小学奥数1-3-4,比较与估算．教师版

比较与估算 教学目标 本讲是在分数计算方面技巧的基础上，进一步认识小数、分数，只是从比较大小方面认识它们，这一讲主要介绍一些比较较为复杂的小数、分数大小的方法，主要有通分子、通分母、倒数法、放缩法等。

知识点拨 一、小数的大小比较常用方法 为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数.(如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式) 二、分数的大小比较常用方法 ⑴通分母：分子小的分数小. ⑵通分子：分母小的分数大. ⑶比倒数：倒数大的分数小. ⑷与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．(适用于真分数) ⑸重要结论：
①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；

②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大． ⑹放缩法 在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！ 三、数的估算时常用方法 （1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小．使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果． （2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式． 例题精讲 模块一、两个数的大小比较 【例 1】 如果a ，b ，那么a，b中较大的数是 【考点】两个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试 【解析】 方法一：<与1相减比较法> 1 ；
1 ．因为 ，所以b较大；

方法二：<比倒数法>因为，所以，进而，即；

方法三：两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，分子和分母都大的分数比较大，所以b大 【答案】 【巩固】 试比较和的大小 【考点】两个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 > 【答案】> 【巩固】 比较和的大小 【考点】两个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 因为，，显然，根据被减数一定，减数越大差越小的道理， 有：
【答案】 【例 2】 如果A，B,A与B中哪个数较大？ 【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，决赛 【解析】 方法一：观察可以发现A、B都很接近，且比它小．我们不防与比较． A,B,BA，即B比A更接近，换句话说 BA . 方法二：
，即. 方法三：，显然，则 【答案】 【巩固】 如果，那么A和B中较大的数是 . 【考点】两个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】祖冲之杯 【解析】 ，即大 【答案】 【巩固】 试比较和的大小 【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 方法一：观察可知，这两个分数的分母都比分子的10倍多1．对于这样的分数，可以利用它们的倒数比较大小．的倒数是1 ，的倒数是１ ，我们很容易看出10 10 ，所以 ；

方法二：，两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大，所以即 【答案】 【例 3】 在 a=20032003×2002和 b=20022003×2003中，较大的数是______ ，比较小的数大______ 。

【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 b-a=20022003×2003-20032003×2002=20020000×2003+2003×2003-20030000×2002-2003×2002=2003×(2003-2002)=2003 所以a比b大2003 【答案】a比b大2003 【例 4】 设a= ，b= ,则在a与b中，较大的数是______。

【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 可采用放缩法。因为= + ＞+ ，＞。所以＞，即a是较大的数。当然这道题目我们也可采用通分求结果的一般方法。

【答案】a 【例 5】 比较与的大小． 【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 如果直接放缩：
， 但是，所以不能确定与的大小关系， 同样如果如下进行放缩：
，也不能确定． 但是如果保留，将进行放缩，则有：
， 可见两者中较大． 【答案】较大 【巩固】 与相比，哪个更大，为什么？ 【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 记，显然有：
， 而，有，所以原分式比小 . 【答案】更大 【例 6】 试比较: 与哪一个大? 【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 296=37×8，185=37×5，因为 所以＞ 【答案】 【例 7】 图中有两个黑色的正方形，两个白色的正方形，它们的面积已在图中标出(单位：厘米)．黑色的两个正方形面积大还是白色的两个正方形面积大?请说明理由． 【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，口试 【解析】 此题利用到平方差公式：
19971996(19971996)(19971996)199719963993 19931992199319923985 所以1997199619931992 即1997199219961993，两个白色正方形的面积大． 【答案】两个白色正方形的面积大 【例 8】 在中选出若干个数使它们的和大于3，最少要选多少个数? 【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为了使选出的数最少，那么必须尽可能选择较大的数． 有依次减小，所以我们选择时应从左至右的选择． 有 而 所以最少选择11个即可使它们的和大于3. 【答案】11个 【例 9】 已知：，那么与中 比较大，说明原因；

【考点】两个数的大小比较 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 ,即比大 【答案】比较大 模块二、多个数的大小比较 【例 10】 ⑴比较以下小数，找到最大的数：，， ，， ⑵比较以下5个数，排列大小：1 ，，，. 【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 ⑴题目中存在循环小数，将所有小数位数补至相同的位数，如下所示：
→ 1.12112112l → 1.121000000 →1.121212121 →1.121210000 →1.120000000 于是可以得出结果，是最大的数．对于循环小数的问题，首先考虑的就是将其展开，从中获得足够的信息，然后按照小数比较原则判断，不处理而一味的观察是没有意义的． ⑵题目中出现了整数、小数、假分数，可以先把数分为两个部分，一部分为小于1的数，一部分为大于等于1的数，然后两部分内部比较，无须两部分间重复比较． ①小于l的部分为和，将小数展开，并把化为小数得：，显然，即；

②大于等于1的部分中，有整数、小数、假分数：1，1.667，，先将假分数化为带分数，比较三数整数部分，发现都为1，然后比较其他部分：1.666666…<1.667，所以得到1< <1.667． 即得：
1 1.667 . 【答案】⑴ ⑵ 1 1.667 . 【巩固】 在，，中，最小的数是______。

【考点】多个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试 【解析】 所以最小的是 【答案】 【巩固】 在、、四个小数中，第二小的数是____ 【考点】多个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛 【解析】 由于，，可以看出，其中第二小的数为。

【答案】 【巩固】 分数中最大的一个是 。

【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，初赛，六年级 【解析】 【答案】 【巩固】 有8个数，，, , , 是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数? 【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 , , , ，显然有，即，8个数从小到大排列第4个是， 所以有．(“□”表示未知的那2个数).所以，这8个数从大到小排列第4个数是． 【答案】 【巩固】 在，，中，最小的分数是__________. 【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】数学爱好者夏令营 【解析】 因为，，根据重要结论——对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；
而且：
，所以，最小的是． 【答案】 【例 11】 （1）把下列各数按照从小到大的顺序排列：，，， （2）(幼苗杯数学邀请赛)把下列分数用“”号连接起来：
，，，， 【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 ⑴我们可以用通分子的方法，可得：
， 分母大的反而小，所以． ⑵这五个分数的分母都不相同，要通分变成同分母的分数比较麻烦．再看分子，60正好是10、12、15、20、60五个数的公倍数．利用分数的基本性质，可以将题中的各分数化为分子都是60的分数．我们称之为“通分子比大小”的方法． ，，，，；
可见 ；

也就是 . 【答案】⑴ ⑵ 【巩固】 将、、、、从小到大排列，第三个数是________. 【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，六年级，决赛 【解析】 ， 所以：，第三小的数是 【答案】 【巩固】 这里有五个分数：
如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数? 【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 【答案】 【巩固】 将下列乘式结果按从小到大排序：，，，，． 【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 看式子前两位相同，于是我们想到可不可以变成“前面部分一样一个简单算式”的形式． 看，我们的目标是把十位和百位的6提取出来，转化算式：
可以看到，这5个乘式的前两项结果是一样的，即我们只要比较，，，，的大小，就可以得出：＜＜＜＜． 【答案】＜＜＜＜ 【巩固】 编号为1、2、3的三只蚂蚁分别举起重量为，，克的重物．问：金、银、铜牌应分别发给几号蚂蚁? 【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】 所以， 【答案】 【巩固】 请把这4个数从大到小排列。

【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 将1与这四个分数依次做差，得、、、,显然有,被减数相同,差小的数反而大,所以. 【答案】 【例 12】 ，在上式的方框内填入一个整数，使两端的不等号成立，那么要填的整数是多少? 【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 将不等式中的三个数同时除以80，不等号的方向不改变，有，而、的倒数分别为、，而□应该在之间，即在103.33～102.86之间(在计算循环小数时，将其小数点后保留2位数字)，其中的整数只有103，所以□内所填的整数为103． 【答案】103 【巩固】 ⑴比大比小的分数有无数多个，则分子为27的分数是_________.(写出一个即可) ⑵右面方框里填什么自然数时，不等式成立? １ 【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 ⑴设比大比小的分数为，则：，即，，所以，不妨取，那么，满足题意．再比如等也满足题意． ⑵分子549，可以把1看成，利用加成分数原理得□13. 【答案】⑴ ⑵13 【巩固】 比大，比小的分数有无穷多个，请写出三个：
。

【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试 【解析】 ，， 【答案】，， 【巩固】 ⑴找出一个比大，比小的分数。

⑵满足下式的括号里的数字有多少个自然数：
【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 ⑴方法一：任意两个分数，把分子和分子相加，分母和分母相加，所得的分数叫做加成分数．加 成分数的值介于原来两个分数之间．根据加成分数原理，是介于和之间的一个分数． 方法二：如果通分母，可以得到同分母分数和．把这两个分数的分子、分母扩大2倍，可以找出一个比大，比小的分数；
如果把这两个分数扩大3倍，可以再得到两个中间的分数等等． 我们也可以用类似的方法，通过通分子去找比大、比小的分数．同学们可以自己试一试． ⑵首先判断第一个不等号两边的关系，，因此( )35，再判断第二个不等号两边的关系，，因此( )15．根据以上分析，可以确定( )中能填入19个自然数． 根据分数基本性质等值放缩分数是处理分数问题最常用的方法． 【答案】⑴ ⑵19 【巩固】 下式中五个分数都是最简真分数，要使不等式成立，这些分母的和最小是多少？ 【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 由于要求分母的和最小，则从最小的自然数开始考虑，1是不符合最简真分数要求的分母，因此可选择的最小自然数为2，2只能放在第一个分数上做分母．后面要找比小的最简分数：3、4依次被淘汰，5被选中放入第二个分数中．依次规律， 可得结果：
. 【答案】 【例 13】 在下面9个算式中: ①，②,③,④,⑤，⑥，⑦，⑧,⑨,第几个算式的答数最小，这个答数是多少? 【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 方法一：
①-②=,即①>②；

②-③=，即②>③；

③-④=，即③>④；

④-⑤=，即④<⑤；

⑤-⑥，⑥-⑦，⑦-⑧，⑧-⑨所得的差依次为，,均小于0,所以⑤<⑥，⑥<⑦，⑦<⑧，⑧<⑨，那么这些算式中最小的为④，有④为 方法二：注意到每组内两个分数的乘积相等，均为． 因为当两个数的乘积相等时，这两个数越接近，和越小．其中第4个算式中、最接近，所以第4个算式最小· 【答案】第4个， 【巩固】 若a=，b=，c=，则有（ ）。

（A）a>b>c （B）a>c>b （C）a<c<b （D）a<b<c 【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】 略 【答案】 【巩固】 甲、乙两个天平上都放着一定重量的物体，问：哪—个是平衡的? 【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】 考虑除以3，所得的余数 因为478除以3余1，9763除以3也余1(只要看4＋7＋8，9十7＋6十3除以3的余数)，所以478×9763除以3余1×1＝1，而4666514除以3余2(即4＋6＋6＋6＋5＋1＋4除以3余2)，因此478×9763≠4666514，从而天平甲不平衡．天平乙是平衡的. 【答案】天平乙是平衡的 【例 14】 用“＞”号把下列分数连接起来：　　
　　　　　　　 【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 这道题目本身并不难，孩子们用自己的办法可以很快的做出来，但如果数字变的复杂些，那么我们就必须找到一个有效方法了。从这道题目，我们可以给大家展示另外2种典型思路。

法1：
法2: 观察可以发现分母都是4的倍数，所以我们不妨把分母都化为4，可得：
因为，即 【答案】 【巩固】 这里有5个分数：，如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数？ 【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，试题 【解析】 分子的最小公倍数是60，给出的5个分数依次等于：，比较分母的大小，居中的分数是，即。

【答案】 【例 15】 从六个数中选出三个数，分别记为A，B，C.要求选出的三个数使得A×（B-C）尽量大，并写出A×（B-C）的最简分数表示。

【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 要求A×（B-C）尽量大，显然C取最小数，A、B取最大和次大数，利用和一定，差越小积越大，显然A取次大数，B取最大数。六个数中分数、小数并存，发现是比1小的数，所以C为。再看其它五个数字，本题将分数化为小数容易判断：因此，故有：
. 【答案】 【例 16】 在四个算式6□0.3，6□，6□，6□的四个方框内，分别填上加、减、乘、除四种运算符号，使得到的四个算式的四个圆圈之和尽可能大，那么这个和等于多少？ 【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 所以，0.3前面应填除号,前面填减号,前填加号，　前填乘号，才能使这四个算式的答数之和最大．这个最大的和是：
【答案】 【例 17】 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中随意取出两个数字，一个作分子，一个作分母，组成一个分数，所有分数中，最大的是 ，循环小数有个 。

【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试 【解析】 最大的为=9，循环小数的分母为3，分子为1、2、4、5、7、8；
分母为6，分子为1、2、4、5、7、8；
分母为7，分子为1、2、3、4、5、6、8、9；
分母为9，分子为1、2、3、4、5、6、7、8；
共28个。

【答案】9；
共28个 【例 18】 从中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与接近，去掉的两个数是( ). （A）（B）（C）（D）
【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】 本题不是计算最大，而是计算哪个与接近，再找分母的最小公倍数比较大小，， 则以上分式分别可以写成：，，，，可以写成，显然最接近。

【答案】D 【例 19】 已知A15=B15=C15.2=D14.8. A、B、C、D四个数中最大的是_____． 【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】小数报，决赛 【解析】 找A、B、C、D中最大的，即找151、、15.2、14.8中最小的．容易求出最小，所以B最大． 【答案】B 【例 20】 已知，并且，，都不等于0，把、、这三个数按从小到大的顺序排列是_________ 。

【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，初赛，六年级 【解析】 由于，且，所以。

【答案】 【例 21】 气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：
景区 千岛湖 张家界 庐山 三亚 丽江 大理 九寨沟 鼓浪屿 武夷山 黄山 气温(℃) 11/1 8/4 3/-2 27/19 17/3 18/3 8/-8 15/9 15/1 0/-5 其中，温差最小的景区是______ ，温差最大的景区是______。

【考点】多个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，1试． 【解析】 表中温差从左到右分别为：10、4、5、8、14、15、16、6、14、5 所以温差最小的景区是张家界，温差最大的景区是九寨沟。

【答案】最小的景区是张家界，温差最大的景区是九寨沟 模块三、数的估算 【例 22】 求数 的整数部分． 【考点】数的估算 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 这道题显然不宜对分母中的11个分数进行通分求和．要求a的整数部分，只要知道a在哪两个连续整数之间． 因为a中的11个分数都不大于，不小于， 所以1111 即１1.1 由此可知a的整数部分是1． 【答案】1 【巩固】 已知 ，则A的整数部分是_______ 【考点】数的估算 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试 【解析】 ；

所以的整数部分是2。

【答案】 【例 23】 求数的整数部分是几？ 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，复赛 【解析】 ，即1＜原式＜1.9，所以原式的整数部分是1. 【答案】 【巩固】 求数的整数部分． 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 ， 又， 所以， 即，所以其整数部分是1． 【答案】1 【巩固】 已知：S,则S的整数部分是 . 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】清华附中，入学测试 【解析】 如果全是，那么结果是，如果全是，那么结果是，所以＜S＜，不能确定S的整数部分.我们不妨采用分段估值，有：
则 大家马上会被这个计算量吓住了！这只是我们的第一次尝试，如果不行我们还要再次细化分段，计算量的庞大让我们有些止步了.那么我们有没有更好的方法来解决这个问题呢？答案是：有！ 下面先让我们来看看两个例子：
⑴ 那么也就有：
（2）
那么也就有：
聪明的你从中会发现一个找“最小界限的新规律”，那么再让我们回到原题来看看吧！ 则，由此可以确定整数部分是73． 【答案】 【巩固】 已知，则与最接近的整数是________． 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】仁华学校 【解析】 由于， 所以， 所以， 即， 那么与最接近的整数是143． 小结：由于只需要求与最接近的整数，而不是求的整数部分，所以进行上述放缩已经足够．但是如果要求的整数部分，又该如何进行呢？ 将分母中的14个分数两两分为一组：，，……，(分组的标准在于每组中两个分数的分母之和相等，此处有偶数项，恰好可以两两分组；
如果有奇数项，则将中间的一项单独分为一组)，根据“两数之和一定，差越小积越大”， 可知， 所以， 可得，所以 ， 所以，即，所以的整数部分为142． 【答案】142 【巩固】 的整数部分是________． 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，六年级 【解析】 由于，所以， ，即， 所以， 所以， 又，所以， 所以的整数部分是1． 【答案】 【巩固】 的整数部分是 ． 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 对分母进行放缩．令， 则， 又，根据两个数和一定则差越小积越大， 所以， 则，可得 ，所以， 即，所以的整数部分为400． 【答案】400 【例 24】 已知，求的整数部分． 【考点】数的估算 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 题中已经指明，式子中每一项的分母都可以表示成，对于不好直接进行处理，很容易联想到及，所以可以进行放缩． 由于，所以，那么 ， ，即，那么的整数部分为1． 小结：从式子中也可以直接看出，所以对于这一点也可以不进行放缩． 【答案】1 【例 25】 A8.88.988.9988.99988.99998，A的整数部分是________. 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】小数报，决赛 【解析】 方法一：A8.8544 ，A9545 ，所以A的整数部分是44 . 方法二：将原式变形后再估算 A8.88.988.9988.99988.99998 (90.2(90.02)(90.002)(90.0002)(90.00002)450.22222 所以A的整数部分是44 . 【答案】44 【巩固】 =10.8+10.98+10.998+10.9998+10.99998，的整数部分是 。

【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6年级 【解析】 =11-0.2+11-0.02+11-0.002+11-0.0002+11-0.00002=55-0.22222 所以的整数部分是54。

【答案】54 【巩固】 已知x0.90.990.9990.9999999999．求x的整数部分． 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 方法一：要求x的整数部分，必须找到x介于哪两个连续整数之间即axa1，x的整数部分和n相等．可以先将原算式放大，把每个加数都看成1这样结果是11010；
然后将原算式缩小，把每个加数都看成0.9，结果是0.9109．可见原算式的结果介于10和9之间即9x10，所以x的整数部分是9． 方法二：将原式变型后再估算． x0.90.990.9990.9999999999 (10.1)(10.01)(10.001)(10.0000000001) 10(0.10．010.0010.0000000001)100.1111111111 所以x的整数部分是9． 【答案】9 【例 26】 计算 8.011.248.021.238.031.22整数部分. 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛 【解析】 方法一：在8.011.248.021.238.031.22中，各式的两个因数之和都相等. 根据两个数和一定时，这两个数越接近则乘积越大，所以8.011.248.021.238.031.22；
则有1.228.0031.228.033原式1.248.0131.258.003 ，即 29.28原式30 ，所以原式的整数部分是29 . 方法二：为了使计算简便，可以把8.01、8.02、8.03分成整数和小数两部分计算，小数部分可以进行估算 81.2481.2381.228(1.241.231.22)83.6629.28 0.011.240.021.230.031.22≈0.0110.0210.0310.06 因为0.06不会影响整个算式的整数部分，所以整数部分是29． 【答案】29 【例 27】 老师在黑板上写了七个自然数，让小明计算它们的平均数（保留小数点后面两位）．小明计算出的答数是14.73，老师说：“除最后一位数字外其它都对了．”那么，正确的得数应是___ ___. 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 法1：因为14.7这三个数字正确，14.7×7＝102.9，所以，这七个自然数的和只可能是103，104，……等，当和为103时，平均数为103÷7≈14.71，当和为104时，平均数为104÷7≈14．86，就不符已知条件了，所以，七个自然数的和是103，平均是14.71． 法2：此题可以用放缩法：由题意知：14.70≤平均数≤14.79，所以这7个数的和介于102.90和103.53之间，又由于7个自然数的和必然是整数，所以是103。则正确的平均数是103÷7＝14.71 . 【答案】14.71 【巩固】 有13个自然数，它们的平均值利用四舍五入精确到小数点后一位是26.9．那么，精确到小数点后两位数是多少？ 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 利用放缩法，13个自然数之和必然是整数，又有26.85平均数26.95，则这13个自然数的和介于1326.85和1326.95之间．即在349.05和350.35之间，所以只能是350．所以3501326.923，则精确到小数点后两位数是26.92 . 【答案】26.92 【例 28】 已知除法算式：1234567891011121331211101987654321．它的计算结果的小数点后的前三位数字分别是 . 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 各取被除数、除数前两位，有：原式12320.375，原式13310.4194 ；
在0.375～0.4194之间无法确定小数点后三位的准确值，说明放缩的范围太大.
再各取被除数、除数前三位，有：原式1233130.3930，原式1243120.3974，仍无法确定 ；


又各取被除数、除数前四位，有：原式123431220.3953，原式123531210.3957.说明原式的结果在0.3953～0.3957之间，因此，小数点后前三位数分别是3，9，5. 【答案】3，9，5. 【例 29】 求的整数部分是多少? 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 分段放缩. 原式，即1原式 ，所以原式整数部分为1． 【答案】1 【巩固】 A=1＋＋＋＋＋＋＋＋…＋的整数部分是多少? 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 把算式中的分数放大或缩小，如果全部放大为，则A＜8 ；
全部缩小为，则A＞1 ，这样无法确定A的整数是多少，于是我们来用一种分段放大和缩小的办法．1＋＋＋＋…＋ ＞１＋＋（＋）＋（＋＋＋）＋（），通过计算得1＋＋＋＋…＋＞3，1＋＋＋＋…＋＜1＋＋＋（＋＋+ ）+（＋＋＋+ ＋＋＋）+，即A＜3，因为3＜A＜3，所以A的整数部分是3． 【答案】3 【例 30】 的整数部分是 。

【考点】数的估算 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，初赛，六年级 【解析】 原式必然小于，大于，容易计算出原式的值在6.08至7.08之间，故其整数部分为7. 【答案】7 【例 31】 有一列数，第一个数是133，第二个数是57，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么，第16个数的整数部分是_______． 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 由已知：
第三个数＝(133＋57)÷2＝95， 第四个数＝(57＋95)÷2＝75， 第五个数＝(76＋95)÷2＝85.5 第六个数＝(85.5＋76)÷2＝80.75， 第七个数＝(80.75＋85.5)÷2＝83.125， 第八个数＝(83.125＋80.75)÷2＝81.9375， 第九个数＝(81.9375＋83.125)÷2＝82.53125． 第十个数＝(81.9375＋82.53125)÷2＝82.234375， 从第十一个数开始，以后任何一个数都82.53125与82.234375之间，所以，这些数的整数部分都是82，那么第16个数的整数部分也82． 【答案】82 【例 32】 试求误差小于的近似值． 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 ， 又 ， 由于， 所以(误差小于) 【答案】 【例 33】 在横线上分别填入两个相邻的整数，使不等式成立：
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，一试 【解析】 一共有10项，这个值大于×10=，小于，所以应该分别填入9和10. 【答案】；

【例 34】 记A＝，那么比A小的最大自然数是 。

【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛 【解析】 9 【答案】 【例 35】 六个分数，，，，，的和在哪两个连续自然数之间？ 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛 【解析】 在1和2之间。

。

因为＜＜2， 又因为＞＞1， 所以六个分数，，，，，的和在1和2之间。

【答案】1和2 【例 36】 已知：，那么 【考点】数的估算 【难度】5星 【题型】填空 【解析】 所以，即， 【答案】 【例 37】 计算：
；
（四舍五入保留至小数点后第三位，注：）
【考点】数的估算 【难度】5星 【题型】填空 【解析】 设，则 【答案】