对一类恒成立问题运用端点效应解答失效的探究

张 强 李小蛟

(四川省成都市树德中学)

在导数应用的学习中,恒成立问题一直是一大难点问题,思维要求高,运算强度大,同时也是高考中常考常新的题型.端点效应是指对一类函数的恒成立问题,可以通过取函数定义域内的某个特殊的值或某几个特殊的值,先得到一个必要条件,初步获得参数的范围,再在该范围内讨论,或去验证其充分条件,进而解决问题.用该方法解决恒成立问题可以减少分类讨论的类别,常常起到事半功倍的效果.但并不是所有恒成立问题均能通过端点效应解答,很多题目初看是端点效应问题,但在运用时却发现端点效应失效(如2020年新高考卷第21题).本文基于导数恒成立问题探讨端点效应为什么会失效,如何快速识别会失效,若失效又将如何处理.

在导数应用中遇到类似“当∀x∈D时,f(x)≥g(x,a),a为参数”的恒成立问题时,将区间D的端点值代入,当不等式两边刚好取等(此时参数a被消去了,等号成立),即意味着在很大程度上可采用端点效应去处理.但在学习中,我们更应该从本质上厘清恒成立问题的解题逻辑:1)构造函数h(x)＝f(x)－g(x,a)(x∈D);2)求导,进阶处理(即多次求导),研究h′(x)的单调性;3)计算出h′(0)在端点处的值,对参数a的范围进行分类讨论,即先必要再充分.

分析本题中将x＝0 代入不等式两边是相等的,初步判定符合端点效应,那么我们就按照端点效应的解题逻辑,即先必要后充分,通过矛盾区间来解答问题.

解构造函数f(x)＝ex－ax2－x－1(x＞0),首先发现f(0)＝0,求导得f′(x)＝ex－2ax－1.又有f′(0)＝0,继续求导,得f″(x)＝ex－2a,此时f″(0)＝1－2a,则分类讨论如下.

当1－2a＜0,即时,在x∈(0,ln2a)上,f″(x)＜0,f′(x)单调递减,所以f′(x)＜f′(0)＝0,函数f(x)在(0,ln2a)上单调递减(即矛盾区间),f(x)＜f(0)＝0,这与f(x)≥0相矛盾,故舍去.

当1－2a≥0,即时,在x∈(0,＋∞)上,f″(x)＞f″(0)＝1－2a≥0,所以f′(x)单调递增,则f′(x)＞f′(0)＝0,故函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增,f(x)＞f(0)＝0恒成立,符合题意.

当然,本题还可以分离参数,即将问题转化为a≤,然后构造新函数,求导得,可以证明g′(x)＞0在x＞0上恒成立,所以单调递增,,此时就会涉及高等数学中的“洛必达法则”.另外,此题还可以移项作差构造函数,分类讨论,或先通过“指数找朋友”,再构造新函数,即转化为(ax2＋x＋1)e－x≤1 恒成立,再构造h(x)＝(ax2＋x＋1)e－x,求其最大值即可,这里不再赘述.

分析本题中将x＝0 代入不等式两边都等于1,符合端点效应的条件,构造函数f(x)＝ex－x2－ax－1(x≥0),则f(0)＝0成立,求导可得f′(x)＝ex－2x－a,f′(0)＝1－a,接下来按照端点效应的解题思路进行分类讨论.

当1－a≥0,即a≤1 时,f″(x)＝ex－2,易知,此时当上并不是恒大于0的,即函数f(x)在x≥0上并不是单调递增的,就不能说明f(x)≥0恒成立,即此时的充分性得不到证明,所以端点效应失效了,那么为什么会失效呢?

下面我们先通过函数的图像来初步感受一下.

维度1遇到“当∀x∈D时,f(x)≥g(x,a),a为参数”此种问题,我们先把它分离成两个函数,一边含有参数,一边不含参数,目的在于通过控制变量,让一边的函数图像确定下来,那么可将例1分离成:“对任意x≥0,ex－x－1≥ax2恒成立”,我们把答案中参数的端点,在坐标系中画出函数(不等式左右两部分分别看成两个函数)的图像,如图1所示.代入,即

图1

通过观察图像,我们看到函数y＝ex－x－1 与的公切线就是y＝0,而且公切点刚好在端点x＝0处.

同样地,将例2分离成:“对任意x＞0,ex－x2－1≥ax恒成立”,我们依然把答案中参数的端点a＝e－2代入,即ex－x2－1≥(e－2)x,我们再看看两个函数的图像,如图2所示.

图2

通过观察图像,我们又可以看到函数y＝exx2－1与y＝(e－2)x的公切线就是y＝(e－2)x,而且公切点刚好在点x＝1处,此时并不是在端点x＝0处.那么这两个函数图像的公切点还有其他几何意义吗?

维度2接下来我们直接看整个函数的图像分布,例1中,我们构造函数f(x)＝ex－ax2－x－1(x≥0),仍然把代入,即x－1,其图像如图3所示.

图3

通过观察图像,我们看到函数f(x)＝ex－ax2－x－1(x≥0)是在端点处取得最小值.

同样地,我们看例2,构造函数f(x)＝ex－x2－ax－1(x≥0),仍然把a＝e－2代入,即f(x)＝exx2－(e－2)x－1,其图像如图4所示.

图4

通过观察图像,我们发现函数f(x)＝ex－x2－(e－2)x－1(x≥0),不仅在端点x＝0处取得最小值,而且在x＝1处取得最小值,不满足端点效应,也即当x∈[0,＋∞)时,f(x)并非单调递增.

综上,下面我们可以从三个维度来解释端点效应是如何失效的.第一,对于函数h(x)＝f(x)－g(x,a)(x∈D),先按照端点效应的处理方法,将定义域的端点代入缩小参数的范围,证明其充分性时发现原函数并不单调,即此时的充分性无法论证.第二,对比例1和例2,同样采取分离参数的方法,发现例1的函数是在端点处取得最值,求最值需要用“洛必达法则”,而例2的函数并不是在端点处取得最值,而是在定义域中间的某处取得最值.由此发现,导数恒成立求参数范围,通过分离参数,构造新函数求最值,若此时函数的最值点是在定义域的中间某处取得,而不是在端点处取得,则视为端点效应失效.第三,从函数图像来看,对于“∀x∈D时,f(x)≥g(x,a),a为参数”此种问题,我们先把它合理拆分为两个函数,一边含有参数,一边无参数,在例1中,端点恰好为两个函数图像的公切点,也是整个函数的最值点,但是在例2中,端点却不是这两个函数公切线的公切点,此时的公切点是定义域中的某个值,这说明最值点并不是在端点处取得.所以当我们判定出定义域的端点并不是公切点或最值点时,即认为端点效应失效.

通过以上的问题分析,我们已经知道了端点效应为什么会失效,那么如何快速识别出它是失效的呢?我们只需去验证函数的公切点是否为定义域中的端点,或直接找到函数的最值点.要知道恒成立问题求参数取值范围的本质就是函数的最值,如果我们可以快速找到那个最值点就可以作出判断.

下面我们以例2为例来进行说明.

构造函数f(x)＝ex－x2－ax－1(x＞0),要使f(x)≥0恒成立,只需fmin(x)≥0假定f(x)在x＝x0处取得最小值,则我们可以得到

只需抓住恒成立问题的本质,即可求得答案.

通过以上分析不难发现,当我们遇到不等式恒成立求参数的取值范围问题时,只要抓住问题的本质,通过方程组,找到函数的最值点,即两个函数公切线的公切点,那么就可以快速地得到答案,然后证明其充分性,即先必要再充分.接下来我们再看一道经典的高考题.

分析当x＝0时,不等式显然成立.当x＞0时,直接分离参数:,构造函数,求导得

解得x0＝2或2a＋1,由此断定最值点不是端点,此时也可以说明端点效应失效,接下来需满足

图5

分析根据前面的分析,我们发现本题也是一个端点效应失效的问题(不再详细证明),因此根据本文所探讨出的解决方法,先构造函数f(x)＝ln(x＋1)－a2ex＋a,由于f(x)的定义域为(－1,＋∞),不妨设f(x)的最大值点为x0,则

因此,端点效应失效的本质为端点处并不是函数的最值,解决此类端点效应失效恒成立问题的关键点在于找到函数的最值.根据上述探究不难发现,恒成立时的“端点”既是函数的最值点,又是函数的零点.因此,解答此类问题时,只需要通过构造函数,联立方程求解最值和零点.而通过图形的实际刻画,我们也能十分清楚地发现,此类端点效应失效问题可转化为求直线与曲线交点公切线的切点.

链接练习

2.∀x∈[0,π]均有ax＋cosx≤sinx＋1,求a的取值范围.

链接练习参考答案

(完)