高考数学 选择题填空题解题策略 [高考数学创新题解题策略]

　　创新推动着人类社会的不断进步，创新题在高考数学中能很好地把优秀考生和普通考生区分开来.数学创新试题相比于传统试题来说, 具有以下鲜明的特点: 背景新颖, 内涵深刻, 设问方式灵活，要求考生进行细致观察、认真分析、合理类比、准确归纳后才能实现, 它是以问题为核心, 以探究为途径、以发现为目的, 考查考生创新意识和创新能力的有效题型. 本文对高考数学创新试题的六种题型进行解析及揭秘其解题策略.
　　1. 新型定义型试题
　　新型定义型试题背景新颖、构思巧妙，主要通过定义一个新概念或约定一种新运算，或给定一个新模型来创设新的问题情境，要求考生在阅读理解的基础上，依据题中提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，从而顺利地解决问题，能有效地区分考生的思维品质和学习潜力.
　　例1. 已知集合M?哿R，若实数x0满足：?坌t>0，?埚x∈M，0■，也就是说t>■，那么取x=■，有00，y20， f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，S■≤■=3，即当t=1，m=0时，4r有最大值为3，得rmax=■，这时所求内切圆的面积为■?仔，∴存在直线l ∶ x=1，△ABF1的内切圆M的面积最大值为■?仔.
　　解题策略：解决探究型问题应注意三个基本问题:认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、联想、猜想等带有非逻辑思维成分的合理推理，以便为逻辑思维定向.方向确定后，借助逻辑思维，进行严格推理论证.
　　3. 类比归纳型试题
　　类比、归纳是重要的科学研究方法，可培养考生的创造性思维、创新精神和创造力．试题中往往给出一个命题且指出一个方向，要求考生从已知的结构出发，通过类比、归纳、应用的方式得到一般的结论或新命题．近些年高考中明显加强了对考生归纳与类比能力的考查，即由归纳猜想类比到发现新知，渗透了从局部到整体、从特殊到一般思维方法．
　　例4. 定义在R上的函数f（x）满足下列等式：
　　①f（2x）=2f 2（x）-1；
　　②f（4x）=8f 4（x）-8f 2（x）+1；
　　③f（6x）=32f 6（x）-48f 4（x）+18f 2（x）-1；
　　④f（8x）=128f 8（x）-256f 6（x）+160f 4（x）-32f 2（x）+1；
　　⑤f（10x）=af 10（x）-1280f 8（x）+1120f 6（x）+bf 4（x）+50f 2（x）-1．
　　观察以上等式，可以推测，a+b= ．
　　分析：本题给出一个抽象函数f（x），从心理方面给考生造成一定的压力，但实际是考查归纳推理，很明显的，要求a+b的值，可从给出等式的系数看出规律：式子中所有项的系数和为1.
　　解析：根据归纳推理可得：式子中所有项的系数和为1，故a-1280+1120+b+50-1=1，从而a+b=112.
　　解题策略：求解类比推理问题的关键在于确定类比物，建立类比项，并对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析，从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关联；求解归纳推理问题的关键是从一些特殊的例子中寻找共同的规律．
　　4. 图形信息型试题
　　在日常生活和生产中经常会出现图表问题，如每日的股市曲线图、菜场上的价目表、报纸上的有关国民经济的统计数据表等等，都是高考命题的源泉.表格中隐藏着丰富的数据和信息及其内在联系，对于表格的分析要能慧眼独具，不为浮云遮望眼，透过现象看本质.看清表格的本质，问题解决也就有了基础.
　　 例5. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，则 a5= ，若an=145，则n= ．
　　分析：先对前4个图形的五角形数1，5，12，22，…进行分析，可知道5-1=4，12-5=7，22-12=10，可以发现：4，7，10构成公差为3的等差数列，归纳可知道：从第2个五角形数起，每个五角形数和前一个五角形数之差成等差数列，故利用等差数列知识求解.
　　解析：由分析可知道，a5-a4=13，因为a4=22，所以a5=35；由题意，a2-a1=4，a3-a2=7，a4-a3=10，...，an-an-1=4+[（n-1）-1]×3=3n-2将上述各式左右分别相加得：an-a1=4+7+10+…+（3n-2）=■=■，所以an-a1=■，又因为a1=1，所以an=■+1=■，若an=145，则■=145，整理及因式分解得：（n-10）（3n+29）=0，解得n=10或-■（舍去），故若an=145，则n=10.
　　解题策略：图形或者图像的力量比文字更为简洁而有力，挖掘其中蕴涵的有效信息，正确理解问题是解题关键，对图形或者图像的独特理解很多时候成为问题解决中的亮点.
　　5. 实际应用型试题
　　数学生活化是新课程理念之一．实际应用型试题以社会生活热点为背景, 诸如环保、经济、科技型等，重点考查考生对现实问题的数学理解，要求考生依据题目提炼相关的数学模型，将现实问题转化为数学问题，用数学知识与方法加以解决.
　　例6. 某省计划2015年末“县县通高速”，如图，某县计划待建的高速公路MN的两侧有四个村镇：A1、B1、C1、D1通过小路和待建高速公路相连，各路口分别是A、B、C、D，现要在待建高速公路上建一个高速公路入口，为使各镇村民到高速公路入口所走的路程总和最小，该高速公路入口应建在（ ）
　　A． A处
　　B． D处
　　C． B、C之间的任何一处（包括B、C）
　　D． A、B之间的任何一处（包括A、B）
　　分析：本题是实际应用问题，由题意，各镇村民到高速公路入口所走的路程可以转化为两点间距离问题，即转为绝对值不等式问题求解.
　　解析：通过分析法将总长度最小转化为到A，B，C，D四地的距离和最小，通过分析进一步转化为应建在A，D之间.由于四个村镇的村民到路口A、B、C、D的距离是固定的，故要使所走的路程总和最小，只需使其到A、B、C、D四地的距离和最小，又高速公路入口在A、D之间时的总路程和一定比高速公路入口在A、D之外要小，所以应建在A、D之间，又由于这时A与D到高速公路入口的总路程和就为AD，故只需使高速公路入口到B、C两地的距离最小即可，故应建在B、C间的任何一处（包括B、C）.答案选C.
　　解题策略：近年来实际问题备受高考青睐, 解决这类问题的关键是熟记主要的数学模型：如函数与导数模型、数列模型、不等式模型、三角模型、解析几何模型、立体几何模型、线性规划模型、算法模型、概率统计模型等模型，然后根据实际问题进行分析，建立相应的数学模型，进行求解、检验.
　　6. 综合知识型试题
　　综合知识型试题包括数学学科内各个章节知识交汇及跨学科综合两种类型，考查考生利用数学知识和思想方法分析问题和解决问题的能力，具有良好的区分度.命制综合知识型试题目的是方便重点高校挑选优秀考生.
　　 例7. 神舟飞船在研制过程中，需要测量某物理量，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，…，an，共n个数据.研制组规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小.依此规定，从a1，a2，…，an推出的a= .
　　分析：本题以神舟飞船为背景，以物理学科知识点为载体，实际是考查了二次函数最小值的问题.
　　解析：设a与各数据的差的平方和为y,则y＝（a－a1）2＋（a－a2）2＋…＋（a－an）2＝na2－2（a1＋a2＋…＋an）a＋a12＋a22＋…＋an2，因n＞0，由二次函数的性质得，y取最小值时，a的值为-■=■（a1＋a2＋…＋an）.
　　解题策略：数学学科内各个章节知识交及学科间综合创新题注重了数学的现实性与时代性，关注生活、关注热点，命题呈现题意新颖、题型创新的特点，而跨学科的题目通常与物理、化学、生物等学科交叉.解决这一类题目的关键是从题目中构造数学模型，利用数学知识来解决.通常用到的数学知识有函数、数列、不等式、向量、概率等.
　　（作者单位：广东信宜砺儒中学）
　　责任编校 徐国坚