扭曲厄米-高斯-谢尔模光束对两种瑞利粒子的捕获

张超,韩亚帅,周正仙,屈军

(安徽师范大学物理与电子信息学院,安徽 芜湖 241001)

光镊是在微观尺度下对粒子进行捕获和操纵的一种物理工具。1970年,Ashkin[1]通过实验观察到微米量级的粒子在激光的辐射压力作用下被加速并困在一个稳定的势阱中,从而实现了激光对微观粒子的捕获,此后光镊技术迅速发展。光镊由于具有不直接接触、不损伤物体的性质,已经广泛应用于原子分子物理[2,3]、生物科学[4-6]、胶体科学[7]等各个领域。

随着光场调控技术和微观操纵技术的不断完善与成熟,一系列具有特殊光场结构的部分相干光束相继被提出。利用这些光束作为光镊系统的光源不仅能够捕获粒子,还能够改进光镊的性能,从而实现对粒子的复杂操纵。如光强呈空心或阵列等分布的光束能够实现对不同折射率粒子的稳定捕获[8-12],自身携带了轨道角动量的涡旋光束可以在与粒子作用的过程中将角动量传递给粒子从而实现对粒子的操纵等[13,14]。携带扭曲相位的高斯-谢尔模光束是描述激光光束最一般的模型[15],由于扭曲相位随空间位置改变,光束自身会携带轨道角动量,所以携带扭曲相位的高斯-谢尔模光束在光镊技术中有着独特的应用前景[16,17]。Zhao等[17]研究了各向异性旋转广义多高斯-谢尔模光束经过透镜后的聚焦特性,发现通过减小光束的扭曲因子可以增大光束产生的辐射力和捕获范围,扭曲因子决定了光场分布的旋转方向,由于轨道角动量的存在,光束能够旋转被捕获的粒子。近年来已有不少学者对厄米-高斯光束的传输特性和捕获特性进行了研究[18-21],最近,Lin等[22]从理论上提出了扭曲厄米-高斯-谢尔模(THGSM)光束,详细研究了其在湍流中的传输特性,发现THGSM光束的光场分布在传输过程中逐渐分裂并绕着传输轴旋转,为了方便计算与研究,Lin提出的THGSM光束模型并不是该光束的一般形式。

由于THGSM光束自身携带轨道角动量,可以应用在光学捕获中实现对粒子的捕获和旋转。为丰富光镊的种类,本文基于广义惠更斯-菲涅耳原理及瑞利散射理论,推导了扭曲厄米-高斯-谢尔模(THGSM)光束光强的一般形式和辐射力的解析表达式,数值模拟了该光束经过聚焦透镜后对粒子的捕获特性,此外还研究了其他光束参数和透镜参数对辐射力的影响。通过改变合适的光学参数和透镜参数,实现在光强最小处对低折射率粒子、在光强最大处对高折射率粒子的稳定捕获,最后分析了捕获稳定性。

1.1 源平面交叉谱密度的构建

源平面上光束的统计特性可以用交叉谱密度函数来表征,即[23]

式中:r1、r2为源平面的两个任意的位置矢量,E表示在该位置处的复振幅,*表示复共轭,〈〉表示系综平均。利用源平面交叉谱密度的积分叠加形式,(1)式可改写为[24]

式中v≡(vx,vy)可以看作是二维的特殊频率向量;p(v)是非负的权重函数;H0(r,v)为核函数,理论上可以为任意函数,它的选择决定了光束相干类型,理论上通过选择合适的p(v)和H0(r,v)可以产生不同种类的部分相干光束。

为了产生矩形厄米-高斯光束,考虑权重函数为[25]

式中:m、n代表厄米多项式的阶数,α、β分别为表征光束宽度和相干宽度的正实数。

扭曲相位是一个与空间两点位置关联的函数,且不能分离为独立坐标参量的乘积。为了产生扭曲相位,核函数的形式为[26]

式中σ为表征光束腰宽的一个正实数,a、b为实数。

把(3)、(4)式代入(2)式中,计算得到源平面的交叉谱密度为

式中

式中w0x、w0y和δ0x、δ0y分别表示源平面在x、y方向上的光束宽度和相干长度,在以上计算过程中,定义了扭曲因子

u必须满足不等式[27]

由(6)、(7)式可以看出,通过改变实数a、b可以调整光束扭曲程度,且扭曲因子会改变源平面的相干长度与光场分布,这一点与传统的扭曲高斯光束有所区别。

1.2 THGSM光束的光强

基于广义惠更斯-菲涅耳原理,该场在任意z＞0平面中通过光学ABCD系统传播的交叉谱密度函数可以表示为[28]

将(2)～(4)式代入(9)式,经过冗长的积分计算,得到

式中

本研究所利用的积分公式为[29]

THGSM光束在焦平面上的光强可表示为

考虑光束通过一个聚焦光学系统,传输矩阵为

式中f为透镜焦距,z为传输距离。

1.3 聚焦THGSM光束产生的辐射力

激光捕获可以用动量守恒的基本原理来解释,光作用在微粒表面上会发生反射与折射,伴随着能量和动量的传递。根据动量守恒定律,微粒会携带动量,从而产生相应的辐射力。辐射力分为散射力和梯度力,其中梯度力是由于光束的光强分布不均匀产生的将粒子拖向光强最大位置处的力;散射力是光与物质发生散射而产生的与传输方向相同的力。当梯度力能够克服散射力时可以实现对粒子的三维捕获。当粒子的尺寸远小于激光波长时满足瑞利散射理论,此时可将粒子看成点偶极子,散射力和梯度力可以根据以下公式计算得到[30]

式中:a0为粒子半径,ez为沿着光束传播方向上的单位矢量,np、nm分别表示瑞利粒子和外界环境的折射率,η=np/nm表示相对折射率,c为光速。

根据理论部分得到的解析表达式,数值分析聚焦THGSM光束的光强和作用在粒子上的辐射力。如果没有特殊说明,参数设定如下:选择粒子为瑞利电介质球,尺寸为a0=30 nm,λ=808 nm,σ=0.5 cm-2,α=1 cm2,β=2 cm2,np1=1.53(玻璃),np2=1(气泡),nm=1.33(水),f=10 mm,光束的功率选择为300 mW。

2.1 源平面和焦平面附近光强

选取不同的光束阶数和扭曲因子模拟了THGSM光束在源平面光强的分布情况,如图1所示。光束阶数和扭曲因子对THGSM光束的光强分布有显著影响,当阶数为0时,光束在源平面不同方向上均为高斯分布,由于选择参数α≠β,光束在源平面不同方向上的相干长度不同;当扭曲因子为0时,光强在源平面不同方向上均为高斯分布,且光束在源平面不同方向上的相干长度相同,满足(6)式;随着光束阶数增大,光束逐渐分裂,如图1(a);图1(b)反映了光强随不同扭曲因子的变化规律。当扭曲因子增大时,光强分布的分裂程度随之增大;扭曲因子的正负不会改变光强分布。

图1 不同光束阶数和扭曲因子的THGSM光束归一化光强分布图。(a)u=0.5 cm-2;(b)m=n=2Fig.1 Contour graph of the normalized intensity distribution of THGSM beams for different beam order and twist factor.(a)u=0.5 cm-2;(b)m=n=2

为了研究光束阶数和扭曲因子对聚焦后光束光强分布的影响,模拟了几组不同光束阶数和扭曲因子情况下焦平面附近的光强分布结果,如图2所示,可以看出THGSM光束光强主要集中于其中两个光斑上,在焦平面上光强逐渐演化为对称均匀的分布。由图2(a)、(b)可知,光束的分裂程度随着光束阶数的增大而增大;图2(b)、(c)反映了光强分布随扭曲因子的变化规律,扭曲因子越大光束的分裂程度越大;由图2(c)、(d)可以看出,沿着光传输的方向看,光束在传播时会绕着传输轴旋转,扭曲因子的符号决定着光束旋转的方向,当扭曲因子u＞0时光束绕轴顺时针旋转,u＜0时光束绕轴逆时针旋转。

图2 焦平面附近不同光束阶数和扭曲因子的THGSM光束归一化光强分布图。(a)m=n=1,u=0.3 cm-2;(b)m=n=3,u=0.3 cm-2;(c)m=n=3,u=-0.6 cm-2;(d)m=n=3,u=-0.6 cm-2Fig.2 Contour graph of the intensity distribution of THGSM beam for different beam order and twist factor near the focal plane.(a)m=n=1,u=0.3 cm-2;(b)m=n=3,u=0.3 cm-2;(c)m=n=3,u=0.6 cm-2;(d)m=n=3,u=-0.6 cm-2

2.2 辐射力随光束阶数及扭曲因子变化规律

图3探究了聚焦THGSM光束作用在高折射率瑞利粒子上的横向梯度力随光束阶数和扭曲因子改变的规律,图中力的正负代表着梯度力的方向。图3(a)、(b)表示在y=0.2 μm处,扭曲因子u=0.5 cm-2、光束阶数n=2时,横向梯度力随阶数m的改变规律,由图可知当m=0时,在x方向上为高斯分布,此时仅能在焦点处捕获一个高折射率粒子,而在y方向上为光强分布已经分裂,可以在焦平面上同时捕获两个高折射率粒子;随着光束阶数增大,横向梯度力与横向捕获稳定范围也不断增大;图3(c)、(d)表示光束阶数m=n=3时,在x=0.2 μm处横向梯度力随扭曲因子u的改变规律,从图中可以看出,横向梯度力和捕获稳定范围随着扭曲因子的增大而增大。

图3 聚焦THGSM光束作用在高折射率粒子上横向梯度力随光束阶数和扭曲因子的改变规律。(a)Fgrad,x随不同m的变化;(b)Fgrad,y随不同m的变化;(c)Fgrad,x随不同u的变化;(d)Fgrad,y随不同u的变化Fig.3 Transverse gradient force of the focused THGSM beam on the high refractive index particles with different beam order and twist factor.(a)Fgrad,x with different m;(b)Fgrad,y with different m;(c)Fgrad,x with different u;(d)Fgrad,y with different u

轴向梯度力和散射力随光束阶数及扭曲因子变化的规律可由图4得到,图4(a)为u=0.5 cm-2、n=2时,在x=y=0.2 μm处轴向梯度力随m的改变规律,由图可见梯度力随着m的增大而增大;图4(b)为m=n=3,在x=y=0.2 μm处轴向梯度力随扭曲因子u的改变规律,由图可见扭曲因子越大则轴向梯度力越大,但由于扭曲相位的存在,轴向梯度力的平衡点不在焦平面上。从图4(c)、(d)可以看出散射力随扭曲因子u和光束阶数的增大而增大,由于沿z方向的轴向梯度力远大于散射力,所以高折射率粒子能被稳定捕获。

图4 聚焦THGSM光束作用在高折射率粒子上轴向梯度力和散射力随光束阶数和扭曲因子的改变规律。(a)Fgrad,z随不同m的变化;(b)Fgrad,z随不同u的变化;(c)Fscat,x随不同m的变化;(d)Fscat,x随不同u的变化Fig.4 Axial gradient force and scattering force of the focused THGSM beam on the high refractive index particles with different beam order and twist factor.(a)Fgrad,z with different m;(b)Fgrad,z with different u;(c)Fscat,x with different m;(d)Fscat,x with different u

选择光束阶数m=n=3,扭曲因子u=0.6 cm-2时,聚焦THGSM光束作用在高折射率粒子和低折射率粒子上的辐射力如图5所示,图中实线、虚线分别为作用在高、低折射率粒子上的辐射力,力的符号表示其方向。图5(a)、(b)分别表示在焦平面上y=0.2 μm和x=0.2 μm处粒子所受到的横向梯度力Fgrad,x和Fgrad,y,发现低折射率粒子能够被稳定捕获在焦点处,而对高折射率粒子则有两个稳定的捕获点。图5(c)表示在x=y=0.2 μm位置处所受到的轴向梯度力,由图可见高折射率粒子被稳定捕获在焦点附近,但无法捕获低折射率粒子。图5(d)表示焦平面上y=0.2 μm位置处粒子所受到的散射力,比较图5(c)、(d)发现,由于沿该方向的轴向梯度力远大于散射力,高折射率粒子能被稳定捕获在焦点附近。

图5 聚焦THGSM光束作用在高折射率粒子和低折射率粒子上的辐射力。(a)Fgrad,x;(b)Fgrad,y;(c)Fgrad,z;(d)Fscat,xFig.5 Radiation force of the focused THGSM beam acting on the particles with high refractive index and low refractive index.(a)Fgrad,x;(b)Fgrad,y;(c)Fgrad,z;(d)Fscat,x

2.3 辐射力随透镜焦距及其他参数变化规律

以高折射率粒子为例,分析当光束阶数m=n=3、扭曲因子u=0.6 cm-2时,在y=0.2 μm位置处聚焦THGSM光束产生的横向梯度力Fgrad,x随透镜参数和其他光束参数的变化情况,如图6所示。从图6(a)可以看到,Fgrad,x随着焦距f变大而不断减小,但捕获稳定范围逐渐变大;图6(b)分析了f=10 mm时参数σ对Fgrad,x的影响,发现σ越大,Fgrad,x和稳定捕获范围越小;图6(c)反映了参数α、β对横向梯度力的影响,以α=0.5β为例,当α增大时,Fgrad,x和稳定捕获范围均增大。以上分析表明,选择合适的透镜焦距和光束参数可以实现对粒子的稳定、大范围的捕获。

图6 聚焦THGSM光束作用在高折射率粒子上横向梯度力随焦距f和参数σ、α、β的变化规律。(a)Fgrad,x随不同f的变化;(b)Fgrad,x随不同σ的变化;(c)Fgrad,x随不同α=0.5β的变化Fig.6 Transverse gradient force of the focused THGSM beam on the high refractive index particles with different f,σ,α,β.(a)Fgrad,x with different f;(b)Fgrad,x with different σ;(c)Fgrad,x with different α=0.5β

为了在瑞利近似下稳定地捕获粒子,必须满足以下条件:1)轴向梯度力Fgrad,z必须大于散射力Fsact,即,R称为稳定性判据。从图4(d)可以发现Fsact远小于Fgrad,z,所以条件1)满足;2)梯度力必须克服布朗力FB=(12πη0a0kBT)1/2,其中η0是水的粘度,a0是粒子的半径,kB是玻尔兹曼常数,水的粘度在温度T=300 K时为η0=7.997×10-4Pa·s。得到布朗力的大小为FB=1.933×10-3pN,布朗力远小于梯度力;3)梯度力必须克服粒子的重力。由于瑞利粒子的重力很小,可以忽略不计[31]。因此,聚焦THGSM光束确实可以用于捕捉瑞利粒子。

从理论和数值上研究了聚焦THGSM光束对瑞利粒子的捕获特性。结果表明,聚焦THGSM光束在传输过程中演化为四个光斑并绕着传输轴旋转;光束阶数和扭曲因子对于聚焦THGSM光束作用在瑞利电介质球上的辐射力有着显著影响,光束的梯度力和捕获稳定范围随着光束阶数和扭曲因子的增大而增大;光束在捕获平面的不同位置处能够稳定地捕获两种不同类型的粒子;梯度力随着透镜焦距f增大而不断减小,但捕获稳定范围变大。最后分析了捕获稳定性,通过选择合适的光束阶数和扭曲因子,能够实现在捕获平面不同方向上同时对折射率不同的两类粒子的稳定捕获,为扭曲厄米-高斯光束在光镊技术中的应用提供了参考依据,由于光束自身携带轨道角动量,使其在焦平面附近旋转粒子成为可能。后续研究将探究轨道角动量的大小对粒子旋转程度的影响。