初一数学,从算术到代数

专题03 从算术到代数 阅读与思考 算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的. 用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点：
1.任意性 即字母可以表示任意的数. 2.限制性 即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义. 3.确定性 即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定. 4.抽象性 即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义. 例题与求解 【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：
1×3＋1＝4＝22 2×4＋1＝9＝32 3×5＋1＝16＝42 4×6＋1＝25＝52 … 请将你找到的规律用代数式表示出来：___________________________________ (山东菏泽地区中考试题) 解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示. 【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（ ）
A.1627384950 B. 2345678910 C. 3579111300 D. 4692581470 （江苏省竞赛试题）
解题思路：设自然数从a＋1开始，这100个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2)＋ …＋(a＋100)＝100a＋5050，从揭示和的特征入手. 【例3】设A＝＋…＋＋，求A的整数部分. （北京市竞赛试题）
解题思路：从分析A中第n项的特征入手. 【例4】现有a根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m个正方形，按如图②摆放时可摆成2n个正方形. (1)用含n的代数式表示m；

(2)当这a根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a的最小值. （浙江省竞赛试题）
解题思路：由图①中有m个正方形、图②中有2n个正方形，可设图③中有3p个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m，n，p的等式. 【例5】 化简. （江苏省竞赛试题）
解题思路：先考察n＝1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确. 【例6】观察按下列规律排成的一列数：
，，，，，，，，，，，，，，，，…，（*）
（1）在（*）中，从左起第m个数记为F(m)＝ 时，求m的值和这m个数的积. （2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c，它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c和d，使cd＝2001000，如果存在，求出c和d；
如果不存在，请说明理由. 解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（），（，），（，，），（，，，），（，，，，），…. 能力训练 A级 1.已知等式：2＋＝22×，3＋＝32×，4＋＝42×，…，，10 ＋＝102×（a，b均为正整数），则a＋b＝___________________. (湖北省武汉市竞赛试题) 2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有n（n≥2）个棋子，每个图案棋子总数为s，按此规律推断s与n之间的关系是______________. n＝2 n＝3 n＝4 s＝4 s＝8 s＝12 (山东省青岛市中考试题) 3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d）， 当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）⊗（p，q）＝（5，0），则p＋q＝________． (浙江省湖州市数学竞赛试题) 4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n个图形中需要黑色瓷砖______块（含n代数式表示）． （广东省中考试题）
-= 5.如果a是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是（ ）
A.1000a＋1 B. 100a＋1 C. 10a＋1 D. a＋1 (重庆市竞赛试题) 6.一组按规律排列的多项式：a＋b，a2—b3，a3＋b5，a4—b7，…，其中第十个式子是（ ）
A. a10＋b19 B. a10-b19 C. a10-b17 D. a10-b21 (四川省眉山市竞赛试题) 7.有三组数x1，x2，x3；
y1，y2，y3；
z1，z2，z3，它们的平均数分别是a，b，c，那么x1＋y1－z1，x2＋y2－z2，x3＋y3－z3的平均数是（ ）
A. B. C. a＋b－c D. 3(a＋b－c) (希望杯邀请赛试题) 8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S1、S2的大小关系是（　　）
（东方航空杯竞赛试题）
A. S1＞S2 B．Sl＜S2 C．S1＝S2 D．无法比较 9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为4个扇形面；
第二次将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形；
以后按第二次剪裁法进行下去． （1）请通过操作，猜想将第3、第4次，…，第n次剪裁后扇形面的总个数填入下表；

剪裁次数 1 2 3 4 … n 所得的总数 4 7 … （2）请你推断，能否按上述操作剪裁出33个扇形面？为什么？ （山东省济南市中考试题）
10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原a（a＞0）个成品，且每个每天都生产b（b＞0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品，然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同． （1）这若干名检验员1天检验多少个成品（用含a、b的代数式表示）；

（2）试求出用b表示a的关系式；

（3）若1名质检员1天能检验b个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？ （广东省广州市中考试题）
B级 1. 你能很快算出19952吗？ 为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成（10·n＋5）（n为自然数），即求（10·n＋5）2的值（n为自然数），分析n＝1，n＝2，n＝3，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）. （1）通过计算，探索规律. 152＝225可写成100×1×（1＋1）＋25；

252＝625可写成100×2×（2＋1）＋25；

352＝1225可写成100×3×（3＋1）＋25；

452＝2025可写成100×4×（4＋1）＋25；

... 752＝5625可写成______；

852＝7225可写成______；

（2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n＋5）2＝______；

（3）根据上面的归纳猜想，请算出19952＝______. （福建省三明市中考试题）
2.已知12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，计算：
（1）112＋122＋…＋192＝_____________________；

(2)22＋42＋…＋502＝__________________. 3.已知n是正整数，an＝1×2×3×4×…×n，则＋＋…＋＋＝_______________. (“希望杯”邀请赛训练题) 4.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接着这17个数后面的那17个整数的和为__________. （重庆市竞赛试题）
5.A，B两地相距S千米，甲、乙的速度分别为a千米/时、b千米/时（a＞b），甲、乙都从A地到B地去开会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B地的小时数是（ ）
A． B． C． D． 6.某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整原来零售价的b%出售，那么调价后的零售价是（　　）
A．m（1＋a%）（1－b%）元 B．ma%（1－b%）元 C．m（1＋a%）b%元 D．m（1＋a%b%）元 （山东省竞赛试题）
7.如果用a名同学在b小时内共搬运c块砖，那么个以同样速度所需要的数是（　　）
A． B． C． D． (“希望杯”邀请赛试题) 8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是乙班未参加人数的，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的．问甲班未参加的人数是乙班未参加人数的几分之几？ 9.将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33. （重庆市竞赛试题）
10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数， 再将各组所得的数相加，其和恰好等于18.若这四个数的乘积是23100，求这四个数. （天津市竞赛试题）