向量与三角形谈心

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　例点评

　6)量与三阐庀“谈"

　南京市雨花台中学赵光辉210012

　点评:

　点评:本题的关键是分析并用好‘ #

　三角形的四“心”(重心、垂心、内心、外心)是三角 形很重要的基本量，也是学生学习的难点，而向量是 “数”与“形”结合的桥梁，它与数学各个方面有着紧密 联系，是解决三角形问题的有力工具.本文拟通过笔 者教学中的几道例题管窥向量与三角形的“谈心 -、重心

　在AABC中，AD为边上的中线，根据向量 加法的平行四边形法则，可得@+@=2这说 明:所在的直线过BC的中点D，从而一定通 过AABC的重心.事实上，点A可以是中线上任意一 点，上面的式子总是成立的.

　另外，关于三角形的重心，还有一个很重要的结 论，即：

　G为AABC的重心的充要条件是3+3 +

　泛=0或法=+ (咸+茂+泛），（其中O为

　△ABC所在平面内任意一点).

　例1 O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上 不共线的三个点，动点P满足# = $ + A

　紐 G，+°°)，则点 p 形成

　的图形一定通过AABC的心.

　思路分析：本题应该从式子的化简入手，丨@丨

　sinB看成整体，再结合正弦定理^ = 不难得

　到丨庙| sinB= |逆| sinC，不妨设为…则已知式子可 化为+ 从而可得点P的轨迹为

　△ABC中BC边上的中线，所以本题答案为重心.

　AR

　i ”

　|AB|sinB 子

　生习惯于将^7理解为AS方向上的单位向量，再对 之乘以则会误入歧途，看不出点P的轨迹特征.

　二、垂心

　三角形的垂心是三条髙的交点，解题时要充分利 用垂直这个条件，8卩@ ?逆=0,则点P的轨迹一定 通过三角形的垂心.

　例2点O是AABC所在平面内的一点，满足 茂?茂=茂?泛=石& ?咸，则点O是ZVIBC的 心

　思路分析：由成?茂=石B ?茂，得茂?（成 —交)=茂?茂=0,所以成丄即OB丄AC.同 理OC丄AB，OA丄BC因此0是AABC的垂心.

　点评:解题中应注意实数运算、向量运算相同与 不同之处，由$ ?涵=或?泛不能推得成=泛 (因为$，&方向不相同），因此学生不要生搬硬套

　AC而K^Qsfil案例点评地把代数运算照搬过来.

　AC

　而

　K^Qsfil

　案例点评

　三、内心

　在AABC中，由两单位向量相加，可得

　所在直线是ZA的平分线所在的直线，从而一 定经过AASC的内心.

　例3 O是平面上定点，A、B、C是平面上不共线 的三个点，动点P满足茂=石X + A

　(|X§| +丨^义^^’+⑺^则尸的轨迹一定通

　量，f为@上的单位向量，则 ? ?

　f+^§j)的方向为ZBAC的角平分线@的方向，又A G [〇, + 〇°丨，所以A 与

　的方向相同，而成=说+ A

　^ \ AB \ | AC| )，所以点P在上移动，故P的轨

　迹一定是通过的内心.

　点评:本题要求学生掌握t4It为@上的单位向 \AB\

　四、外心

　例4 AABC的外接圆的圆心为0,两条边上的 高的交点为(孩+成+石6,则实数m= 思路分析:1.特殊法:设AABC为直角三角形， 则〇为斜边BC中点，H与A重合，所以故=m成,

　即 m=l.

　 ? ? ? ? ? ?

　2?由 AH = OH —OA = m(QA + QB + OC) —

　泣=(饥_1)咸+ m(茂+泛），又裔丄逆，因此 裔?於=0,即（成一茂）?（泛一茂）=0,所以 {m-\)OA ? ^：-m)+m(〇B+OC) ? (OC-QB) =0,又(茂+茂）?（茂一涵2=0,且 OA. (OC—OB)#0,因此 m=l.

　3.利用特殊法推得m =1，下面来证明M =

　咸+成+泛，即益=茂

　+OC.设BC中点为D，连S

　线AD、OH且AD H〇H=G，且G为重心，因此AG= 2誌，又@丄逆，石5丄石5,则AH//OD，可得 △AHGcoADOG，所以裔=2石5=誌+范

　点评:思路1利用特殊法;思路2利用实数与向

　量的乘法进行运算;思路3对特殊性进行证明，运用 了 AABC的外心、垂心、重心三心共线，再利用三角

　形相似，巧妙地证明结论.

　量，以及菱形的对角线平分角等知识.

　龜MU:.