《会计电算化》试题十参考答案

　2.4.1 平面向量的数量积（教学设计）

　主备人：昂冉

　辅备人：高一数学备课组主备人教学设计

　 【教学目标】

　1. 通过经历探究过程，掌握平面向量的数量积及其几何意义。掌握平面向量数量积的重要性质及运算律。

　2. 了解用平面向量的数量积可以处理可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握向量垂直的条件。

　【教学重点】

　平面向量数量积的定义

　【教学难点】

　平面向量数量积的定义及其运算律的理解

　【教学方法】

　启发引导式

　【教学过程】

　一、 情境引入

　1. 数乘的概念？模长的概念？

　2. 一个物体在力 F 的作用下产生位移 S，那么 F所做的功为多少？

　解答：W=|F||S|cosθ

　其中θ是 F 与 S 的夹角

　二、 组内合作，班内交流

　上述第 2 个问题中，功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果。

　1． 数量积的概念及其几何意义

　数量积：已知两个非零向量与我们把数量||||cosθ叫做与的数量积（或内积），记作,那么=||||cosθ,其中θ是与的夹角。

　几何意义：||cosθ(||cosθ)叫做向量在方向上（在方向上）的投影，数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积。

　授课人

　补充意见

　批注 [ 微软用户1]: 引入简练有效

　主备人教学设计

　 注：①两个向量的数量积是一个实数

　②因为 0°≤θ≤180°所以当 0°≤θ≤90°时, >0;当θ=90°时，=0 当 90°<θ≤180°时，<0.

　③零向量与任何一个向量的数量积都等于 0

　④两个向量的数量积是两个向量之间的一种，乘法运算，它与数的乘法运算有着本质的区别“·”不能省略

　⑤由=||||cosθ可推出 cosθ=,利用此式可求出两个向量的夹角

　⑥一个向量在另一个向量方向上的投影也是一个实数其取值可正、可负、也可为零。

　2.

　数量积的性质

　设与都是非零向量，则

　（1）⊥  =0

　（2）当与同向时，=||||,当与反向时，=-||||,特别地，2 或=|| 2

　或||=

　（3）||≤||||

　（此处证明过程可板演，最好教师带领学生自主推导）

　注：①当=或=时，有=，但=时，不一定有=或=

　②⊥  =0 是判断两个非零向量是否垂直的依据；

　③ 2 ==| 2 |或||=是求向量模（两点间距离，线段长度）的依据

　授课人

　补充意见

　批注 [ 微软用户2]: 有错误

　主备人教学设计

　 例 1：已知||=5，||=4，与的夹角θ=120°，求·

　解：·=||||cosθ

　=5x4xcos120°

　=5x4x（）

　=-10

　3. 数量积的运算律

　已知向量,,的实数λ，则

　（1）=（交换律）

　（2）（λ）=λ（）=（λ）（结合律）

　（3）（+）·=+（分配律）

　证明：（3）如图，任取一点 O，作=，=，=，因为+（那）在方向上的投影等于，在方向上的投影的和，即

　|+|cosθ=||cosθ1

　+||cosθ2

　∴|||+|cosθ=||||cosθ1

　+||||cosθ2

　∴(+)=+

　∴(+)=+

　授课人

　补充意见

　主备人教学设计

　 注：①任何一种运算都有其相应的运算律，数量积作为一种向量的乘法运算，它满足上述三条运算律，这些运算律类似于实数的乘法运算律。

　②对于三个向量，,,数量积不满足结合律，形如，,的式子根本就没有意义。

　③；利用数量积的运算律可证明 (+) 2 =

　2 +2+ 2 , (-) 2 =

　2 -2+ 2 , (+)(-)= 2 - 2 ,它们与实数的相应公式完全一样，但其运算内涵不同。

　【解难释疑】

　例1， 我们知道，对任意 a，b∈R，恒有（a+b）2 =a 2 +2ab+b 2 ，(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 ，对任意向量·是否也有下面类似的结论？

　（1）(+) 2 =

　2 +2+ 2

　（2）(+)(-)= 2 - 2

　解：（1）(+) 2 =(+)(+)

　 =+++

　=

　2 +2+ 2

　（2）(+)(-)=-+-

　= 2 - 2

　因此，结论是成立的

　例 2.见课本 P105

　例 3.已知||=3，||=4,且与不共线，k 为何值时，向量+k 与-k 互相垂直？

　解：+k 与-k 互相垂直的条件是+k 与-k=0

　授课人

　补充意见

　主备人教学设计

　 即：

　2 -k 22 =0

　∵ 2 =3 2 =9, 2 =4 2 =16

　∴9-16 k 2 =0

　∴k=

　也就是说，当 k=时，+k 与-k 互相垂直。

　点评：本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件。

　【随堂练习】

　课本 P106

　练习 1、2、3

　【归纳小结】

　本节课重点讲解了数量积的意义，几何意义，数量积的重要性质，数量积的运算律。以及数量积的相关运用。

　【布置作业】

　课本 P108

　1、2、3、4

　【教后记 】

　 授课人

　补充意见

　 批注 [ 微软用户3]: 这节内容一节课上不掉