非线性项在零点和无穷远处非渐进增长的高维变权p-Laplacian问题径向结点解的存在性

沈文国， 包理群

(1.兰州工业学院基础学科部， 兰州 730050；

2.兰州工业学院电子信息工程系， 兰州 730050)

文献[1-3]建立了Dancer-型分歧定理.应用分歧理论，文献[4-6]研究了高维问题. 应用分歧技巧[7]， 代国伟等[8]研究了径向结点解的存在性，代国伟等[9]亦研究了高维椭圆方程保号解的存在性.然而， 关于高维变权问题的高阶特征值研究文献较少.代国伟等[10]建立了下列高维变权问题的一个单侧全局分歧结果：

(1)

(2)

其中，r=|x|(x∈B)，m(r)∈M(I)是变号函数，I=(0，1)，并且M(I)={m(r)∈C(I)是径向对称的且|meas{x∈I，m(r)>0}≠0}.还假设：对几乎处处的r∈I和有界集上的λ，下式一致成立，

(3)

注1本文对变号权问题(1)的研究和文献[8-9]研究的定号权问题有本质的区别，研究人口遗传的基因突变可用带变权函数的非线性微分方程来刻画， 浅水波方程等也与此类问题的研究有关.一般地，此类问题研究中， 强极大值原理不成立， 算子也不保锥， 这给问题的研究带来了一些实质性的困难．

代国伟等[10]建立了下列谱结构.

引理1[10]假设m∈M(I)，特征值问题

存在两列简单的无穷实特征序列：

并且没有别的特征值.进而，

令D记为问题(2) 的解集在×E中的闭包， 且当时，为D的子集， 且当m∈M(I)，且满足 (3)， 由Dancer[3]和 引理 1， 代国伟等[10]获得以下引理.

其中，σ∈{+，-}．

进而，本文研究下列问题：

(4)

其中，f∈C(，)，γ是一个参数.显然， 问题(4)的径向解等价于下列方程的解，

(5)

其中，r=|x|(x∈B).

应用引理 2， 代国伟等[10]建立了问题(5)径向解的存在性，结论如下.

引理3[10]假设 (A1)和(A2)成立，m∈M(I).并且假设下列两个条件之一成立，

或

(A1) 当s≠0时，sf(s)>0．

然而，当f满足f0∉(0，∞) 或f∞∉(0，∞)时， 有什么结论成立？本文假设f满足(A1)和下列假设：

(H1)f0∈(0，∞)且f∞=∞．

(H2)f0=∞且f∞∈(0，∞)．

(H3)f0=0且f∞∈(0，∞)．

(H4)f0∈(0，∞)且f∞=0．

(H5)f0=0且f∞=∞．

(H6)f0=∞且f∞=0．

(H7)f0=∞且f∞=∞．

(H8)f0=0且f∞=0．

首先介绍下列引理.

引理4[11]令X是一个Banach空间， 令{Cn|n=1，2，…}是X的一个闭连通子序列集.假设

1) 存在zn∈Cn，n=1，2，…和z*∈X， 使得zn→z*；

考虑下列问题，

(6)

其中，λ>0 是一个参数．

假设 (A1)和(A2)成立， 且m∈M(I).令ζ，ξ∈C(，)，使得

f(u)=f0φp(u)+ζ(u)，f(u)=f∞φp(u)+ξ(u)，

且

考虑

(7)

作为从u≡0发出的一个分歧问题，且

(8)

作为从无穷远处发出的一个分歧问题．

由引理2和Rabinowitz[12]可得如下引理5．

注2问题(6)的任何解(1，u)产生(5)的一个解u.

本文主要结果如下．

定理1令(A1)和(H1)成立， 且m∈M(I).假设下式成立，

证明由文献[13]， 定义截断函数

f[n](s)=

考虑

(9)

定理2令(A1)和(H2)成立， 且m∈M(I).假设下式成立，

(10)

定义

显然， 问题 (10) 等价于

(11)

定理3令(A1)和(H3)成立， 且m∈M(I).假设下式成立

证明定义

f[n](s)=

考虑

(12)

定理4令(A1)和(H4)成立， 且m∈M(I).假设下式成立，

证明应用相似于定理2的证明方法和定理3， 可得结果．

定理5令(A1)和(H5)成立， 且m∈M(I).假设下式成立，

γ∈(0，+∞)∪(-∞，0)，

证明定义

f[n](s)=

考虑

(13)

定理6令(A1)和(H6)成立， 且m∈M(I).假设下式成立，

γ∈(0，+∞)∪(-∞，0)，

证明应用相似于定理2的证明方法和定理5，可得结果．

证明定义

f[n](s)=

考虑

(14)

证明应用相似于定理2的证明方法和定理7， 可得结果．

注3文献[8-10]中仅仅研究了f0，f∞∈(0，∞)时的情况， 其中， 文献[8-9]仅仅研究了定号权问题，而本文研究了f0∉(0，∞)或f∞∉(0，∞)并且是变号权的情况．