irr、xirr、mirr2

　 Excel?财务函数-IRR、XIRR、MIRR

　IRR函数

　一个投资案会产生一序列的现金流量，IRR简单说：就是由这一序列的现金流量中，反推一个投资案的内部报酬率。

　如何反推呢，所用的方法是将每笔现金流量以利率rate折现，然后令所有现金流量的净现值(NPV)等于零。若C0、C1、C2、C3...Cn分别代表为期初到n期的现金流量，正值代表现金流入，负值代表现金流出。

　0 = C0 + C1/(1+rate)1 + C2/(1+rate)2 + C3/(1+rate)3....+ Cn/(1+rate)n

　找出符合这方程式的rate，就称为内部报酬率。问题是这方程式无法直接解出rate，必须靠计算机程序去找。这个内部报酬率又和银行所提供的利率是一样的意思。

　IRR函数的参数定义如下：

　=IRR(Values, guess)

　参数

　意义

　必要参数

　Values

　现金流量

　必要

　guess

　猜测IRR可能的落点

　选项

　IRR的参数有两个，一个是Values也就是『一序列』现金流量；另一个就是猜个IRR最可能的落点。那么Value的值又该如何输入？有两种方式可输入一序列的现金流量：

　使用数组：例如=IRR({-100, 7, 107})，每一个数字代表一期的净现金流量。

　单元格的范围：例如=IRR(B2:B4)，范围中每一单元格代表一期

　那么

　=IRR({-100, 7, 107}) 或

　=IRR(B2:B4)

　都会得到同样答案：7%

　使用者定义期间长短

　IRR的参数并没有绝对日期，只有『一期』的观念。每一期可以是一年、一个月或一天，随着使用者自行定义。如果每一格是代表一个『月』的现金流量，那么传回的报酬率就是『月报酬率』；如果每一格是代表一个『年』的现金流量，那么传回的报酬率就是『年报酬率』。

　例如{-100, 7, 107}数组有3个数值，叙述着第0期(期初)拿出100元，第1期拿回7元，第2期拿回107元。第一个数值代表0期，也是期初的意思。至于每一期是多久，使用者自己清楚，IRR并不需要知道，因为IRR传回的是『一期的利率』。当然如果使用月报酬率，要转换成年报酬率就得乘上12了。

　一年为一期

　例如期初拿出100元存银行，1年后拿到利息7元，2年后拿到本利和107元，那么现金流量是{-100, 7, 107}。很清楚的这现金流量的每期间隔是『一年』，所以=IRR({-100, 7, 107}) = 7%传回的就是『年报酬率』。

　一个月为一期

　换个高利贷公司的例子来看，期初借出100元，1个月后拿到利息7元，2个月拿到本利和107元，整个现金流量还是{-100, 7, 107}喔，不一样的是每期间隔是『一个月』。那么IRR传回的 7%就是『月报酬率』，年报酬率必须再乘上12，得到84%的年化报酬率。所以每一期是多久只有使用者知道，对IRR而言只是传回『每期』的报酬率。

　guess-猜测报酬率可能的落点

　guess真是个有趣的参数，IRR函数的任务不就是要解出报酬率的值吗，怎会要我们自己猜测报酬率的落点呢？这不是很奇怪吗，Excel计算功能那么强，难道IRR函数无法直接解出来？没错IRR是无法解的。以{-100, -102, -104, -106, 450}这现金流量为例，等于得求出下列方程式中rate的解：

　0 = -100 -102/(1+rate)1 -104/(1+rate)2 -106/(1+rate)3 + 450/(1+rate)4

　这就难了！因为有4次方。假若现金流量的期数更多，那就更复杂了，而且使用者会输入几期还不知道哩。还好虽然无法直接求解，Excel使用代入逼近法，先假设一个可能的rate(10%)，然后代入上面式子看看是否吻合，如果不是就变动rate的值，然后慢慢逼近、反复计算，直到误差小于 0.00001％ 为止。如果真正的解和默认值差距过远，运算超过20次还是无法求得答案，IRR 函数会传回错误值 #NUM!。这时使用者就必须使用较接近的 guess 值，然后再试一次。

　所以guess参数只是IRR函数开始寻找答案的起始点而已，跟找到的答案是无关。下面三个IRR公式，同样的现金流量，但是guess参数都不同，结果答案却都一样是3.60%。

　=IRR({-100, -102, -104, -106, 450})

　=IRR({-100, -102, -104, -106, 450}, 1%)

　=IRR({-100, -102, -104, -106, 450}, 2%)

　guess是选项参数

　guess参数可以省略不输入，这时Excel会使用默认值10%。通常这是一年为一期报酬率都落在这附近，如果要计算月报酬率最好输入1%，依此类推。

　XIRR函数

　若要利用IRR函数来计算报酬率，现金流量必须是以『一期』为单位，也就是输入的现金流量必须有期数的观念。但是常常有些应用，现金流量并非定期式的。例如一个投资案，现金流量如下表：

　日期

　金额

　2007/8/15

　-100,000

　2007/11/6

　23,650

　2008/3/4

　25,000

　2009/6/8

　82,500

　可以看到现金流量发生日期是不定期的，并非以一期为单位。XIRR就是专为这类型的现金流量求报酬率，其他观念和IRR函数没有差别。XIRR传回来的报酬率已经是年报酬率。

　XIRR参数

　XIRR(values, dates, guess)

　参数

　意义

　必要参数

　Values

　现金流量的值

　必要

　dates

　现金流量发生日期

　必要

　guess

　猜测XIRR可能的落点

　选项

　和IRR函数的差别是多了一个日期(dates)参数，此日期参数(dates)必须跟现金流量(Value)成对。例如上面的例子可以如下图的方式来完成。单元格B7的公式 =XIRR(A2:A5,B2:B5)，算出来这投资案相当于每年24.56%的报酬率。

　需要开启分析工具箱

　使用XIRR函数必须安装「分析工具箱」，否则会传回#NAME? 错误。

　1) 工具/加载宏

　2) 将分析工具箱打勾

　3) 按确定

　MIRR函数

　MIRR参数

　MIRR(values, finance_rate, reinvest_rate)

　参数

　意义

　必要参数

　values

　现金流量的值

　必要

　finance_rate

　融资利率

　必要

　reinvest_rate

　再投资报酬率

　必要

　MIRR是Modified Internal Rate of Return的缩写，意思是改良式的IRR。IRR到底有何缺点，需要去修正呢？主要的原因是IRR并未考虑期间领回现金再投资问题！IRR的现金流量里可分为正值及负值两大类，正值部分属于投资期中投资者拿回去的现金，这些期中拿回去的现金该如何运用，会影响报酬率的。负值部分属于投资期中额外再投入的资金，这些资金的取得也有融资利率方面要考虑。

　MIRR使用的方式是将期间所有的现金流入，全部以『再投资利率』计算终值FV。期间所有的现金流出，全部以『再投资利率』计算现值PV。那么MIRR的报酬率：

　=(FV/PV)1/n - 1

　再投资报酬率

　以例子来解说会较为清楚，一个投资案的现金流量如下：{-10000, 500, 500, 10500}这现金流量一期为一年，期初拿出10,000元，第1年底拿回500元，第2年底也拿回500元，第3年底拿回10500元。将现金流量代入IRR求内部报酬率：

　=IRR({-10000, 500, 500, 10500}) = 5%

　从这投资案的经营者来说，期初拿到10,000元，然后每年支付5%报酬500元，到了第3年底还本10000元，这投资案确实是每年发放5%的报酬没错。可是若从投资者角度来看，假若每年底拿到的500元只会放定存2%，也就是投资者期中拿回来的金额，到期末只有2%的报酬率，那么投资者到第3年底时，实际拿到的总金额为：

　= 500*(1+2%) + 500*(1+2%)2 +10500 ( 以Excel 表示 =500*(1+2%)+500*(1+2%)^2 + 10500 )

　= 11,530

　期初拿出10,000元，3年后拿回11,530，这样相当于年化报酬率：

　= (11530/10000)1/3-1 (Excel 表示 =(11530/10000)^(1/3)-1 )

　= 4.86%

　这可解读为拿出10,000元，以复利4.86%成长，3年后会拿回11,530元。

　MIRR可以不用那么麻烦，只需输入再投资报酬率2%，便可轻易得到实际报酬率：

　= MIRR(({-10000, 500, 500, 10500}), 0, 2%)

　= 4.86%

　投资者期间内所拿回的现金(正值)，再投资的报酬率，会影响整体投资的实际报酬率。同一个例子，假若另一位投资者的再投资报酬率为4%，那么实际报酬率修正为：

　= MIRR(({-10000, 500, 500, 10500}), 0, 4%)

　= 4.95%

　如果投资者的再投资报酬率为5%，实际报酬率等于：

　= MIRR(({-10000, 500, 500, 10500}), 0, 5%)

　= 5.00%

　可以看到当再投资报酬率为5%时，MIRR = IRR = 5%。这也同时说明了，IRR内部报酬率是假设再投资报酬率等于内部报酬率。

　融资利率

　如果有第0期以外的现金投入(负现金流量)，这些资金是在未来的期数才会使用。只要在期初准备这些资金的现值。就足以支付未来的这些金额。所以将所有的现金流出均以『融资利率』折现(PV)，代表未来所有的投资额，都相当于期初投资PV的金额。

　举个例子：一个储蓄险，头两年、年初缴保费5万元。第二年底开始，往后四年均领回30,000元，若再投资利率为3%，融资利率为5%，求MIRR为多少？

　= MIRR({-50000, -50000, 30000, 30000, 30000, 30000}, 5%, 3%)

　= 5.15%

　这是利率MIRR函数直接套入公式算出来的，为了解其中道理，将这些正负现金流量分开来，以分解动作求取终值及现值，再算投资报酬率。这样读者就很清楚MIRR是如何计算的。

　总共有两笔现金流出(负值部份)，但是只有第2期的资金流出需要折现，所以用『融资利率』5%，总现值(PV)：

　=50000 + 50000/(1+5%)

　=97,619

　这意思是说：若融资利率为5%，只需要在期初准备97,619，就足以支付前两期各5万所需的现金支出。

　总共有4笔现金流入(正值部份)，以『再投资利率』为3%，求取所有现金流入的终值(FV)

　= 30000 + 30000*(1+3%) + 30000*(1+3%)^2 + 30000*(1+3%)^3

　=125,508

　那么期初投入97,619，期末拿回125,508，期间为5年，这样的年化投资报酬率：

　= (125508/97619)^(1/5)-1

　= 5.15%

　可以看到和直接用MIRR函数所计算出来的报酬率一模一样都是5.15%。

　『融资利率』是微软的说明所使用的名词，我认为较为适当的应该是『资金报酬率』(finance_rate)，也就是资金存放目标之报酬率。

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