt的第一个周期与g（t）卷积的结果为：

　②d[f 1 （t）]/dt的第二个周期与g（t）卷积的结果为：

　③由此推广可得，d[f 1 （t）]/dt的第n个周期与g（t）卷积的结果为：

　综上，可得：

　卷积图解及卷积后波形如图2-2-11（f）所示。

　图2-2-11（f）

　2-20 图2-2-12所示系统是由几个“子系统”组成，各子系统的冲激响应分别为：h 1 （t）＝u（t）（积分器）、h 2 （t）＝δ（t－1）（单位延时）、h 3 （t）＝－δ（t）（倒相器）。

　试求总的系统的冲激响应h（t）。

　 图2-2-12 解：根据图2-2-12可知，h 2 （t）、h 1 （t）、h 3 （t）级联后与h 1 （t）并联，因此，总的冲激响应为：

　h（t）＝h 1 （t）＋h 2 （t）*h 1 （t）*h 3 （t）＝u（t）＋δ（t－1）*u（t）*[－δ（t）]＝u（t）－u（t－1）。

　2-21 已知系统的冲激响应h（t）＝e －2t u（t）：

　（1）若激励信号表示为：e（t）＝e －t [u（t）－u（t－2）]＋βδ（t－2）。式中β为常数，试确定响应r（t）。

　（2）若激励信号表示为：e（t）＝x（t）[u（t）－u（t－2）]＋βδ（t－2）。

　式中x（t）为任意t函数，若要求系统在t＞2的响应为零，试确定β值应等于多少？ 解：（1）r（t）＝e（t）*h（t）＝{e －t [u（t）－u（t－2）]＋βδ（t－2）}*[e －2t u（t）] 利用积分图解法可知：

　①当t≥2时

　②当0≤t＜2时

　③当t＜0时，两者卷积为0，即r（t）＝0； 综上，得：

　（2）由题（1）可知，当t＞2时：

　要使此时r（t）＝0，则有 。

　2-22 如果把施加于系统的激励信号e（t）按图2-2-13那样分解为许多阶跃信号的叠加，设阶跃响应为g（t），e（t）的初始值为e（0 ＋ ），在t 1 时刻阶跃信号的幅度为Δe（t 1 ）。试写出以阶跃响应的叠加取和而得到的系统响应近似式；证明，当取Δt 1 →0的极限时，响应r（t）的表示式为：

　[此式称为杜阿美尔积分，参看教材第一章式（1-63）及2.7节（一）。]

　 图2-2-13 解：根据教材式（1-63）可知，当Δt 1 →0时，可将信号f（t）表示为：

　假设系统的冲激响应为h（t），则当系统的激励信号为阶跃信号u（t）时，系统响应为：

　题目已知阶跃响应为g（t），因此有h（t）*u（t）＝g（t），h（t）*u（t－η）＝g（t－η）。

　代入r（t）的表示式可得：

　 2-23 若一个LTI系统的冲激响应为h（t），激励信号是e（t），响应是r（t）。试证明此系统可以用图2-2-14所示的方框图近似模拟。

　图2-2-14 证明：根据该方框图可写出r（t）与e（t）的关系式为：

　当T趋于0时，有

　因此，当T较小时，可以用题图所示的方框图近似模拟冲激响应为h（t），激励信号是e（t），响应是r（t）的LTI系统。

　2-24 若线性系统的响应r（t）分别用以下各算子符号式表达，且系统起始状态为零，写出各问的时域表达式。

　（1）Aδ（t）/（p＋α）； （2）Aδ（t）/（p＋α）

　2 ； （3）Aδ（t）/[（p＋α）（p＋β）]。

　解：（1）H（p）＝A/（p＋α），特征根为s＝－α，因此h（t）＝Ae －αt u（t），则Aδ（t）/（p＋α）＝Ae －αt u（t）。

　（2）H（p）＝A/（p＋α）

　2 ，特征根为s 1 ＝s 2 ＝－α，因此h（t）＝Ate －αt u（t），则Aδ（t）/（p＋α）

　2 ＝Ate －αt u（t）。

　（3）

　，特征根为－α、－β，均为一阶，故

　则

　 2-25 设H（p）是线性时不变系统的传输算子，且系统起始状态为零，试证明：[H（p）δ（t）]e －αt ＝H（p＋α）δ（t）。

　证明：设H（p）对应的冲激响应为h 1 （t），H（p＋α）对应的冲激响应为h 2 （t），有：

　因为系统起始状态为零，所以有：

　则：

　 显然，h 1 （t）e －αt ＝h 2 （t）

　则[H（p）δ（t）]e －αt ＝H（p＋α）δ（t），命题得证。

　2.3 名校考研真题详解

　一、选择题 1以下单位冲激响应中，（

　）不对应稳定系统。[武汉科技大学2017研] A．h（t）＝costu（t）

　B．h（t）＝te －t u（t）

　C．h（t）＝e 2t u（－t＋2）

　D．h（t）＝（sint）/t 【答案】A 【解析】利用来判断系统是否稳定，即当t趋向于正负无穷时，若h（t）≠0，则系统必然是不稳定的，而 ，因此h（t）＝costu（t）不对应稳定系统。

　2下列表达式中正确的是（

　）。[中山大学2010研] A．δ（2t）＝δ（t）

　B．δ（2t）＝δ（t）/2 C．δ（2t）＝2δ（t）

　D．δ（2t）＝δ（2/t）

　【答案】B 【解析】根据单位冲激函数的时间尺度变换性质，有δ（at）＝δ（t）/|a|。

　二、填空题 1卷积积分tu（t）*u（t－2）的值为______。[武汉大学2015研] 【答案】（1/2）（t－2）

　2 u（t－2）

　【解析】本题用时域解答，需先知道卷积公式tu（t）*u（t）＝（1/2）t 2 u（t），则原式可化为：

　tu（t）*u（t－2）＝tu（t）*u（t）*δ（t－2）＝[（1/2）t 2 u（t）]*δ（t－2）＝（1/2）（t－2）

　2 u（t－2）

　此外也可以用频域解答，先求两式的拉氏变换，相乘后取反变换即可得卷积结果。

　2某连续时间LTI系统，若系统的输入x（t）＝u（t）－u（t－1），冲激响应h（t）＝2[u（t）－u（t－2）]，则该系统的零状态响应y zs （t）在t＝2时刻的值y zs （2）＝______。[北京交通大学2015研] 【答案】2 【解析】求系统零状态响应用卷积法。即y zs （t）＝x（t）* h（t）。

　解法一：依题意有：

　解法二：根据题意，可得零状态响应为：

　 3卷积积分（2t＋1）*[u（t）－u（t－1）]＝______。[华中科技大学2012研] 【答案】2t 【解析】根据时域卷积的定义可知：

　 三、判断题 1信号经过线性时不变系统，其输出不会产生与输入信号频率成分不同的频率分量。（

　）[北京邮电大学2016研] 【答案】对 【解析】线性时不变系统的输出响应中只包含激励信号的频率成分，不会产生新的频率分量。

　2如果x（t）和h（t）是奇函数，则y（t）＝x（t）*h（t）是偶函数。（

　）[北京邮电大学2016研] 【答案】对 【解析】因为x（t）和h（t）为奇函数，y（t）＝x（t）*h（t），则y（－t）＝x（－t）*h（－t）＝[－x（t）]*[－h（t）]＝x（t）*h（t）＝y（t）。

　因此y（t）＝x（t）*h（t）是偶函数。

　四、计算题 1已知函数f 1 （t）和f 2 （t）波形如图2-3-1所示，求f（t）＝f 1 （t）*f 2 （t）的表达式，并画出f（t）的波形图。[西安电子科技大学2017研]

　图2-3-1 解：利用图解法求解二者卷积：

　。

　（1）当t＜－3时，如图2-3-2，显然，f 1 （t）*f 2 （t）＝0；

　 图2-3-2 （2）当－3≤t＜－2时，如图2-3-3，有：

　图2-3-3 （3）当－2≤t＜－1时，如图2-3-4，有：

　 图2-3-4 （4）当－1≤t＜0时，如图2-3-5，有：

　 图2-3-5 （5）当t≥0时，如图2-3-6，显然f 1 （t）*f 2 （t）＝0。

　 图2-3-6 综上，f（t）的表达式为：

　其波形图如图2-3-7所示。

　图2-3-7

　2一个互联线性时不变离散系统如图2-3-8所示，它的子系统的单位样值响应分别为：

　h 1 （n）＝δ（n）＋2δ（n－1）＋δ（n－2），h 2 （n）＝u（n），h 3 （n）＝u（n－3）

　联系y（n）和x（n）的总系统的单位样值响应记为h（n）。

　图2-3-8 （1）将h（n）用h 1 （n），h 2 （n）和h 3 （n）表示出来。

　（2）用（1）的结果具体计算h（n），并画出h（n）的波形图。[北京邮电大学2016研] 解：（1）由系统框图可知：h 2 （n）和h 3 （n）并联后与h 1 （n）相级联，因此，总系统的单位样值响应为：h（n）＝h 1 （n）*[ h 2 （n）－h 3 （n）]。

　（2）将h 1 （n），h 2 （n）和h 3 （n）表达式代入（1）中可知：

　h（n）＝[δ（n）＋2δ（n－1）＋δ（n－2）]*[u（n）－u（n－3）]＝[u（n）－u（n－3）]＋2[u（n－1）－u（n－4）]＋[u（n－2）－u（n－5）]＝u（n）＋2u（n－1）＋u（n－2）－u（n－3）－2u（n－4）－u（n－5）＝δ（n）＋3δ（n－1）＋4δ（n－2）＋3δ（n－3）＋δ（n－4）

　h（n）的波形图如图2-3-9所示。

　图2-3-9

　3某LTI系统的输入x 1 （t）与零状态相应y zs1 （t）分别如图2-3-10中（a）与（b）所示：

　（1）求系统的冲激响应h（t）、并画出h（t）的波形。

　（2）当输入为如图2-3-10中图（c）所示的信号x 2 （t）时，画出系统的零状态响应y zs2 （t）的波形。[西南交通大学2014研]

　图2-3-10 解：（1）根据图形可写出x 1 （t）与y zs1 （t）的函数式为：

　y zs1 （t）＝t[u（t）－u（t－1）]＋（2－t）[u（t－1）－u（t－2）]＝tu（t）*[δ（t）－2δ（t－1）＋δ（t－2）] x 1 （t）＝u（t）－u（t－1）＝u（t）*[δ（t）－δ（t－1）] 由于y zs1 （t）＝x 1 （t）* h（t），利用公式u（t）*u（t）＝tu（t），可得：

　y zs1 ＝tu（t）*[δ（t）－2δ（t－1）＋δ（t－2）]＝u（t）*[δ（t）－δ（t－1）]*u（t）*[δ（t）－δ（t－1）]＝{u（t）*[δ（t）－δ（t－1）]}*x 1 （t）

　因此h（t）＝u（t）*[δ（t）－δ（t－1）]＝u（t）－u（t－1），图形如图2-3-11所示。

　 图2-3-11 （2）x 2 （t）＝x 1 （t）－x 1 （t－1），根据LTI系统特性可得：y zs2 （t）＝y zs1 （t）－y zs1 （t－1）。系统的零状态响应y zs2 （t）的波形如图2-3-12所示。

　图2-3-12

　4已知 和，画出y（t）＝x（t）*h（t）的图形。[电子科技大学2013研] 解：依题可画出x（t）和h（t）波形...