高考卷,98届,普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案（理）

1998年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟． 第Ⅰ卷(选择题共65分) 一．选择题：本大题共15小题；
第1—10题每小题4分，第11— 15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (1) sin600º的值是 ( ) (A) (B) － (C) (D) － (2) 函数y=a|x|(a＞1)的图像是 ( ) （A）
（B）
（C）
（D）
1 1 1 (3) 曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程为 ( ) (A) x2＋(y＋2)2=4 (B) x2＋(y－2)2=4 (C) (x－2)2＋y2=4 (D) (x＋2)2＋y2=4 (4) 两条直线A1x＋B1y＋C1=0，A2x＋B2y＋C2=0垂直的充要条件是 ( ) (A) A1A2＋B1B2=0 (B) A1A2－B1B2=0 (C) (D) (5) 函数f(x)=( x≠0)的反函数f－1(x)= ( ) (A) x(x≠0) (B) (x≠0) (C) －x(x≠0) (D) －(x≠0) (6) 已知点P(sinα－cosα，tgα)在第一象限，则在内α的取值是 ( ) (A) ()∪() (B) ()∪() (C) ()∪() (D) ()∪() (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( ) (A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是 ( ) (A)i (B) －i (C) ±i (D) ±i h V H 0 (9) 如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么 ( ) (A) 2 (B) S0= (C) 2 S0=S＋S′ (D) (10) 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是 ( ) (11) 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有 ( ) (A) 90种 (B) 180种 (C) 270种 (D) 540种 (12) 椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|P F1|是|P F2|的 ( ) (A) 7倍 (B) 5倍 (C) 4倍 (D) 3倍 (13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为 ( ) (A) 4 (B)2 (C) 2 (D) (14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为 ( ) (A) arccos (B) arcsin (C) arccos (D) arcsin (15) 在等比数列{an}中，a1>1，且前n项和Sn满足Sn=，那么a1的取值范围是 ( ) (A)(1，＋∞) (B)(1，4) (C) (1，2) (D)(1，) 第Ⅱ卷(非选择题共85分) 二、填空题：本大题共4小题；
每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 16．设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_________ 17．(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数为____________（用数字作答）
18．如图，在直四棱柱A1B1C1 D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件____________时，有A1 C⊥B1 D1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形) 19．关于函数f(x)=4sin(2x＋)(x∈R)，有下列命题: ①由f(x1)= f(x2)=0可得x1－x2必是π的整数倍；

②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x－)；

③y=f(x)的图像关于点(－，0)对称；

④y=f(x)的图像关于直线x=－对称． 其中正确的命题的序号是_______ (注：把你认为正确的命题的序号都填上．) 三、解答题：本大题共6小题；
共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (20)(本小题满分10分) 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a＋c=2b，A－C=．求sinB的值． 以下公式供解题时参考：
sinθ＋sin =2sincos， sinθ－sin=2cossin， cosθ＋cos=2coscos， cosθ－cos=－2sinsin. (21)(本小题满分11分) 如图，直线l1和l2相交于点M，l1 ⊥l2，点N∈l1．以A， B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程． (22)(本小题满分12分) 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)． (23)(本小题满分12分) 已知斜三棱柱ABC－A1 B1 C1的侧面A1 ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90º，BC=2，AC=2，且AA1 ⊥A1C，AA1= A1 C． Ⅰ．求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；

Ⅱ．求侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的大小；

Ⅲ．求顶点C到侧面A1 ABB1的距离． (24)(本小题满分12分) 设曲线C的方程是y=x3－x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1． Ⅰ．写出曲线C1的方程；

Ⅱ．证明曲线C与C1关于点A(，)对称；

Ⅲ．如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=－t且t≠0． (25)(本小题满分12分) 已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b1＋b2＋…＋b10=145． Ⅰ．求数列{bn}的通项bn；

Ⅱ．设数列{an}的通项an =loga(1＋)(其中a＞0，且a≠1)，记Sn是数列{an}的前n项和．试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论． 1998年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（理工农医类）参考答案 一、选择题（本题考查基本知识和基本运算．）
1．D 2．B 3．B 4．A 5．B 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 11．D 12．A 13．B 14．B 15．D 二、填空题（本题考查基本知识和基本运算．）
16． 17．179 18．ACBD，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD是正方形，菱形等 19．②，③ 三、解答题 20．本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力． 解：由正弦定理和已知条件a+c=2b 得 sinA+sinC=2sinB. 由和差化积公式得2sincos=2sinB. 由A+B+C=π 得 sin=cos ， 又A－C= 得 cos=sinB， 所以cos=2sincos. 因为0<<，cos≠0， 所以sin=， 从而cos= 所以sinB=. 21．本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力． 解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点． 依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点． 设曲线段C的方程为 y2=2px（p>0），（xA≤x≤xB，y>0），其中xA，xB分别为A，B的横坐标，p=|MN|. 所以 M（，0），N（，0）. 由|AM|= ，|AN|=3 得 （xA+）2+2pxA=17， ① （xA－）2+2pxA=9. ② 由①，②两式联立解得xA =.再将其代入①式并由p>0解得 因为ΔAMN是锐角三角形，所以> xA，故舍去 所以p=4，xA =1. 由点B在曲线段C上，得xB =|BN|－=4. 综上得曲线段C的方程为 y2=8x（1≤x≤4，y>0）. 解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点． 作AE l1，AD l2，BF l2，垂足分别为E、D、F. 设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）. 依题意有 xA =|ME|=|DA|=|AN|=3， yA =|DM|=， 由于ΔAMN为锐角三角形，故有 xN =|ME|+|EN| =|ME|+=4 xB =|BF|=|BN|=6. 设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合 ｛（x，y）|（x－xN）2+y2=x2，xA≤x≤xB，y>0｝. 故曲线段C的方程为 y2=8（x－2）（3≤x≤6，y>0）. 22．本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识． 解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k>0为比例系数.依题意，即所求的a，b值使y值最小. 根据题设，有4b+2ab+2a=60（a>0，b>0）， 得 b=（0<a<30）. ① 于是 y= = ≥ ， 当a+2=时取等号，y达到最小值. 这时a=6，a=－10（舍去）. 将a=6代入①式得b=3. 故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大. 由题设知 4b+2ab+2a=60（a>0，b>0）， 即 a+2b+ab=30（a>0，b>0）. 因为 a+2b≥2， 所以 +ab≤30， 当且仅当a=2b时，上式取等号. 由a>0，b>0，解得0<ab≤18. 即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18. 所以2b2=18.解得b=3，a=6. 故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 23．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力． Ⅰ．解：作A1DAC，垂足为D，由面A1ACC1面ABC，得A1D面ABC， 所以∠A1AD为A1A与面ABC所成的角. 因为AA1A1C，AA1=A1C， 所以∠A1AD =45º为所求. Ⅱ．解：作DEAB，垂足为E，连A1E，则由A1D面ABC，得A1EAB. 所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角. 由已知，ABBC，得ED∥BC. 又D是AC的中点，BC=2，AC=2， 所以DE=1，AD=A1D=， tg∠A1ED==. 故∠A1ED=60º为所求. Ⅲ．解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离. 连结HB，由于ABBC，得ABHB. 又A1EAB，知HB∥A1E，且BC∥ED， 所以∠HBC=∠A1ED=60º 所以CH=BCsin60º=为所求. 解法二：连结A1B. 根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C－A1AB的高h. 由得， 即 所以为所求. 24．本小题主要考查函数图像、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力. Ⅰ．解：曲线C1的方程为 y=（x－t）3－（x－t）+s. Ⅱ．证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1）.设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点，则有 ， . 所以 x1=t－x2， y1=s－y2. 代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：
s－y2=（t－x2）3－（t－x2）， 即 y2=（x2－t）3－（x2－t）+ s， 可知点B2（x2，y2）在曲线C1上. 反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上. 因此，曲线C与C1关于点A对称. Ⅲ．证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组 有且仅有一组解. 消去y，整理得 3tx2－3t2x+（t3－t－s）=0， 这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根. 所以t≠0并且其根的判别式 Δ=9t4－12t（t3－t－s）=0. 即 所以 且 t≠0. 25．本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力. 解：Ⅰ．设数列{bn}的公差为d，由题意得 解得 所以 bn =3n－2. Ⅱ．由bn =3n－2，知 Sn=loga（1+1）+ loga（1+）+…+ loga（1+）
= loga[（1+1）（1+）……（1+）]， loga bn+1= loga. 因此要比较Sn与loga bn+1的大小，可先比较（1+1）（1+）……（1+）与的大小. 取n=1有（1+1）>， 取n=2有（1+1）（1+）>， …… 由此推测（1+1）（1+）……（1+）>. ① 若①式成立，则由对数函数性质可断定：
当a>1时，Sn>loga bn+1. 当0<a<1时，Sn<loga bn+1. 下面用数学归纳法证明①式. （ⅰ）当n=1时已验证①式成立. （ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即 （1+1）（1+）……（1+）>. 那么，当n=k+1时， （1+1）（1+）……（1+）（1+）>（1+）
=（3k+2）. 因为 ， 所以（3k+2）> 因而（1+1）（1+）……（1+）（1+）> 这就是说①式当n=k+1时也成立. 由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n都成立. 由此证得：
当a>1时，Sn>loga bn+1. 当0<a<1时，Sn<loga bn+1.