基本不等式综合测试题

　基本不等式综合测试题

　 一、单选题 1．设正实数 x ， y 满足  yx y xe e e   ，则当 xy 取得最小值时， x  (

　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列不等式一定成立的是（

　）

　A．21( 0)4x x x   

　B．21 2| |( ) x x x R   …

　C．2212 22xx   D．211( )1x Rx  3．已知 1 x ,则91xx的最小值为(

　) A．4 B．6 C．7 D．10 4．已知  2 2, 0, , x y x y x y      ,则1 1x y的最小值是（

　 ）

　A．1 B．12 C．4 D．2 5．已知 0 a  ,下列各不等式恒成立的是(

　) A．12 aa 

　B．12 aa ≥

　C．12 aa  

　D．12 aa 

　6．已知正数 m ， n 满足 8 mn m n   ，则 2 m n  的最小值是（

　）

　A．18 B．16 C．8 D．10 7．下列不等式恒成立的是（

　）

　A．2 22 a b ab   B．2 22 a b ab    C． 2 | | a b ab   D． 2 | | a b ab  

　8．已知实数 a ， b 均大于零，且满足 2 1 a b   ，则1 aa b 的最小值为（

　）

　A． 2

　B． 12  C． 4

　D． 2 2

　9．设 0 a  ， 0 b ，给出下列不等式不恒成立的是（

　）

　A．21 a a   B．29 6 a a   C．1 1( ) 4 a ba b      D．1 14 a ba b         10．已知 2 x ，若2922x m mx  恒成立，则实数 m 的取值范围是（

　）

　试卷第 2 页，总 3 页 A． 2 m 或 4 m≥ B． 4 m 或 2 m

　C． 2 4 m   

　D． 4 2 m   

　11．已知正实数 a，b，c，则5 5 11 3 43 2a c c b b ab c a b a c     的最小值为（

　）

　A． 5 2

　B． 52  C． 8 26  D． 152 12．下列结论正确的是（

　）

　A．当 0 x  且 1 x 时，1lg 2lgxx  B． 0 x  时，46 xx  的最大值是 2 C．2254xx的最小值是 2 D．当 (0, ) x   时，4sinsinxx 的最小值为 4

　 二、填空题 13．若 0 ab 且 a b ¹ ，则a bb a 取值范围是_______________. 14．已知1 2, 0, 1 x yx y  ，则 xy 的最小值为___________ 15．设 a 、 b 、 c 是三个正实数，且2bca b ca   ，则653ab c 的最大值为__________. 16．已知函数 ( )xf x a b   ( 0 a  且 1, ) a b R   ， ( ) 1 g x x   ，若对任意实数 x 均有 ( ) ( ) 0 f x g x   ，则1 4a b 的最小值为_________.

　三、解答题 17．已知函数  9( ) 33f x x xx  . （1）求函数( ) f x 的最小值； （2）若不等式2( ) 7 f x t t    恒成立，求实数 t 的范围. 18．设二次函数2( ) 3 f x ax bx    . （1）若不等式 ( ) 0 f x  的解集为 ( 1,3)  ，求 a ， b 的值； （2）若 (1) 4 f  ， 0 a  ， 0 b ，求4 9a b 的最小值．

　19．已知25 4( ) , 0x xf x xx  

　（1）若 ( ) 0 f x  ，求 x 的取值范围； （2）求( ) f x 的最小值，并求其达到最小值时 x 的值 20．已知正数 x，y 满足 2 3 x y   ，且1 2x y的最小值为 k． （1）求 k． （2）若 a，b，c 为正数，且 a b c k    ，证明：2 2 23 2b c aka b c    ． 21．已知2( ) 3 f x ax bx    ，且   | ( ) 0 {1,3} x f x   . （1）求实数 a 和 b 的值，并求( )( ) ( 0)f xg x xx  的最小值； （2）若不等式2( ) (3 7) 0 f x mx m     对一切实数 x 都成立，求实数 m 的取值范围. 22．已知函数1( ) 4 2 8x xf x m   

　（1）若 1 m  ，求方程   0 f x  的解； （2）若对于     0,2 , 12 x f x    恒成立，求实数 m的取值范围.

　 答案第 1 页，总 16 页 参考答案 1．B 【分析】

　由 yx y xe e e   可得 xy xy  ，再利用基本不等式求最值，整理计算即可. 【详解】

　 2yx y xx e y e y xy x e       ，当且仅当 xy 时，等号成立， 22 2 x x x    . 故选：B. 【点睛】

　本题考查基本不等式求最小值，注意等号的成立条件，是基础题. 2．B 【分析】

　利用特殊值排除 AD选项，根据基本不等式等号成立的条件排除 C 选项，利用基本不等式，证得 B 选项成立. 【详解】

　分别令1, 02x x   排除 A，D．选项 C 等号不成立，排除 C.（即2 2 2212 , 2 1, 12x x xx     不合题意.）

　对于 B 选项，2 21 2 1 2 x x x     ，所以 B 选项正确. 故选：B． 【点睛】

　本小题主要考查利用基本不等式判断不等式是否成立，属于基础题. 3．C 【分析】

　由题意可得 1 0 x  ,可得  9 91 11 1x xx x     ,利用基本不等式求最小值,并验证等号成立即可. 【详解】

　 答案第 2 页，总 16 页 解: 已知 1 x ,则 1 0 x 

　 9 91 11 1x xx x        92 1 1 71xx    , 当且仅当911xx ,即 4 x  时等号成立. 所以91xx的最小值为: 7

　故选:C 【点睛】

　本题考查基本不等式求和的最小值,整体变形为可用基本不等式的形式,注意”一正二定三相等”. 4．D 【分析】

　先对1 1x y通分得到xyyx,根据2 2x y x y    ,得出2 21 1 xy yyx x  ,最后利用基本不等式即可得出最小值,需要注意等号成立的条件. 【详解】

　解: 已知  2 2, 0, , x y x y x y     

　则2 21 1 22x y x y xyx y xy xy xy     

　当且仅当 1 x y   时,等号成立. 故选:D 【点睛】

　本题考查基本不等式,需要注意”一正二定三相等”. 5．D 【分析】

　 答案第 3 页，总 16 页 当 0 a 时，10 aa  ，选项 , A B 不成立；当 0 a  时，10 aa  ，选项 C 不成立；1 1| | | | a aa a   ，由基本不等式可得选项 D 成立. 【详解】

　取 1 a 时，12 aa   ，可判断选项 A,B 不正确； 取 1 a  时，12 aa  ，可判断选项 C 不正确； 因为1, aa同号，1 1=| | | | 2 a aa a   ， 当且仅当 1 a 时，等号成立，选项 D 正确. 故选:D. 【点睛】

　本题考查基本不等式求最值满足的条件，“一正”“二定”“三等”缺一不可，解题时要注意特值的运用，减少计算量，提高效率，属于基础题. 6．A 【分析】

　根据正数 m ， n 满足 8 mn m n   ，可得8 11m n  ，然后由  8 12 2 m n m nm n      ，利用基本不等式求出 2 m n  的最小值． 【详解】

　正数 m ， n 满足 8 mn m n   ， 8 11m n  ．  8 1 16 162 2 10 10 2 18n m n mm n m nm n m n m n             … ， 当且仅当16n mm n ，即 12 m ， 3 n 时取等号， 2 m n   的最小值为 18． 故选: A ． 【点睛】

　本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属于基础题． 7．B

　 答案第 4 页，总 16 页 【分析】

　根据基本不等式即可判断选项 A是否正确，对选项 B 化简可得  20 a b   ，由此即可判断B 是否正确；对选项 C、D通过举例即可判断是否正确. 【详解】

　A.由基本不等式可知2 22 a b ab  ，故 A不正确； B.2 2 2 22 2 0 a b ab a b ab       ，即  20 a b   恒成立，故 B 正确； C.当 1,0 a b    时，不等式不成立，故 C 不正确； D.当 3,1 a b     时，不等式不成立，故 D不正确. 故选：B. 8．C 【分析】

　将所求式子整理为1 1 12 2 a b  ，利用  1 1 1 122 2a ba b a b      ，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】

　2 1 a b   ，11 1 1 1 1 1 122 2 2ba ba b a b a b a b        ，  1 1 1 1 1 5 5 92 2 22 2 2 2 2 2b a b a b aa ba b a b a b a b a b                 （当且仅当b aa b ，即 a b  时取等号）， 1 1 1 1 9 142 2 2 2aa b a b        （当且仅当 a b  时取等号），即1 aa b 的最小值为 4 . 故选：C. 【点睛】

　方法点睛：对于已知   1 , , , ma nb m n a b R     ，求解s ta b 的最小值的问题，需灵活应用等于 1 的式子，由  s t s tma nba b a b      配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值. 9．B

　 答案第 5 页，总 16 页 【分析】

　作差法比较大小及利用基本不等式判断可得. 【详解】

　解：设 0 a  ， 0 b ， 对于 A选项：221 31 02 4a a a        ，故 A选项的不等式恒成立； 2 29 6 ( 3) 0 a a a      ，故 B 选项不恒成立；  1 11 1 2 2 4b a b aa ba b a b a b            ，当且仅当b aa b 即 a b  时取等号，故 C选项中的不等式恒成立， 因为12 aa ≥ ，12 bb  ，1 14 a ba b         ，当且仅当1aa ，1bb ，即 1 a b  时取等号，故 D选项中的不等式恒成立， 故选：B． 【点睛】

　利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

　（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 10．C 【分析】

　由基本不等式可得982xx ，所以22 8 m m  ，从而得解. 【详解】

　因为 2 0 x 

　所以9 9 92 2 2 ( 2) 2 82 2 2x x xx x x           ，

　 答案第 6 页，总 16 页 当且仅当922xx ，即 5 x 时取等号， 又因为2922x m mx  恒成立， 所以22 8 m m  ， 解得 2 4 m    ． 故选：C. 11．C 【分析】

　令32b c xa b ya c z    ，则2 2 352 3 355x y zax y zbx y zc       ，代入5 5 11 3 43 2a c c b b ab c a b a c     整理化简后利用基本不等式即可求解. 【详解】

　令32b c xa b ya c z    且 0, 0, 0 x y z   

　，解得2 2 352 3 355x y zax y zbx y zc       ， 所以5 5 11 3 4 4 4 4 2 2 33 2a c c b b a x y z x y z x y zb c a b a c x y z                4 2 4 28 8 2 6y x z x z yx y x z y z         ，当且仅当 2 x y z   时等号成立， 故选：C 【点睛】

　易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

　（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

　 答案第 7 页，总 16 页 （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 12．B 【分析】

　根据基本不等式“一正、二定、三相等”，逐项判定，即可求解. 【详解】

　对于 A中，当 (0,1) x 时， lg 0 x  ，此时1lg 2lgxx  ， 当且仅当110x  时，等号成立，所以不正确； 对于 B 中，当 0 x  时，由4 4 46 6 6 2 2 x x xx x x           ， 当且仅当4xx 时，即 2 x  时等号成立，所以46 xx  的最大值是 2，所以是正确的； 对于 C 中，由22 22 2 25 1 14 2 4 24 4 4xx xx x x        ， 当且仅当22144xx 时，即24 1 x  （无解），所以不正确； 对于 D中，当 (0, ) x   时，由4 4sin 2 sin 4sin sinx xx x    ， 当且仅当4sinsinxx 时，即 sin 2 x  （不成立），所以不正确. 故选：B. 【点睛】

　利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：

　（1）“一正”：就是各项必须为正数； （2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 13． (2,) 

　 答案第 8 页，总 16 页 【分析】

　利用基本不用等式可求得结果. 【详解】

　因为 0 ab ， a b ¹ ，所以 0ab ， 所以 2 2a b a bb a b a    ，当且仅当 a b  时，等号成立， 但是 a b ¹ ，所以 2a bb a  ，即a bb a 取值范围是 (2, )  . 故答案为：

　(2, ) 

　【点睛】

　易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

　（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 14． 8

　【分析】

　由 x ， 0 y  且1 21x y ，可得( 2)2yx yy ，代入并利用基本不等式即可得出． 【详解】

　解：x ， 0 y 且1 21x y ， ( 2)2yx yy  24 4 4 42 4 2 ( 2) 4 82 2 2 2y yxy y y yy y y y             …，当且仅当4( 2) y x  时取等号． xy 的最小值是 8． 故答案为：8． 【点睛】

　利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

　 答案第 9 页，总 16 页 （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 15．5 【分析】

　本题首先可根据 2bca b ca   得出22a abcb a，然后将653ab c 转化为12653aabbab，再然后令bxa ，将上述式子转化为 16532 xxx ，最后通过基本不等式即可求出最值. 【详解】

　因为 2bca b ca   ，所以22 a ab ac bc   ，22a abcb a， 2 0 b a   ， 2ba

　则265 65 65 6531232323a abb ca b ba abb a ab abbabaa ， 设bxa ，则 2 x ，上述式子可转化为 16532 xxx ， 因为   3 3 61 2 3 33 2 7 132 2 26x xxx x xx x             ，当且仅当 3 x  时取等号， 所以 1265 655133xxx ，653ab c 的最大值为 5 ， 故答案为：

　5 . 【点睛】

　关键点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：

　（1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大

　 答案第 10 页，总 16 页 值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 16．4 【分析】

　由函数 ( ) 1 g x x   图象过定点 ( 1,0)  ，根据题意，得出 ( )xf x a b   必过点 ( 1,0)  ，取得 1 ab ，结合基本不等式，即可求解. 【详解】

　由题意，分别作出函数( ) f x 和 ( ) g x 的图像，如图所示， 函数 ( ) 1 g x x   图象过定点 ( 1,0)  ， 要使得对任意实数 x 均有 ( ) ( ) 0 f x g x   ， 则 ( )xf x a b   必过点 ( 1,0)  ，所以10 a b ，即 1 ab ， 因为 0 a  ，所以 0 b ， 所以1 4 44 ba b b    ，当且仅当1, 22a b   时取等号， 故1 4a b 的最小值为 4. 故答案为 4

　.

　【点睛】

　利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：

　（1）“一正”：就是各项必须为正数；

　 答案第 11 页，总 16 页 （2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 17．（1）

　9 ；（2）

　2 1 t    . 【分析】

　（1）将函数解析式变形，利用基本不等式，即可求出最值； （2）根据（1）的结果，将不等式化为2min( ) 7 f x t t    ，解对应的一元二次不等式，即可得出结果. 【详解】

　（1）因为 3 x ，所以 9 9 9( ) 3 3 2 3 3 93 3 3f x x x xx x x            ， 当且仅当933xx ，即 6 x  时，等号成立； 即函数( ) f x 的最小值为 9 ； （2）为使不等式2( ) 7 f x t t    恒成立，只需2min( ) 7 f x t t    ， 由（1）知29 7 t t   ，解得 2 1 t    ， 即实数 t 的范围为 2 1 t    . 【点睛】

　易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

　（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 18．（1）

　1, 2 a b    ；（2）25. 【分析】

　（1）由一元二次不等式与一元二次方程的关系运算即可得解；

　 答案第 12 页，总 16 页 （2）转化条件为 1 a b   ，  4 9 4 9 4 913b aa ba b a b a b       ，再由基本不等式即可得解. 【详解】

　解：（1）因为不等式   0 f x  的解集为 ( 1,3)  ， 所以-1 和 3是方程   0 f x  的两个实根，且 0 a ， 由根与系数的关系，得1 3 ,31 3 ,baa       解得12ab   （2）由 (1) 4 f  ，得 3 4 a b    ，即 1 a b   ， 又 0 a  ， 0 b ， 所以  4 9 4 9 4 9 4 913 13 2 25b a b aa ba b a b a b a b          

　当且仅当1,4 9,a bb aa b  即2,535ab 时，等号成立． 【点睛】

　利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

　（1）

　“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 19．（1）

　0 1 x   或 4 x  （2）-1，2 【分析】

　（1）因为 0 x  ，所以 ( ) 0 f x  等价于25 4 0 x x   ，在 0 x  的范围内解出 x 即可. （2）应用基本不等式求出最小值，并求出取最小值时 x 的值.

　 答案第 13 页，总 16 页 【详解】

　解：25 4( ) , 0x xf x xx   ，则( ) 0 f x  等价于25 4 0 x x   且 0 x 

　 即   25 4 1 4 0 x x x x       ，所以 1 x 或 4 x  ，又 0 x  ， 所以若 ( ) 0 f x  ，则 0 1 x   或 4 x  . （2）25 4 4 4( ) 5 2 5 1x xf x x xx x x         

　当且仅当4xx ，即 2 x  时“=”成立， 所以( ) f x 的最小值为-1，此时2 x  . 【点睛】

　本题考查应用基本不等式求最小值，属于基础题. 易错点睛：基本不等式的应用注意：“一正二定三相等”，注意检验等号成立的条件. 20．（1）3；（2）证明见解析. 【分析】

　（1）整体代入可得1 2 1 1 2 1 2 2( 2 ) 53 3y xx yx y x y x y               ，由基本不等式可得； （2）由（1）得 3 a b c    ，再利用基本不等式直接可以得证. 【详解】

　（1）正数 x，y，且 2 3 x y   ，所以1 2 1 1 2 1 2 2( 2 ) 53 3y xx yx y x y x y               ， 又因为 0 x  ， 0 y  ，所以2 2 2 22 4y x y xx y x y    ，当且仅当 1 x y   时取等号，  1 2 2 15 5 4 33 3y xx y        ，故 3 k  ； （2）证明：由（1）得 3 a b c    ，因为 a，b，c为正数，所以2 22 2b ba a ba a   ①，当且仅当 a b  时取等号， 同理可得22cb cb  ②，当且仅当 c b  时取等号，

　 答案第 14 页，总 16 页 22ac ac  ③，当且仅当 ca 时取等号， ①+②+③得2 2 2b c aa b ca b c    2 2 23 2( ) 6 2b c aa b c ka b c         ，当且仅当1 a b c    时取等号． 【点睛】

　结论点睛：利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①2 2, , 2 a b a b ab    R ，当且仅当 a b  时取等号；② , a b R   ， 2 a b ab   ，当且仅当 a b  时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1 的妙用”． 21．（1）

　1 a  ， 4 b ，min( ) 2 3 4 g x   ；（2）23,3   . 【分析】

　（1）根据     ( ) 0 1,3 x f x   ，得到 1，3 是 ( ) 0 f x  的两个根，从而得到( ) f x ，进而得到( ) 3( ) 4f xg x xx x    ，利用基本不等式求解, （2）由2( ) (3 7) 0 f x mx m     恒成立，转化为，2(1 ) 4 (3 10) 0 m x x m      恒成立，利用判别式法求解. 【详解】

　（1）∵     ( ) 0 1,3 x f x   ， ∴1，3 是 ( ) 0 f x  的两个根， ∴1 331 3baa    ， ∴ 1 a  ， 4 b . ∴2( ) 4 3 f x x x    ， 0 x  时，2( ) 4 3 3 3( ) 4 2 4 2 3 4f x x xg x x xx x x x           ，

　 答案第 15 页，总 16 页 当且仅当3xx 即3 x  时上式取等号， 所以min( ) 2 3 4 g x   . （2）由2( ) (3 7) 0 f x mx m     ，得2(1 ) 4 (3 10) 0 m x x m     

　（*）

　当 1 0 m   即 1 m  时，不等式（*）为 4 13 0 x    ，不满足对任意实数 x 都成立， ∴ 1 0 m   ，∴1 016 4(1 )(3 10) 0mm m       ， ∴213 7 6 0mm m   ， ∴1233mm   ， ∴233m    ， ∴ m 的取值范围为23,3   . 【点睛】

　方法点睛：(1)不等式 ax 2 ＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a＝0 时，b＝0，c＞0；当 a≠0 时，00a   ，不等式 ax 2 ＋bx＋c＜0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a＝0 时，b＝0，c＜0；当 a≠0 时，00a   . (2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再求函数的最值来处理，一般后者比较简单． 22．（1）2；（2）

　( ,2]  . 【分析】

　（1）当 1 m  时，可得1( ) 4 2 8x xf x   ，根据   0 f x  ，得到14 2 8 0x x  ，结合指数幂的运算，即可求解； （2）令 2 , [1,4]xt t   ，根据   12 f x  ，转化为242tmt 对任意[1,4] t 恒成立，结

　 答案第 16 页，总 16 页 合基本不等式，即可求解. 【详解】

　（1）当 1 m  时，可得1( ) 4 2 8x xf x   ， 由   0 f x  ，可得14 2 8 0x x  ，整理为    2 4 2 2 0x x   ， 因为 2 2 0x ，所以 2 4 0x ，可得 2 x  . （2）因为   0,2 x ，令 2 , [1,4]xt t   ，可得  22 8 f t t mt    ， 由   12 f x  ，可得22 8 12 t mt    ， 因为对于     0,2 , 12 x f x    恒成立，即242tmt 对任意[1,4] t 恒成立， 又因为24 2 22 22 2 2t t tt t t     ，当且仅当 2 t  时取等，所以 2 m ， 即实数 m的取值范围 ( ,2]  . 【点睛】

　不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法：

　1、若   0 f x  在集合 A 中恒成立，即集合 A 是不等式  0 f x  的解集的子集，可以先求出解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）； 2、转化为函数值域问题，即已知函数   f x 的值域为   , m n ，则   f x a  恒成立，转化为  min f x a  ，即 m a  ；   f x a  恒成立，转化为   max f x a  ，即 n a  .