中考冲刺：代数综合问题(提高)

中考冲刺：代数综合问题(提高)
一、选择题
1. 如图，已知在直角梯形AOBC中，AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9，对角线OC、AB交于点D，点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点，以O为原点，直线OB为x轴建立平面直角坐标系，则G、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是（　 ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．点G　　 B．点E　　 C．点D　　 D．点F
2．已知函数y=，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ 　 ）　　　　　　　　　
A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3
3.（2016秋•重庆校级月考）已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；
②4ac﹣b2=0；
③a＞2；
④4a﹣2b+c＞0．其中正确的个数是（　　）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．1
　 B．2　 　 C．3　 　 D．4
二、填空题
4．若a+b-2-4=3- c-5，则a+b+c的值为______.
5．已知关于x的方程x2+（k-5）x+9=0在1＜x＜2内有一实数根，则实数k的取值范围是______．
6. （和平区校级期中）关于x的方程，2kx2-2x-3k=0的两根一个大于1，一个小于1，则实数k的的取值范围是______.
三、解答题
7．（2016•梅州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，求k的值．
8. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的一元二次方程的解．
（3）在（2）的条件下，将抛物线绕原点旋转，得到图象，点为轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与图象、交于两点，当线段的长度最小时，求点的坐标 　
　　　　　　　　　　　　　
9. 抛物线，a＞0，c＜0，．
（1）求证：；

　　（2）抛物线经过点，Q．
① 判断的符号；

　　② 若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，点B（点A在点B左侧），
请说明，．
10. 已知：二次函数y=．
（1）求证：此二次函数与x轴有交点；

　　（2）若m-1=0,求证方程有一个实数根为1；

　　（3）在（2）的条件下，设方程的另一根为a,当x=2时，关于n 的函数与的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与、的图象分别交于点C、D，若CD=6，求点C、D的坐标. 答案与解析 【答案与解析】　　一、选择题
1.【答案】A；

　　　【解析】
　在直角梯形AOBC中
　∵AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9
　∴点A的坐标为（9，12）
　　　∵点G是BC的中点
　∴点G的坐标是（18，6）
　　　∵9×12=18×6=108
　∴点G与点A在同一反比例函数图象上，故选A．
2.【答案】D；

　　　【解析】
　函数y=的图象如图：
　　　　　　　　　　　　　　　　
　根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，∴k=3．故选D．
3.【答案】B；

　　　【解析】①∵抛物线开口朝上，∴a＞0．
　　　　　∵抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1，∴b=2a＞0．
　　　　　当x=0时，y=c+2＞2，∴c＞0．∴abc＞0，①错误；

　　　　　　　②∵抛物线与x轴只有一个交点，
　　　　　∴b2﹣4a（c+2）=b2﹣4ac﹣8a=0，
　　　　　∴b2﹣4ac=8a＞0，②错误；

　　　　　　　③∵抛物线的顶点为（﹣1，0），
　　　　　∴抛物线解析式为y=a（x+1）2=ax2+2ax+a=ax2+bx+c+2，
　　　　　∴a=c+2＞2，③正确；

　　　　　　　④∵b=2a，c＞0，
　　　　　∴4a﹣2b+c=c＞0，④正确．
　　　　　故选B．
二、填空题
4.【答案】20；

　　　【解析】整理得：（a-1-2+1）+（b-2-4+4）+（c-3-6+9）=0
　（-1）2+（-2）2+（-3）2=0，
　∴=1，=2，=3，
　∵a≥1，b≥2，c≥3，
　∴a=2，b=6，c=12，
　∴a+b+c=20．
　故答案为：
20．
5.【答案】
　【解析】利用数形结合的方法将问题转化成二次函数y= x2+（k-5）x+9图象开口向上，与x轴的一个交点的
　横坐标在1＜x＜2内，故有两种情况，分析得出结论.
6.【答案】k＞0或k＜-2.
　【解析】设y=2kx2-2x-3k,
　∵方程2kx2-2x-3k=0d的两根一个大于1，一个小于1，
　∴当k＞0，抛物线开口向上，x=1时，y＜0，即2k-2-3k＜0，解得k＞-2，∴k＞0
　∴当k＜0，抛物线开口向下，x=1时，y＞0，即2k-2-3k＞0，解得k＜-2. ∴k＜-2
　∴k的取值范围为：k＞0或k＜-2.
三、解答题
7.【答案与解析】
解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
　　　　∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
　　　　解得：k＞，
　　　　即实数k的取值范围是k＞；

　　　　（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=﹣（2k+1），x1•x2=k2+1，
　　　　又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，
　　　　∴﹣（2k+1）=﹣（k2+1），
　　　　解得：k1=0，k2=2，
　　　　∵k＞，
　　　　∴k只能是2．
8.【答案与解析】
（1）证明：
　　　　
　　　
　　
　　　

　　　　　∵不论取何值时，
　　　　　∴，即
　　　　　∴不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）将代入方程，得　　　　

再将代入，原方程化为，解得．　
（3）将代入得抛物线：，将抛物线绕原点旋转得到的图象的解析式
　　 为：． 　
　　　　　　　　　　　　　　　　 

设，则，　



∴当时，的长度最小，

此时点的坐标为　
9.【答案与解析】
（1）证明：∵ ，
　　　　　 ∴ ．
　　　　　 ∵ a＞0，c＜0，
　　　　　 ∴ ，．
　　　　　 ∴ ．
　 （2）解：∵ 抛物线经过点P，点Q，
　　
　 ∴ 　
　　
　 ① ∵ ，a＞0，c＜0，
　　
　 ∴ ，．
　　
　 ∴ ＜0．
　　
　 ＞0．
　　
　 ∴ ．
　　
　 ② 由a＞0知抛物线开口向上．
　　
　 ∵ ，，
　　
　 ∴ 点P和点Q分别位于x轴下方和x轴上方．
　　
　 ∵ 点A，B的坐标分别为A，B（点A在点B左侧），
　　
　 ∴ 由抛物线的示意图可知，对称轴右侧的点B的横坐标满足．
　　
　 （如图所示）
　　　　　　　　　　　　　　　 
　　
　 ∵ 抛物线的对称轴为直线，由抛物线的对称性可，由（1）知，
　　
　 ∴ ．
　　
　 ∴ ，即．
10.【答案与解析】
（1）证明：令，则有
　　　　　 △=　
　　　　　 ∵，∴△≥0　　　　　　　　
　　　　　 ∴二次函数y=与x轴有交点　
（2）解：解法一：由，方程可化为
　　　　 　　 解得：　　
　　　　 ∴方程有一个实数根为1　
　　　　 解法二：由，方程可化为
　　　　 　　
　　　　 当x=1时，方程左边=1+(n-2)+1-n=0
　　　　 方程右边=0
　　　　 ∴左边=右边　　　
　　　　 ∴方程有一个实数根为1　
（3）解：方程的根是：
　　　　　　 ∴
　　　　 当=2时，，　　　
　　　　 设点C（）则点D（）
　　　　　　 ∵CD=6 ，　 ∴
　　　　 ∴　　　　　　
　　　　 ∴C、D两点的坐标分别为C（3，4），D（3，-2）或C（-1，0），D（-1，-6）