高考题汇编,,线性规划（例文）

　7 2007 年- -0 2010 年新课标高考数学（理科）试题分类精编

　第 第 1 11 部分- - 线性规划

　一. . 选择题

　1. （0 2010 年 北京理 7 7 ）设不等式组 11 03 3 05 3 0x yx yx y 9       

　表示的平面区域为 D，若指数函数 y=xa 的图像上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是

　 （A）(1,3]

　 (B )[2,3]

　(C ) (1,2]

　 (D )[ 3,  ] 解析：这是一道略微灵活的线性规划问题，作出区域 D 的图象，联系指数函数xy a 的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点（2,9）时，a 可以取到最大值 3，而显然只要 a 大于 1，图象必然经过区域内的点 A。

　2.(

　0 2010 年 福建理 8)设不等式组x 1x-2y+3 0y x 所表示的平面区域是1 ,平面区域是2与1 关于直线 3 4 9 0 x y    对称,对于1 中的任意一点 A 与2 中的任意一点 B, | | AB 的最小值等于(

　) A.285

　 B.4

　 C. 125

　D.2 【答案】B B 【解析】由题意知，所求的 | | AB 的最小值，即为区域1 中的点到直线3 4 9 0 x y    的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示， 可看出点（1，1）到直线 3 4 9 0 x y    的距离最小，故 | | AB 的最小值为 |3 1 4 1 9|2 45     ，所以选 B。

　【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。

　3. （0 2010 年理 山东理 10 ）设变量 x 、 y 满足约束条件2 ,5 10 0,8 0,x y ox yx y       ,则目标函数 z =3 x －4 y 的最大值和最小 值分别为 （A）3，－11

　 （B) －3, －11 (C)11, －3

　 (D)11,3 【答案】A A 【解析】画出平面区域如图所示：

　可知当直线 z=3x-4y 平移到点（5，3）时，目标函数 z=3x-4y 取得最大值 3；当直线 z=3x-4y 平移到点（3，5）时，目标函数 z=3x-4y 取得最小值-11，故选 A。

　【命题意图】本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数 z=3x-4y 的几何意义是解答好本题的关键。

　4. （0 2010 年浙江理 7 7 ）若实数 x ， y 满足不等式组3 3 0,2 3 0,1 0,x yx yx my       且 x y  的最大值为 9，则实数 m 

　（A）

　2 

　（B）

　1 

　 （C）1

　（D）2 解析：将最大值转化为 y 轴上的截距，将 m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选 C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题 9 5.(2009 年陕西理 11)若 x，y 满足约束条件112 2x yx yx y     ，目标函数 2 z ax y   仅在点（1，0）处取得最小值，则 a 的取值范围是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

　w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

　 (A) （ 1  ，2 ）

　(B) （ 4  ，2 ）

　 (C) ( 4,0] 

　(D) ( 2,4) 

　答案：B B 解析：根据图像判断，目标函数需要和 1 x y   ， 2 2 x y   平行， 由图像知函数 a 的取值范围是（ 4  ，2 ）

　6. （9 2009 年海南理 6 6 ）设 x,y 满足2 41,2 2x yx y z x yx y       则

　（A）有最小值 2，最大值 3

　 （B）有最小值 2，无最大值 （C）有最大值 3，无最小值

　 （D）既无最小值，也无最大值 解析：画出可行域可知，当 z x y   过点（2，0）时，min2 z  ，但无最大值。选 B. 9 7.(2009 年山东理 12) 设 x，y 满足约束条件     0 , 00 20 6 3y xy xy x ， 若目标函数 z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为 12， 则2 3a b 的最小值为(

　).

　A.625

　B.38

　C. 311

　 D. 4

　 【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z（a>0，b>0）

　x

　 2

　 2

　 y

　 O

　-2

　 z=ax+b3x-y-6=0

　x-y+2=

　过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时, 目标函数 z=ax+by（a>0，b>0）取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而2 3a b =2 3 2 3 13 13 25( ) ( ) 26 6 6 6a b b aa b a b       ,故选 A. 【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知 2a+3b=6,求2 3a b 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答 9 8.(2009 年天津理 2)设变量 x，y 满足约束条件：312 3x yx yx y    .则目标函数 z=2x+3y 的最小值为 （A）6

　 （B）7

　 （C）8

　（D）23 【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。

　解析：画出不等式312 3x yx yx y     表示的可行域，如右图，让 目 标 函 数表示直线3 32 z xy       在可行域上平移，知在点 B 自目标 函 数 取 到最小值，解方程组         3 23y xy x得 ) 1 , 2 ( ， 所以 7 3 4min      z ，故选择 B。

　9. （9 2009 理 年安徽理 7 7 ）若不等式组03 43 4xx yx y   所表示的平面区域被直线43y kx   分为面积相等的两部分，则 k 的值是

　（A）73

　 （B）

　37

　（C）43

　（D）

　34高.考.资.源.网 [ [ 解析] ] ：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由3 43 4x yx y   得 A（1，1），又 B（0，4），C（0，43）

　∴ S △ABC =1 4 4(4 ) 12 3 3   ，设 y kx  与 3 4 x y   的 交点为 D，则由1 22 3BCDS S ABC   知12Dx  ，∴52Dy 

　∴5 1 4 7,2 2 3 3k k     选 A。

　8642-2-4-15 -10 -5 5 10 152x-y=3x-y=1x+y=3q x   = -2x3+7h x   = 2x-3g x   = x+1f x   = -x+3ABA x D y C O y=kx+43

　8 10.(2008 年山东理 12)设二元一次不等式组2 19 08 02 14 0x yx yx y    ，，≥≥≤所表示的平面区域为 M ， 使函数 ( 0 1)xy a a a    ， 的图象过区域 M 的 a 的取 值范围是（

　）

　A． [13] ，

　B． [2 10] ，

　C． [29] ， D． [ 10 9] ，

　解：

　C,区域 M 是三条直线相交构成的三角形（如图）

　显 然 1 a  ， 只 需 研 究 过 ( 1 , 9 ) 、 (3,8) 两 种 情 形 ，

　19 a  且38 a  即 2 9. a  

　8 11.(2008 年广东理 4)若变量 x y ， 满足2 402 5000x yx yxy ，，，，≤≤≥≥则 3 2 z x y   的最大值是（

　 ）

　A．90

　 B．80

　C．70

　D．40 【解析】画出可行域,利用角点法易得答案 C.

　 二. . 填空题 0 1.( 2010 年陕西理 14)铁矿石 A 和 B 的含铁率 a ,冶炼每万吨铁矿石的2CO 的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如下表：

　a

　b (万吨) c （百万元）

　A

　50% 1 3 B

　70% 0．5 6 某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求2CO 的排放量不超过 2 (万吨),则购买铁矿石的最少费用为__ __________

　(百万元). 【答案】

　15 【解析】设铁矿石 A 购买了 x 万吨，铁矿石 B 购买了 y 万吨，购买铁矿石的费用为 z 百万元，则由题设知，本题即求实数 y x, 满足约束条件  002 5 . 09 . 1 % 70 % 50yxy xy x，即  004 219 7 5yxy xy x（*）时，y x z 6 3   的最小值.作不等式组(*)对应的平面区域，如图阴影部分所示.现让直线 y x z 6 3   ，即

　z x y6121   平移分析即知，当直线经过点 P 时， z 取得最小值.又解方程组  4 219 7 5y xy x得点 P 坐标为   2 , 1 .故 15 2 6 1 3min     z .

　 2.(0 2010 年 理 安 徽 理 13) 设 , x y 满足约 束条件2 2 08 4 00 , 0x yx yx y      ， 若 目 标 函 数  0 , 0 z a b x y a b    的最大值为 8，则 a b 的最小值为________。

　【答案】4 4 【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4 个顶点是 1(0,0),(0,2),( ,0),(1,4)2，易见目标函数在 (1,4) 取最大值 8， 所以 8 4 4 ab ab     ，所以 2 4 a b ab    ，在 2 a b   时是等号成立。所以 a b  的最小值为4. 【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入得 4 ab ，要想求 a b  的最小值，显然要利用基本不等式. 3. （0 2010 理 年辽宁理 14 ）已知 1 4 x y     且 2 3 x y    ，则 2 3 z x y   的取值范围是_______（答案用区间表示）

　【答案】（3 ，8 ）

　【命题立意】本题考查了线性规划的最值问题，考查了同学们数形结合解决问题的能力。

　【解析】画出不等式组1 42 3x yx y      表示的可行域，在可行域内平移直线 z=2x-3y，当直线经过 x-y=2与 x+y=4 的交点 A（3，1）时，目标函数有最小值 z=2×3-3×1=3；当直线经过 x+y=-1 与 x-y=3 的焦点 A（1，-2）时，目标函数有最大值 z=2×1+3×2=8. 4 4 ．（9 2009 年浙江理 13 ）若实数 , x y 满足不等式组2,2 4,0,x yx yx y    则 2 3 x y  的最小值是

　 ． 【解析】通过画出其线性规划，可知直线23y x Z    过点   2,0 时，   min 2 3 4 x y  

　x y O 2 4 P 719 519

　7 5.(2007 理 年山东理 14) )设 D 是不等式组2 102 30 41x yx yxy    表示的平面区域,则 D 中的点 ( , ) P x y 到直线 10 x y   距离的最大值是_______.

　【答案】: : 4 2. 【分析】：画图确定可行域，从而确定 (1,1)到直线直线 10 x y   距离的最大为 4 2.

　三. . 解答题

　1.(0 2010 年 广东理 19) （本小 题满分 2 12 分）

　某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.

　如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？ 解：设该儿童分别预订 , x y 个单位的午餐和晚餐，共花费 z 元，则 2.5 4 z x y   。

　可行域为

　12 8 64,6 6 42,6 10 64,0, ,0, .x yx yx yx x Ny y N       即3 2 16,7,3 5 32,0,0.x yx yx yxy     

　作出可行域如图所示：

　经试验发现，当 4, 4 x y   时，花费最 少 ， 为2 . 5 4 4 4 2 6     元．

　8642-10 -5 5 10