解析几何(5)(学生)

　O

　x

　y

　B

　A

　 C

　D

　M

　N

　解析几何（ ５ ）

　— 探究问题 １．已知抛物线 C ：24 x y  的焦点为 F ，过点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A 、 B 两点；椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x 轴上，点 F 是它的一个顶点，且其离心率32e  ．（1）求椭圆 E 的方程；（2）经过 A 、 B 两点分别作抛物线 C 的切线1 l 、 2l ，切线1 l 与 2l 相交于点 M ．证明：

　MF AB  ；（3）

　椭圆 E 上是否存在一点M ，经过点M 作抛物线 C 的两条切线MA  、 MB   （A、B为切点），使得直线 AB   过点 F ？若存在，求出抛物线 C 与切线MA  、 MB   所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．

　２．如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分别为2m , 2n   m n  ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A , B , C , D .记mn  , BDM  和 ABN  的面积分别为1S 和2S . (１)当直线 l 与 y 轴重合时,若1 2S S   ,求  的值； (２)当  变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得1 2S S   ?并说明理由.

　３．已知 A、B、C 是椭圆 W :2214xy   上的三个点, O 是坐标原点. (１)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积； (２)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由.

　 ４．已知椭圆 ) 0 ( 1 :2222    b abyaxC 的离心率为 ,22其左、右焦点分别为2 1 ,FF ，点 P 是坐标平面内一点，且43,27| |2 1   PF PF OP （O 为坐标原点）．（１）求椭圆 C 的方程；（２）过点 )31, 0 (  S且斜率为 k 的动直线 l 交椭圆于 A、B 两点，在 y 轴上是否存在定点 M，使以 AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出 M 的坐标和 MAB  面积的最大值；若不存在，说明理由．

　xyOPQAT 巩固练习 １．过抛物线22 ( 0) y px p   对称轴上一点    ,0 0 A a a 的直线与抛物线相交于 M 、 N 两点，自 M 、 N向直线 : l x a   作垂线，垂足分别为1M 、1N ．（１）当2pa  时，求证：1AM ⊥1AN ；（２）记1AMM  、1 1AM N 

　、1ANN  的面积分别为1S 、2S 、3S ，是否存在  ，使得对任意的 0 a  ，都有22 1 2S S S   成立。若存在，求出  的值；若不存在，说明理由．

　２．如图，已知过   3, 2 T  的动直线 l 与抛物线2: 4 C y x  交于 P ， Q 两点，点 A (1,2) ． （１）证明：直线 AP 与直线 AQ 的斜率乘积恒为定值 2  ； （２）以 PQ 为底边的等腰三角形 APQ 有几个？请说明理由．

　 ３．给定椭圆 C：2 22 21( 0)x ya ba b    ，称圆心在原点 O、半径是2 2a b  的圆为椭圆 C 的“准圆”．已知椭圆 C 的一个焦点为 ( 2,0) F ，其短轴的一个端点到点 F 的距离为 3 ． （１）求椭圆 C 和其“准圆”的方程；（２）若点 A 是椭圆 C 的“准圆”与 x 轴正半轴的交点， , B D 是椭圆 C 上的两相异点，且 BD x  轴，求 AB AD  的取值范围；（３）在椭圆 C 的“准圆”上任取一点P ，过点 P 作直线1 2, l l ，使得1 2, l l 与椭圆 C 都只有一个交点，试判断1 2, l l 是否垂直？并说明理由．