基于分数形导数的海陆相交互沉积土蠕变特性研究

高鲁超，陈合德，何子睿，华 新，胡川开

(1. 东南大学 土木工程学院，江苏 南京 211189；

2. 浙江交科工程检测有限公司，浙江 杭州 311200；
3. 都城伟业集团有限公司，北京 100020；

4. 华设设计集团股份有限公司，江苏 南京 210014)

沿海地区土体因沉积方式的不同大致分为海相沉积土、海陆相交互沉积土和陆相沉积土。相比之下，海陆相交互沉积土的含水率和孔隙比较低，而其抗剪强度和固结特性存在较大的差异[1]。针对不同特征的沉积土，诸多学者已开展了相应的研究。陈晓平[2]通过开展珠江三角洲沉积土的室内试验，系统研究了土体固结对基本力学特性的影响；
拓勇飞等[3]通过宏微观试验，探讨了湛江沉积性软土的赋存规律及其内在结构的联系；
张宏等[4]分析了长江口北侧海陆相交互沉积土的基本力学特性；
秦爱芳等[5]研究了长江口淤泥质软土次固结特性，分析荷载、超固结比、土性指标等对软土次固结效应的影响。

海陆相沉积土具有明显的蠕变特性，在长期荷载作用下易诱发变形和失稳病害。通常以Hooke弹簧、Newton黏壶、St. Venant塑性体为基本元件，由串联或并联组合来表征材料蠕变性[6-7]。李刚等[8]、YAN Zhen等[9]通过一维蠕变试验分析大连海陆相交互沉积土的蠕变特性，建立了考虑沉积土主、次固结效应的蠕变方程；
刘伽等[10]亦采用一维蠕变试验研究沉积土的蠕变特性，提出可描述该类土体蠕变特征的经验模型；
雷华阳等[11]开展天津滨海软黏土的三轴蠕变试验，分析围压、加荷比以及排水条件对软黏土蠕变特性的影响；
杨果岳等[12]开展压实红黏土三轴蠕变试验，分析压实红黏土在不同围压、应力水平和排水条件下的蠕变特性。受区域性、沉积形式以及结构性等因素的影响，海陆相交互沉积土的蠕变特性存在较大的差异，建立合适的元件模型用于表征海陆相沉积土的蠕变行为亦是研究的关键。

经典的元件模型描述土体和岩石的流变行为，理想Newton黏壶本构关系的限制导致经典元件模型的精度受到了较大的影响[13]。有学者采用分数阶导数元件代替经典Newton黏壶，在经典元件模型基础上，建立了多种分数阶元件模型用于分析土体和岩石等材料的流变特性[14-18]。然而，分数阶流变模型计算过程复杂且参数较多，给实际工程应用带来不便[19]。W. CHEN[19]提出了一种局部微分的分形导数，用于来描述材料的基本特性；
CAI Wei等[20]采用分数形微分理论改进经典的元件模型，用于表征黏弹性材料的蠕变行为，但该模型不能描述材料加速蠕变阶段；
YAO Wenmin等[21]利用分数形导数模型分析不同含水率下的软土夹层蠕变特性；
R. WANG等[22]采用分数形微分本构方程分析花岗岩的蠕变特性，其建立的模型能够很好地模拟花岗岩蠕变的3个阶段。分数形导数为分析海陆相交互沉积土的流变性提供新的思路，避免复杂的计算过程，又可以通过改变分数形阶次来调整模型拟合精度。

笔者基于分数形导数理论，引入分数形黏壶替换Newton黏壶，根据各元件串并联原则，建立一种描述海陆相沉积土蠕变特性的分数形蠕变模型，并结合室内三轴排水蠕变试验和现有文献结果来验证所提的分数形蠕变模型的精度和合理性，以期为分析海陆相交互沉积土蠕变特性提供新的思路。

1.1 分数形导数

考虑时间因子的分数形局部微分形式如式(1)[20]：

(1)

式中：u为微分函数；
t为时间因子；
p为分数形阶次。

CAI Wei等[20]提出的分数形导数黏壶(图1)的应力应变关系为：

(2)

图1 分数形导数黏壶Fig. 1 Fractal derivative muck pot

式中：σ(t)为应力；
ε(t)为应变；
η为黏滞系数。

考虑恒定荷载〔σ(t)=σ〕作用，该黏壶的应力应变关系为：

(3)

1.2 分数形蠕变模型

岩土材料典型蠕变曲线表现为3个阶段，即初期阶段、稳定阶段和加速阶段[23]。为构建表征蠕变变形阶段的元件模型，引入分数形导数黏壶代替经典Newton黏壶，如图2。

图2 分数形蠕变模型Fig. 2 Fractal creep model

该模型由弹性体、黏弹性体和黏塑性体组成，根据各元件串联和并联原则，该分数形蠕变模型的应力和应变为：

(4)

式中：σ和ε分别为应力和应变；
“e”、“ve”和“vp”分别表示弹性体、黏弹性体和黏塑性体。

各元件应力和应变表示如下：

1)弹性体

弹性体应力-应变关系满足胡克定律，即：

(5)

式中：E0为弹性体的弹性模量。

2)黏弹性体

黏弹性体由弹簧和分数形黏壶组成，即：

(6)

联立得：

(7)

黏弹性体的应力-应变关系为：

(8)

式中：E1和η1分别为黏弹性体的弹性模量和黏滞系数。

3)黏塑性体

塑性体的应力-应变关系为[20]：

(9)

式中：σs为极限应力。

当σ≥σs时：

(10)

求解得：

(11)

式中：η2为黏塑性体的黏滞系数。

当σ<σs时：

εvp=0

(12)

联立式(11)和式(12)，得：

(13)

联立式(5)、式(8)和式(13)，得到分数形蠕变模型的应力-应变关系式为：

(14)

(15)

当p1=p2=1时，式(14)、式(15)退化为经典的Nishihara模型，即：

(16)

(17)

2.1 试验概况

杭州湾沉积物形式以海陆相交互为主[24]，试验土样为现场钻孔取得的原状土，试样取自杭州湾大桥南岸地区，取样深度为25～30 m，土样外观表现为棕褐色，表面较粗糙，质较均匀，显水平层理。土样基本力学性质如表1，颗粒级配曲线如图3。

图3 颗粒级配曲线Fig. 3 Grain gradation curve

表1 土样基本力学性质Table 1 Basic mechanical property of test soil

试验设备采用的是TSZ-2全自动三轴仪，该仪器由轴向加载系统、围压控制系统和数据采集系统组成。由电脑自动控制整个试验流程的进行，参照试验的要求对试样进行固结、剪切，并按照《土工试验方法标准》[25]的要求停止试验。

试验在南京水利科学研究院土工试验室进行，试样直径为39.1 mm，高度为8 mm，室内温度维持在(20±1)℃范围内，围压分别为100、200、300、400 kPa。首先进行试样的三轴固结排水剪切试验，确定不同围压下试样的破坏偏应力qf，然后根据破坏偏应力qf确定蠕变试验的加载等级Δq=qf/n，n为加荷级数，一般取n=4～6，开展试样的三轴固结排水剪切蠕变试验。加载等级方案如表2。

表2 试验加载方案Table 2 Schemes of loading test

以轴向变形作为试验的控制标准，当相邻两次(24 h)读数差与从试验开始到此时总共发生的蠕变量之比小于5%时，即可认为试样变形稳定，停止试验[26]。

2.2 试验结果分析

图4为试样不同偏应力水平下的土样蠕变曲线。由图4可知，因未加载至破坏阶段，试样蠕变曲线分为初始阶段和稳定阶段，随着偏应力逐渐增大，蠕变应变速率逐渐趋于零，表现为明显的衰减蠕变特性，这与大连海陆相交互沉积土[8]的蠕变特性相似。

图4 不同围压下土样蠕变曲线Fig. 4 Creep curves of soil samples under different confining pressures

图5为试样不同时刻下的偏应力-轴向应变等时曲线。由图5可知，不同时刻下，偏应力-轴向应变等时曲线均为一簇相似的非线性曲线，说明该地区黏土蠕变特性具有非线性特征，且与加载时间相关；
当围压逐渐增大时，偏应力-轴向应变等时曲线出现转折，随着偏应力的增大，轴向应变变化率逐渐降低，说明偏应力水平越高，非线性程度越高；
在排水条件下，试样的黏塑性变形不明显，轴向应变随着偏应力增长率变化较小；
偏应力水平越高，等时曲线越接近应变轴。

图5 不同围压下土样偏应力-轴向应变等时曲线Fig. 5 Deviatoric stress-axial strain isochronous curve of soil sample under different confining pressures

笔者以300 kPa围压下的试样蠕变曲线为例，对比经典三参数模型(Merchant模型)和四参数模型(Burgers模型)，验证文中所提分数形蠕变模型的精度和有效性。此外，因文中试验的蠕变曲线尚未出现加速变形阶段，以大连海陆相交互黏土为例[9]，验证蠕变模型在加速变形阶段的适用性。Merchant模型和Burgers模型表达式分别如式(18)和式(19)：

(18)

(19)

图6为不同偏应力下模型计算值与试验值对比，表3为文中模型的参数取值。由图6可知，不同偏应力下试样蠕变变形趋势大致相同，笔者所提出的蠕变模型能够反映试样蠕变的初始阶段和稳定阶段；
相比其他经典元件模型，蠕变初期，Burges模型略高于文中模型，这可能因为Burges模型考虑到初始阶段的黏滞性所致；
随着时间增加，文中模型的拟合精度要高于Burgers模型和Merchant模型。因此，文中模型能够表征海陆相交互沉积土的蠕变变形。

表3 文中模型参数取值(围压300 kPa)Table 3 Parameters values in the proposed model

图6 不同偏应力下轴向应变试验值与计算值对比Fig. 6 Comparison between test values and calculated values of axial strain different deviatoric stresses

图7为大连海陆相交互沉积土在不同围压下试验值与模型计算值对比。由图7可知，文中模型计算值与试验值具有较高的相关性，拟合精度R2均在0.98以上；
当荷载超过极限偏应力时，土样出现破坏阶段，其计算值与破坏阶段蠕变曲线一致，且误差较小，表明文中模型可表征土样破坏阶段的蠕变变形。

1)基于分数形导数原理，引入分数形黏壶元件替代经典Newton黏壶，通过弹性体、分数形黏壶和塑性体的串并联，建立了一种可表征海陆相交互沉积土蠕变变形的分数形蠕变模型。

2)对比宁波和大连海陆相交互沉积土的蠕变试验，结果表明，笔者所提的蠕变模型能够描述海陆相交互沉积土的蠕变变形；
相比经典蠕变模型，笔者所提模型拟合精度高，计算方法简单。

3)海陆相交互沉积土受地域条件和外界环境等因素影响较大，研究成果可为研究海陆相交互沉积土的蠕变变形提供理论参考。