电磁学期末试题答案

　 信息科学技术学院 2005-2006 学年第二学期 本科生期末考试试卷

　 考试科目：

　电磁学

　考试时间：2006年 6月

　 专业

　 级

　班

　主讲教师

　姓名

　学号

　题 号

　 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分

　 一、（共 20 分）

　(一)写出下述物理量的定义. (必须说明表达式中的符号含义)。

　1．孤立导体的电容（4 分）

　QCU其中Q是孤立导体的带电量，U是导体的电势 （无穷远为参考点）

　2．磁场强度矢量（4 分）

　01H B MB 其中 为场点的磁感应强度矢量，M为该点的磁化强度矢量。

　3．电磁场的能流密度矢量（4 分）

　S E HE 其中 为电磁场的电场强度矢量，H是该电磁场的磁场强度矢量。

　 装

　订

　 线

　内

　请

　 勿

　答

　题

　 （二）

　写出下列电磁学定律的表达式。(必须说明表达式中的符号含义)。

　 1．法拉第电磁感应定律（4 分）

　ddt  其中 是环路的感生电动势， 是磁感应强度矢量在该环路所张面积上的通量，t 是时间变量。环路的正方向与磁通量的正方向用右手定则确定。

　 2．欧姆定律(4 分) j Ej其中 是电流密度矢量，E是该点的电场强度矢量， 是导体的电导率。

　二、（ 20 分）平行板电容器两极板面积均为 S，间距为 d, 两极板间存在一厚度为 t、相对介电常数为 r 、面积为 S/2 的电介质板，与极板平行, 位置如图所示。设上极板和下极板的电量分别为 Q和-Q，且忽略边缘效应。试求：

　(1) 电介质中的电位移矢量、电场强度矢量和极化强度矢量； (2) 两极板之间的电势差； (3) 电容器的电容。

　 设上极板上的电荷面密度分别为1 和2 ，根据电荷守恒可知1 3( )2SQ     

　即：1 32QS   

　 且 1 1D  

　 1 110 0DE  

　1 120 0 r rDE    

　3 330 0DE  

　因此：3 1 10 0 0( )rd d t t       

　得：3 1(1 )r rrd td   

　t

　d

　S

　σ 1

　σ 3

　E 1

　E 3

　E 2

　所以：122 (1 )rr rd Qd t S  

　3(1 ) 22 (1 )r rr rd t Qd t S     1 122 (1 )rr rd QDd t S   

　120 0 022 (1 )r r rd QEd t S        0 2( 1) 2( 1)2 (1 )rrr rd QP Ed t S      330 0 0(1 ) 22 (1 )r rr rd t QV E d d dd t S           02 (1 )(1 ) 2r rr rS d t QCV d t d      

　三、（15 分）有一无限长导体圆柱，电导率为  ，圆柱半径为 a，如图所示导体柱处于半无限大磁介质中，磁介质表面为无限大平面，圆柱轴线垂直介质表面。磁介质相对磁导率为r , 如图已知棒内沿圆柱轴线方向存在均匀稳恒电场，电场强度为 E，求棒内外各处磁感应强度的分布。

　 解：在导体柱内存在均匀稳恒电场，根据欧姆定律知柱内存在均匀稳恒电流，电流密度为：

　E j  

　根据该系统的轴对称性可知，由电流产生的磁场也具有轴对称性，应该是绕圆柱的环形分布，其方向和电流成右手螺旋关系。如图示以柱的轴线为 z轴建立柱坐标系。

　围绕 z轴取圆形环路，应用磁场的环路定理。

　 在导体柱内：

　20 02 r E I r B        

　 ˆ20ErB   在导体柱外：

　在真空中：20 02 a E I r B        

　 ˆ220rEaB 

　在介质中：202 a E I r H       

　 rEaH22

　   ˆ220rEaBr μ r

　σ σ E a z

　四. (15 分)

　如图一个接地半无限大导体,其表面为无限大平面,平面前垂直平面放置一根半无限长均匀带电直线，使该带电线的端点距导体平面距离为 d（如图所示），若带电线上线电荷密度为 η，试求：

　(1) 导体表面垂足处 O点的面电荷密度。

　(2) 导体表面上距 O为 r 处的面电荷密度。

　2014 ( )dxdEd x

　 所以 200 0 001 14 ( ) 4 4dxEd x d x d        设 O 点的面电荷密度为  ，它产生的场强为：

　02E

　 则 0 002 4 d   

　2 d 

　设在距 O 点为 r处产生的沿 x 方向的场强为：2 2 2 2 1/201 ( )4 [ ( ) ][ ( ) ]xdx x ddEr d x r d x    所以：2 2 3/2 2 2 1/22 2 00 0001 ( ) 14 [ ( ) ] 4 [ ( ) ]4x d dxEr d x r d xr d         同样2 200024 r d  

　所以

　2 22 r d 

　 η d O

　x

　五.

　(15 分)电路如图，电阻 R, r ，电容 C, 电源电动势 ε 为已知。电路达到稳定状态后，在 t=0时合上开关 K。

　问，在合上开关 K后什么时刻电阻 R两端的电压等于电阻 r 两端的电压。

　A.

　1( )rr rIR I rI r I ICD   

　( )rrI R rCDrIR  

　r rR rDI ICRr CRr  

　(1 )R r R rt tCRr CRrrI Ae eR r R r        (1 )( )R r trCRrI r rI eR R r R    ln2

　 , .rCRr r RIR I r tR r rr R    有解 否则无解 B.

　1IIRCDr   K C r R ε

　1( )ID IRCr C Cr  

　1 1( ) D ICr CR RCr  

　1( )IR rRCrDCrR ( )R r R rt tRrC RrCR r tRrCR r tRrCI e e dtRCrRrCAeRCr R rA eR r     ( 0) I tR 

　( )rAR R r R R r     (1 )R r tRrCrI eR r R  (1 )2R r tRrCR reR r R   2R r tRrCr Rer

　ln2RrC r RtR r r 

　, . r R  有解否则无解

　六、（15 分）设在真空中有平面简谐电磁波，在直角坐标系中，该电磁波沿 x 轴正方向传播，频率是 f赫兹。已知ft41 的时刻，在坐标原点处 j E Eˆ0， j Eˆ0是电场强度的振幅（ j ˆ 是 y轴正方向的单位矢量），请写出该电磁波在空间各处电场强度 E和磁感应强度 B随时间变化的表示式，并验证该表示式满足微分形式的麦克斯韦方程组。

　解：频率是 f赫兹，则 f   2  ；真空中的电磁波速为0 01  c ；波矢量大小为cfk 2

　该电磁波沿 x轴正方向传播，则 icfk   2，则电场强度的表示为：

　)2(ˆ0    xcft Cos E j E，考虑初条件ft41 的时刻，在 x＝0 处，j E Eˆ0 有 )222 (ˆ0     xcfft Cos E j E，由此知 )222 (0     xcfft Cos B B  考虑电场和磁场振幅的关系有，cEE B00 0 0 0    ，考虑电场、磁场和波的传播方向成右手螺旋关系，有 kcEBˆ00，所以有)222 (ˆ0     xcfft CoscEk B 总之：

　)222 (ˆ0     xcfft Cos E j E；)222 (ˆ0     xcfft CoscEk B

　验证：真空中的 Maxwell方程组如下：

　0    E tBE    0    B

　tEB  0 0 

　直角坐标系中的散度和旋度计算为：

　zAyAxAAzyx  

　) (ˆ) (ˆ ˆyAxAkxAzAjzAyAi Axyz xyz   ）

　（ 0 )22(0      xcft CosyE E 0 )222 (0      xcfft Cosz cEB )22 (2ˆ)222 (ˆ)222 (ˆ00 0xcfft Cos Ecfkxcfft CosxE k xcfft CoszE i E           )22 (2ˆ)222 (ˆ00xcfft Cos Ecfk xcfft CostkcEBt         可见 tBE   

　)22 (2ˆ)222 (ˆ)222 (ˆ020 0xcfft Cos Ecfjxcfft Cosx cEj xcfft Cosy cEi B         )22 ( 2ˆ)222 (ˆ0 0xcfft Cos fE j xcfft CostE j Et        考虑  021 c 显见，有tEB  0 0  ，可见，上面的电场强度和磁感应强度的表示式复合麦克斯韦方程组微分形式。