二阶再生张量空间与再生张量的性质

殷洪才，全玉锦

(1．广东外语外贸大学；
2．辽东学院)

张量是数学的一个重要分支，近代物理和力学的发展促进了它的充实与完善.它的应用也越来越广泛.在文献[1]中作者在光学领域应用张量研究了反射线；
在文献[2]中作者在材料力学中应用张量研究了弹性问题；
在文献[3]中作者在Dirac场的重正化提出了张量和Casimir效应；
还有核物理等方面的应用[4].

该文将张量以线性空间来描述，进而建立泛函分析相应结构，尤其是将再生核概念引入到张量中去.再生核本是泛函分析中一种正定的积分核[5]，从某种意义上看，它是Riesz表现定理的实现[6].近年来，再生核在物理模型计算中有着积极的贡献[7-15].该文就是在将这些积极的因素引入到张量分析中，扩大再生核计算优势，相信这将对物理领域中的研究、尤其是在计算物理中开辟一种新的计算方法来.

(2)协(逆)变基矢量新老转化关系

(4)两个张量(阶数≥2)的双点内积

设张量

基于张量的一些已有运算从公理化角度严格叙述，使得二阶张量构成一个赋范空间.为再生引入奠定基础.

定理2.1 假设gij是正定矩阵，则Ω在张量加法、数乘和双点内积下构成内积空间、赋范空间.

证明仅检验内积公理.也仅对张量协变型式检验，

(1)内积正定性

和

(2)交换性

(3)数因子结合性

(4)分配率

再生性质本是Riesz表现定理[6]对线性泛函理论表示提出来的，即对任意空间H上的连续泛函f(x)，必存在H唯一的元y，使得f(x)=.近年来国内外一些学者将定理中的y在一定空间下给出来的具体表达式Rs(t)，得到x(s)=[5]，这在应用中起到了关键.该文就是在这种思想引导下，来完成张量分析中的再生基概念.

(1)

定理3.1 二阶张量空间Ω是再生张量空间.

证明取四阶张量：

(2)

定理3.2 张量空间Ω是再生张量空间的再生张量(2)是唯一的.

而

(3)

是Ω的一组基.