改进的变步长自适应谐波检测算法

冷全超，张展，王维，杜诗扬

(河南理工大学 电气工程与自动化学院，河南 焦作 454003)

电力电子技术的广泛应用和新能源的大规模接入，使得电力系统的谐波污染日益严重，给电力系统的安全、稳定运行带来了严重的影响[1]。目前，电力系统中常见的谐波检测算法主要有：基于瞬时无功功率检测[2-6]，它具有较高的实时补偿效果，然而这种方法的控制电路相对复杂，所需计算量也比较大，系统参数选择困难；
基于快速傅里叶变换(FFT)[7-9]算法，它具有较高的检测精度而且可以对基波和指定次谐波进行检测，但该算法动态性能差，仍需一个工频周期才能得到补偿指令信号；
人工神经网络(ANN)[10-13]是一种以模拟并行谐波检测装置为基础的检测算法，检测过程中需要大量的测试样本参数；
以及小波变换(WT)[14-15]容易发生小波混叠，频谱泄露等。

基于自适应噪声对消原理的自适应谐波检测算法，因其优秀的性能引起广大研究人员的关注[16]。该算法实现简单，对系统的适应能力强，具有较好的跟踪性能。但是由于传统的自适应谐波检测算法存在收敛速度与稳态精度之间性能方面的缺陷，因此涌现出一大批优秀的改进算法。文献[17]利用数学变换找到了真正反映跟踪情况的误差信号，但其权值更新沿用了传统定步长，所以仍未达到兼顾速度和精度的目的，且其中的检测谐波次数较低，未能实现高次谐波的检测。

文中提出了一种改进的变步长自适应谐波检测算法，首先利用当前时刻和前一时刻误差信号的自相关均值估计获得期望误差，并利用改进的箕舌线函数作为核心函数来调节步长更新，最后利用推导出来的三阶权值公式来进行权值迭代。通过箕舌线函数作为核心函数，将输入信号和期望误差引入到步长迭代函数，提高了权值的收敛速度，减小了系统的稳态误差，增强了系统的鲁棒性。最后，进行了仿真实验分析。

若电源电压理想无畸变，则有：

uS(t)=uSsin(ωt)

(1)

非线性负载电流由基波有功电流i1p(t)、基波无功电流i1q(t)和谐波电流ih(t)组成，将其进行傅里叶级数展开为：

(2)

因此，可以得到负载畸变电流的表达式：

is(t)=i1q(t)+ih(t)

(3)

基于自适应对消原理的谐波检测算法如图1所示。iL(n)代表非线性负载电流信号；
参考输入信号x1(n)和x2(n)为电网同步锁相得到的标准正弦和余弦信号；
y(n)代表n时刻滤波器的输出期望信号，e(n)代表n时刻用于调节权值系数的误差信号。

图1 自适应谐波检测原理

其工作原理是将i1p(n)作为噪声信号部分；
is(n)作为期望信号部分；
以电网电压为基准信号，利用系统反馈误差信号e(n)进行控制自适应滤波器的参数，使w逐渐增大逼近最优权向量w*，得到自适应滤波器期望信号y(n)。在n时刻，输出期望信号y(n)逼近基波有功电流i1p(n)；
从而系统输出误差信号e(n)将逼近负载电流谐波分量is(n)，经过iL(n)与y(n)的差值得到负载电流谐波分量is(n)。

(4)

式中μ表示为固定的步长(0<μ<1/λmax)使算法能够快速收敛，λmax为输入信号自相关矩阵的最大特征值；
n为自适应算法的迭代次数。

(5)

于是，可得：

(6)

(7)

式(7)即为LMS算法的滤波器权矢量迭代公式，μ为自适应滤波器的收敛系数。通过把当前时刻的权值系数矢量和误差函数作为比例因子进行相加得到自适应迭代下一时刻的权值系数矢量。

文中采用一种新的变步长LMS算法，假设在n时刻的权值系数为W′(n)，此时的权值系数将更接近最优权向量[19]：

W′(n)=W(n)+2μe(n)X(n)

(8)

e(n)=iL(n)-XT(n)W(n)

(9)

(10)

e1(n)=iL(n)-XT(n)W′(n)

(11)

将式(8)、式(10)带入初始权值公式(7)中，再结合式(8)、式(9)、式(11)得到新的权值公式：

W(n+1)=W′(n)+2μe1(n)X(n)

(12)

展开得：

W(n+1)=W(n)+4μ(n)[1-μ(n)XT(n)X(n)]e(n)X(n)

(13)

利用此方法再进行一次迭代，可以获得更精确的估值公式：

(14)

通过式(14)在二阶迭代的基础上再进行一次迭代，即可以得到三阶权值迭代更新公式：

W(n+1)=W(n)+φe(n)X(n)[6μ-

12μ[μXT(n)X(n)]+8μ[μXT(n)X(n)]2]

(15)

式中φ为比例因子干扰系数，通常为一个小于1的常数。理论上来说迭代公式的迭代程度越高，会获得更快的收敛速度，然而同时也会带来更复杂的计算量，当权值迭代到达一定次数之后收敛速度就不会有明显的变化[20]。

3.1 基于箕舌线函数的LMS谐波检测算法

传统定步长LMS算法的自身局限决定其在收敛速度和稳态精度之间的矛盾是无法兼顾的；
为解决这一矛盾，必须寻找改进型的LMS算法。文献[21]提出使用箕舌线函数的LMS谐波检测算法(TCLMS)，其步长表达式为：

(16)

式中a为步长调节遗忘因子，取值范围为0amax≤1/λmax;b为箕舌线函数波形控制系数，其数值通常为一个大于1的常数。TCLMS算法相较于传统的自适应谐波检测算法具有较快的收敛速度和较小的稳态误差，在一定程度上解决了收敛速度和稳态精度之间的矛盾。但是在目前的实际应用上，极易受不相干序列噪声的干扰，极大影响算法的稳态失调，仍需进一步提高。

3.2 基于改进的箕舌线函数的LMS算法

针对传统定步长算法和现有变步长LMS算法所面临的问题，利用系统输入信号的自相关均值估计获得期望信号，来消除不相干序列噪声的干扰；
进而通过改进的箕舌线函数作为核心函数来调节步长的更新，最后通过推导出来的三阶权值迭代公式，加快了权值的收敛速度，其步长更新公式如下：

p(n)=mp(n-1)+K(1-m)e(n)e(n-1)

(17)

(18)

β(n)=δβ(n-1)+γp2(n)

(19)

(20)

式中p(n)为当前时刻误差和下一时刻误差信号的瞬时自相关均值估计；
m为采样频率相关调节参数，取值范围为1-2/N≤m≤1-1/N；
K为影响因子，加大误差信号对期望信号的干扰，其值为101数量级；
参数δ和γ为固定常数，共同调节箕舌线函数形状，并通过实验获得参数的最优值。

式(17)通过误差信号的自相关均值估计来消除不相干序列噪声的干扰；
式(18)是对基本的箕舌线函数谐波检测算法的改进；
式(19)中，β(n)随着p(n)变化而变化，当p(n)增大或减小时β(n)也随之增大或减小，以此来控制箕舌线函数的波形，获得较好的跟踪性能；
式(20)以该模型为基础利用当前误差和前一时刻误差信号比率的平方构成的反馈控制函数替换常数b参与调节步长。

在此算法中，步长因子作为动态参数，为了防止计算过程震荡，避免步长出现过大或者过小甚至是负值，需对步长因子μ(n)进行约束[22]。即：

(21)

式中μmin的选取一般满足算法的最低水平跟踪性能，通常为一个较小的正数；
μmax的选取通常接近于算法收敛的临界稳定值。文中μmin取值为0.001，μmax取值为0.1。

为了验证新算法的有效性，通过计算机软件MATLAB/Simulink进行仿真实验。实验系统选取三相独立源带阻感负载，电源电压每相有效值为220 V，频率为50 Hz；
负载R=20 Ω，L=20 mH；
0.2 s时负载发生突变为R=10 Ω，L=20 mH,之后文中将传统定步长、基于箕舌线函数的变步长和改进的箕舌线函数变步长3种算法进行对比分析，其中参数设置为：定步长μ=0.003 5；
基于箕舌线函数的变步长a=0.006、b=100；
改进的箕舌线函数变步长m=0.005、k=10、δ=0.995、γ=0.9e-4；
以A相电流为例，图2为负载电流波形：

图2 负载电流波形

如图2所示，待检测的负载电流含有大量的谐波和白噪声；
基波频率为50 Hz，检测0.4 s波形；
可以得到负载电流的总谐波失真(Total Harmonic Distortion，THD)。如图3所示负载在0～0.2 s的谐波含量THD=15.57%，负载突变后0.2 s～0.4 s的谐波含量THD=9.55%。

图3 负载电流的FFT分析

各种算法检测的基波有功电流波形如图4所示，曲线①为定步长算法，曲线②为箕舌线函数算法，曲线③为本文改进算法；
可以看出曲线③初始状态的基波电流幅值最高，大约半个周期就能跟踪到待检测波形。从图4可以看出本文改进算法在一个周期内就能达到稳态，与传统的箕舌线函数算法相比减少了半个周期，与传统的定步长算法相比大约减少了一个周期，对时变系统具有更快地跟踪速度。

图5为各种算法所检测基波电流的频谱，将其0.3 s后5个周期的波形进行FFT分析，从图5可以看出，定步长算法中THD为0.83%；
箕舌线函数算法中THD为1.41%；
而改进算法中THD为0.40%，谐波含量远远小于其它两种传统算法，所检测到的基波电流失真程度最小；
进而也说明与定步长算法和传统箕舌线函数算法相比，文中改进算法的谐波检测效果较好。

图4 基波有功电流对比波形

图5 各种算法所检测基波电流的FFT分析

权值系数最能反映系统算法收敛新能的好坏。以W1为例，图6为各种算法的权值系数收敛对比曲线。本文改进算法与其他两种传统算法相比在初始阶段具有较大的权值，收敛速度更快。进入稳态后的权值波动趋近于零，大大降低了系统的误差，提高了收敛速度。通过对比可以看出，该算法在获得较高收敛速度的同时，也能具有良好的稳态精度。

图6 权值收敛对比曲线

为了进一步验证文中算法对时变系统的适应能力，使负载在0.2 s发生突变，此时负载的基波有功电流和基波无功电流部分均发生改变。如图7负载误差电流所示，当系统受到外界干扰发生突变时文中改进算法与传统的定步长算法和箕舌线函数算法相比，能够更快地检测到负载电流中的谐波分量，具有较快的动态响应速度和较高的跟踪精度。

图7 误差电流波形

文中提出了一种新的基于步长因子与误差信号的改进变步长谐波检测算法，该算法通过误差信号的自相关均值估计获得期望误差信号，并以箕舌线函数为核心函数改进步长因子更新公式，又以推导出来的三阶权值迭代公式来调节权值的更新；
较好地兼顾了收敛速度和稳态误差，改善了现有算法的性能。通过对定步长算法、传统变步长LMS算法与本文改进算法进行仿真对比分析，在进行谐波检测时本文算法能够有效地隔离噪声对步长的影响；
收敛速度更快，自适应滤波器权值在电网周期的一半便跟踪到系统权值系数；
鲁棒性较强，即使在负载发生突变时，也具有很好地跟踪性能；
在电力系统谐波分析中的应用具有一定的参考意义。