专题09,直线与圆（原卷版）

　题 专题 09 直线与圆

　【要点提炼】

　1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线 l 1 ，l 2 的斜率 k 1 ，k 2 存在，则 l 1 ∥l 2 ⇔k 1 ＝k 2 ，l 1 ⊥l 2 ⇔k 1 k 2 ＝ －1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式 (1)两平行直线 l 1 ：Ax＋By＋C 1 ＝0 与 l 2 ：Ax＋By＋C 2 ＝0 间的距离 d＝|C 1 －C 2 |A 2 ＋B 2 . (2)点(x 0 ，y 0 )到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝ |Ax0 ＋By 0 ＋C|A 2 ＋B 2. 3.圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a) 2 ＋(y－b) 2 ＝r 2 (r＞0)，圆心为(a，b)，半径为 r. (2)圆的一般方程：x 2 ＋y 2 ＋Dx＋Ey＋F＝0(D 2 ＋E 2 －4F＞0)，圆心为  － D2 ，－E2，半径为 r＝D 2 ＋E 2 －4F2. 4.直线与圆的位置关系的判定 (1)几何法：把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离. (2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式 Δ 来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.

　考点 考向一 直线的方程 【典例 1】

　(1)(2020·西安检测)若直线 x＋(1＋m)y－2＝0 与直线 mx＋2y＋4＝0平行，则 m 的值是(

　) A.1

　 B.－2

　 C.1 或－2

　 D.－ 32

　(2)已知直线 l 1 ：kx－y＋4＝0 与直线 l 2 ：x＋ky－3＝0(k≠0)分别过定点 A，B，又l 1 ，l 2 相交于点 M，则|MA|·|MB|的最大值为________. 解析 (1)由题意知 m(1＋m)－2×1＝0，解得 m＝1 或－2，当 m＝－2 时，两直线

　重合，舍去； 当 m＝1 时，满足两直线平行，所以 m＝1. (2)由题意可知，直线 l 1 ：kx－y＋4＝0 经过定点 A(0，4)， 直线 l 2 ：x＋ky－3＝0 经过定点 B(3，0)， 注意到直线 l 1 ：kx－y＋4＝0 和直线 l 2 ：x＋ky－3＝0 始终垂直，点 M 又是两条直线的交点， 则有 MA⊥MB，所以|MA| 2 ＋|MB| 2 ＝|AB| 2 ＝25. 故|MA|·|MB|≤ 252(当且仅当|MA|＝|MB|＝ 5 22时取“＝”). 答案 (1)A (2) 252 探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用 A 1 B 2 －A 2 B 1 ＝0 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意. 【拓展练习 1】

　(1)(多选题)光线自点(2，4)射入，经倾斜角为 135°的直线 l：y＝kx＋1 反射后经过点(5，0)，则反射光线还经过下列哪个点(

　) A.(14，2)

　B.  14， 98 C.(13，2)

　D.(13，1) (2)已知 l 1 ，l 2 是分别经过 A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当 l 1 ，l 2 间的距离最大时，则直线 l 1 的方程是________. 解析 (1)因为直线 l 的倾斜角为 135°，所以直线 l 的斜率 k＝－1，设点(2，4)关于直线 l：y＝－x＋1 的对称点为(m，n)，则 n－4m－2 ＝1，n＋42＝－ m＋22＋1，解得  m＝－3，n＝－1，所以反射光线经过点(－3，－1)和点(5，0)，则反射光线所在直线的方程为 y＝0－（－1）5－（－3）

　(x－5)＝18 (x－5)，当 x＝13 时，y＝1；当 x＝14 时，y＝98 .故选 BD. (2)当直线 AB 与 l 1 ，l 2 垂直时，l 1 与 l 2 间的距离最大.

　由 A(1，1)，B(0，－1)得 k AB ＝ －1－10－1＝2. ∴两平行直线的斜率 k＝－ 12 . ∴直线 l 1 的方程是 y－1＝－ 12 (x－1)，即 x＋2y－3＝0. 答案 (1)BD (2)x＋2y－3＝0 考向二 圆的方程 【典例 2】

　(1)(2020·石家庄模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于 1 的常数，则该点轨迹是一个圆”.现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座 5G 信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现 5G商用，已知甲、乙两地相距 4 km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的 3倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位：km 2 )是(

　) A.2 3

　 B.4 3

　 C.3 6

　 D.4 6 (2)已知圆 C 的圆心在直线 x＋y＝0 上，圆 C 与直线 x－y＝0 相切，且在直线 x－y－3＝0 上截得的弦长为 6，则圆 C 的方程为________. 解析 (1)以甲、乙两地所在直线为 x 轴，线段甲乙的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，设甲、乙两地的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，丙地坐标为(x，y)(y≠0)，则 （x＋2）

　2 ＋y 2 ＝ 3· （x－2）

　2 ＋y 2 ，整理得(x－4) 2 ＋y 2 ＝12，可知丙地所在的圆的半径为 r＝2 3.所以三角形信号覆盖区域的最大面积为 12 ×4×2 3＝4 3. (2)∵所求圆的圆心在直线 x＋y＝0 上， ∴设所求圆的圆心为(a，－a). 又∵所求圆与直线 x－y＝0 相切， ∴半径 r＝ 2|a|2 ＝ 2|a|. 又所求圆在直线 x－y－3＝0 上截得的弦长为 6，圆心(a，－a)到直线 x－y－3＝0 的距离 d＝ |2a－3|2，

　∴d 2 ＋   622＝r 2 ，即 （2a－3）22＋ 32 ＝2a2 ，解得 a＝1， ∴圆 C 的方程为(x－1) 2 ＋(y＋1) 2 ＝2. 答案 (1)B (2)(x－1) 2 ＋(y＋1) 2 ＝2 探究提高 1.第(1)题是一道以阿波罗尼斯圆为背景的数学应用问题，解题关键是先利用题设条件给出的关系式，求出阿波罗尼斯圆的方程，即(x－4) 2 ＋y 2 ＝12，然后应用圆中的几何量求解三角形信号覆盖区域的最大面积. 2.求圆的方程主要方法有两种：(1)直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法求圆的方程时，若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，否则选择圆的一般方程. 温馨提醒 解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质. 【拓展练习 2】

　(1)(2020·北京卷)已知半径为 1 的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(

　) A.4

　 B.5

　 C.6

　 D.7 (2)已知 A，B 分别是双曲线 C：

　x2m －y 22 ＝1 的左、右顶点，P(3，4)为 C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为________. 解析 (1)由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为 d min ＝ （3－0）

　2 ＋（4－0）

　2 －1＝4.故选 A. (2)∵P(3，4)为 C 上一点， 9m －162＝1， 解得 m＝1，则 B(1，0)，A(－1，0)， ∴k PB ＝ 4－03－1 ＝2，BP 的中点为(2，2)， PB 的垂直平分线方程为 l 1 ：y＝－ 12 (x－2)＋2， AB 的垂直平分线方程为 l 2 ：x＝0， 则圆心是 l 1 与 l 2 的交点 M，联立 l 1 与 l 2 方程， 解得  x＝0，y＝3，

　则 M(0，3)，r＝|MB|＝ 1＋3 2 ＝ 10，

　∴△PAB 外接圆的标准方程为 x 2 ＋(y－3) 2 ＝10. 答案 (1)A (2)x 2 ＋(y－3) 2 ＝10 考向三 直线(圆)与圆的位置关系 角度 1 圆的切线问题 【典例 3】

　(1)(2020·全国Ⅲ卷)若直线 l 与曲线 y＝ x和圆 x 2 ＋y 2 ＝ 15 都相切，则l 的方程为(

　) A.y＝2x＋1

　B.y＝2x＋ 12

　C.y＝ 12 x＋1

　D.y＝ 12 x＋12

　(2)(多选题)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x 2 ＋y 2 －4x＝0.若直线 y＝k(x＋1)上存在一点 P，使过点 P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 k 的可能取值是(

　) A.1

　 B.2

　 C.3

　 D.4 解析 (1)易知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程 y＝kx＋b，则|b|k 2 ＋1 ＝55 ①，设直线 l 与曲线 y＝ x的切点坐标为(x 0 ， x 0 )(x 0 >0)，则 y′|x＝x 0 ＝ 12 x 0 －12 ＝k ②，x 0 ＝kx 0 ＋b ③，由②③可得 b＝ 12x 0 ，将 b＝ 12x 0 ，k＝ 12 x 0 －12 代入①得 x 0 ＝1或 x 0 ＝－ 15 (舍去)，所以 k＝b＝12 ，故直线 l 的方程 y＝12 x＋12 . (2)由 x 2 ＋y 2 －4x＝0，得(x－2) 2 ＋y 2 ＝4，则圆心为 C(2，0)，半径 r＝2，过点 P所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为 A，B，连接 AC，BC，所以四边形 PACB 为正方形，即 PC＝ 2r＝2 2，圆心到直线的距离 d＝ |2k－0＋k|1＋k 2≤2 2，即－2 2≤k≤2 2，所以实数 k 的取值可以是 1，2.故选 AB. 答案 (1)D (2)AB 探究提高 1.直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式. 2.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.

　【拓展练习 3】

　(1)(2020·浙江卷)已知直线 y＝kx＋b(k＞0)与圆 x 2 ＋y 2 ＝1 和圆(x－4) 2 ＋y 2 ＝1 均相切，则 k＝__________，b＝__________. (2)已知⊙O：x 2 ＋y 2 ＝1，点 A(0，－2)，B(a，2)，从点 A 观察点 B，要使视线不被⊙O 挡住，则实数 a 的取值范围是(

　) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.  －∞，－ 4 33∪   4 33，＋∞ C.  －∞，－ 2 33∪   2 33，＋∞ D.  － 4 33， 4 33 解析 (1)直线 kx－y＋b＝0(k＞0)分别与圆心坐标为(0，0)，半径为 1，及圆心坐标为(4，0)，半径为 1 的两圆相切， 可得|b|k 2 ＋1 ＝1，①|4k＋b|k 2 ＋1 ＝1，② 由①②，解得 k＝33，b＝－ 2 33. (2)易知点 B 在直线 y＝2 上，过点 A(0，－2)作圆的切线. 设切线的斜率为 k，则切线方程为 y＝kx－2， 即 kx－y－2＝0. 由 d＝ |0－0－2|1＋k 2＝1，得 k＝± 3. ∴切线方程为 y＝± 3x－2，和直线 y＝2 的交点坐标分别为  － 4 33，2 ， 4 33，2 . 故要使视线不被⊙O 挡住，则实数 a 的取值范围是  －∞，－ 4 33∪   4 33，＋∞ . 答案 (1)33 － 2 33 (2)B 角度 2 圆的弦长的相关计算

　【典例 4】

　在直角坐标系 xOy 中，曲线 y＝x 2 ＋mx－2 与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(0，1).当 m 变化时，解答下列问题：

　(1)能否出现 AC⊥BC 的情况？说明理由； (2)证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值. (1)解 不能出现 AC⊥BC 的情况，理由如下：

　设 A(x 1 ，0)，B(x 2 ，0)，则 x 1 ，x 2 满足方程 x 2 ＋mx－2＝0， 所以 x 1 x 2 ＝－2.又 C 的坐标为(0，1)， 故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为 －1x 1·－1x 2＝－ 12 ， 所以不能出现 AC⊥BC 的情况. (2)证明 BC 的中点坐标为  x 22 ，12，可得 BC 的中垂线方程为 y－ 12 ＝x 2 x－ x 22. 由(1)可得 x 1 ＋x 2 ＝－m， 所以 AB 的中垂线方程为 x＝－ m2 . 联立 x＝－ m2 ，

　 ①y－ 12 ＝x 2 x－ x 22，

　② 又 x 2 2 ＋mx 2 －2＝0，③ 由①②③解得 x＝－ m2 ，y＝－12 . 所以过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为  － m2 ，－12，半径 r＝m 2 ＋92. 故圆在 y 轴上截得的弦长为 2 r 2 －  m22＝3， 即过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值. 探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题. 2.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，及半弦长 l2 ，构成直角三角形的三边，利用勾股定理来处理. 【拓展练习 4】

　(1)(2020·天津卷)已知直线 x－ 3y＋8＝0 和圆 x 2 ＋y 2 ＝r 2 (r＞0)相交于 A，B 两点.若|AB|＝6，则 r 的值为__________.

　(2)(2020·菏泽联考)已知圆 O：x 2 ＋y 2 ＝4，直线 l 与圆 O 交于 P，Q 两点，A(2，2)，若|AP| 2 ＋|AQ| 2 ＝40，则弦 PQ 的长度的最大值为________. 解析 (1)依题意得，圆心(0，0)到直线 x－ 3y＋8＝0 的距离 d＝|8|1 2 ＋（－ 3）

　2＝4，因此 r 2 ＝d 2 ＋  |AB|22＝25，又 r＞0，所以 r＝5. (2)设点 M 为 PQ 的中点，则|PM|＝|MQ|，

　在△APQ 中，由余弦定理易得 |AP| 2 ＋|AQ| 2 ＝|AM| 2 ＋|PM| 2 ＋|MQ| 2 ＋|AM| 2 ＝2(|AM| 2 ＋|MQ| 2 ) 又|MQ| 2 ＝|OQ| 2 －|OM| 2 ＝4－|OM| 2 ，|AP| 2 ＋|AQ| 2 ＝40. ∴40＝2|AM| 2 ＋8－2|OM| 2 ，则|AM| 2 －|OM| 2 ＝16， 设 M(x，y)，则(x－2) 2 ＋(y－2) 2 －(x 2 ＋y 2 )＝16. 化简得 x＋y＋2＝0. 当 OM⊥l 时，OM 取到最小值，即|OM| min ＝22 ＝ 2. 此时，|PQ|＝2 |OQ| 2 －|OM| 2 ＝2 2. 故弦 PQ 的长度的最大值为 2 2.

　 【 专题 拓展练习】

　一、单选题 1．如果直线 0 ax y   与直线 21 0 x y    平行，那么 a 等于（

　）

　A． 1 

　B．1 C． 2 

　D．2 2．直线 2 2 10 x y    与 2 0 x y    之间的距离是（

　）

　A．2

　B．32 C．24 D．3 24 3．已知直线 4 2 0 mx y    与直线 25 1 0 x y    垂直，则实数 m （

　）

　A．10 B． 10 

　C．5 D． 5 

　4．已知圆的方程是2 22 8 0 x y x     ，则该圆的圆心坐标及半径分别为（

　）

　A．   1,0  与 9

　B．   1,0 与 9

　C．   1,0  与 3

　D．   1,0 与 3

　5．直线 10 ax y    被圆2 2( 1) 2 x y    所截得的弦长为 2，则 a  （

　）

　A．12 B．1 C．0 D．3

　6．已知圆C：(x+3) 2 +(y+4) 2 =4上一动点B，则点B到直线l:3x+4y+5=0的距离的最小值为（

　）

　A．6 B．4 C．2 D． 2 3

　7．已知椭圆 C 的焦点为  11,0 F  ，  21,0 F ，且椭圆与直线 l ：

　7 x y   有公共点，则椭圆长轴长的最小值为（

　）

　A．10 B．7 C． 2 7

　D． 2 5

　8．已知直线 : 1 0 l x by    与圆    2 2: 2 8 C x b y     相交于 A 、 B 两点，且 ABC是顶角为23的等腰三角形，则 b 等于（

　）

　A． 1

　B．17 C． 1 

　D． 1 或17

　9．已知点 P(4，a)到直线 4x－3y－1＝0 的距离不大于 3，则 a 的取值范围是（

　）

　A．[－10，10] B．[－10，5] C．[－5，5] D．[0，10] 10．过点   4, 1 A   作圆  22( 2 1 4 ) : C y x    的一条切线 AB，切点为 B，则三角形 ABC的面积为（

　）

　A． 2 10

　B． 6 10

　C．12 D．6 11．已知2 2: 1 O x y   e ，直线 :2 0    l x y ，P 为 l 上的动点，过点 Р 作 O 的切线PA ， PB，切点为 A ， B，则 OP AB  最小值为（

　）

　A．1 B．2

　C．2 D． 2 2

　12．如图所示，矩形 ABCD 中， E 为边 AB 的中点，将 ADE  沿直线 DE 翻转成1ADE △ ，若 M 为线段1AC 的中点，则在 ADE 翻转过程中，则下列命题错误的是（

　）

　A． || BM 是定值 B．点 M 在圆上运动 C．一定存在某个位置，使1DE AC 

　D．一定存在某个位置，使 / / MB 平面1ADE

　二、解答题 13．已知圆 C：

　 221 9 x y    内有一点 P（2，2），过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点.

　（1）当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程； （2）当直线 l 的倾斜角为 45º时，求弦 AB 的长. 14．已知点 ( 2, 2), ( 2,6), (4, 2) A BC     ，点 P 在圆2 2: 4 E x y   上运动. （1）求过点 C 且被圆 E 截得的弦长为 2 2 的直线方程； （2）求2 2 2| | | | | | PA PB PC   的最值. 15．已知点 ( 4,0), (2,0) A B  ，动点 P 满足 || 2| | PA PB  . （1）求点 P 的轨迹 C 的方程； （2）求经过点 (2, 2) M  以及曲线 C 与2 24 x y   交点的圆的方程.