第六章,数列

　第六章 数列 6.1 等差数列与等比数列的通项公式及前 n 项和 【知识梳理】

　一、等差数列 1.定义：数列{a n }满足a n+1 −a n =d，n∈ N ∗ ，则称此数列是首项为a 1 ，公差为 d 的等差数列. 2.通项公式：a n =a 1 +（n−1）d（累加法）. 拓展：a n =a m +（n−m）d 3.通项性质：（1）对称性：若 p+q=r+s，则a p +a q =a r +a s ，当 d≠0 时，反之也成立； （2）单调性：①当 d>0 时，{a n }单调递增；①当 d<0 时，{a n }单调递减；当 d=0 时，{a n }不具有单调性，为常数列a n =a 1 . 4.前 n 项和公式：S n = n（a 1 +a n ）2=na 1 + n（n−1）2d（倒序相加法推导）

　5.求和性质：最值性：①当a 1 <0，d>0 时，S n 有最小值； ②当a 1 >0，d<0 时，S n 有最大值. 6.函数特征：a n =dn+（a 1 −d）（一次函数），S n = d2n 2 +（a 1 − d2 ）n（二次函数）.

　二、等比数列 1.定义：数列{a n }满足 a n+1a n=q，n∈ N ∗ ，则称此数列是首项为a 1 ，公比为q 的等比数列. 2.通项公式：a n =a 1 q n−1 （累乘法推导）

　拓展：a n =a m q n−m

　3.通项性质：（1）对称性：若 p+q=r+s，则a p ·a q =a r ·a s ，当 q≠ 1时，反之也成立； （2）非 0 性：a n ≠0，q≠0. （3）间项同号性：等比数列只有三类：①所有项均为正数；②所有项均为负数；③正数项和负数项间隔出现 （4）前 n 项和公式：当 q=1 时，S n =na 1 ； 当 q≠1 时，S n = a 1 （1−qn ）1−q（错位相减法）.

　【基础训练】

　1.在数列{a n }中，a n =2 3−2n . （1）证明：{a n }是等比数列，并求{a n }的前 n 项和S n ； （2）设b n = log 2 a n ，证明{b n }是等差数列，并求出{b n }的前 n 项和T n .

　 2.在等差数列{a n }中，a 2 +a 8 =10，求a 4 · a 6 的最大值.

　 3.在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2 · a 8 =10，求a 4 + a 6 的最小值.

　4.设等差数列{a n }的前 n 项和为S n ，a n =9−2n，求S n 的最大值.

　5.在等比数列{a n }中，a 1 =1，a 9 =3，求a 5 .

　6. 在正项等比数列{a n }中，a 1 +a 3 +a 5 =3, a 13 +a 15 +a 17 =12，求a 7 +a 9 +a 11 .

　 7.设等比数列{a n }的前 n 项和为T n ，a n =2 4−n ，求T n 的最大值.

　 8.设等差数列{a n }的前 n 项和为S n ，a n =2n−9. （1）求S n 的最小值；

　（2）设b n =|a n |，求{b n }的前 n 项和.

　6.2 数列的通项公式 【知识梳理】

　1.累加法：a n+1 =a n +f（n）型. 例：在数列{a n }中，a 1 =1，a n+1 =a n +n，求a n .

　2.累乘法：a n+1 =a n f（n）型. 例：在数列{a n }中，a 1 =1，（n+1）a n+1 =na n ，求a n .

　3.作商法：数列的前 n 项积的类型. 例：a 1 · a 2 · a 3 ······ a n−1 =（n − 1）2 ，求an .

　4.作差法：含a n 和S n （数列的前 n 项和）的类型. 例：在数列{a n }中，a 1 =1，S n = n+23a n ，求a n . （注：若不给出a 1 ，可将 n=1 代入a n 和S n 的关系中，由S 1 =a 1 得出，做差时注意 n 能否等于 1，若不能则要分累讨论;另亦可以消去a n 得到关于S n 和S n−1 的方程，再求出S n ）

　5.构造法：（1）a n+1 =pa n +q（p，q 不为 0）——待定系数法，设a n+1 +x=p（a n +x），待定系数得出 x，构造等比数列{a n +x}求得a n +x 的通项公式再求a n . 例：在数列{a n }中，a 1 =1，a n+1 =2a n +1，求a n .

　（2）a n+1 =pa n +q n （p，q 不为 0）——两边除以q n 整理为 a n+1q n= pq·a nq n−1 +1，再用待定系数法构造等比数列. 例：在数列{a n }中，a 1 =1，a n+1 =2a n +3 n ，求a n .

　6.归纳法：计算a 1 ，a 1 ，a 1 ，观察其结构，猜想出a n . 例：a 1 = 12 ，a n+1 =12−a n ，求a n .

　【基础训练】

　1.已知（n + 1）2 −n 2 =3n 2 +3n+1，证明：1 2 +2 2 +···+n 2 = n(n+1)（2n+1）6

　2. 在数列{a n }中，a 1 =1，na n+1 =（n+1）a n ，求a n .

　3.设正数的数列{a n }的前 n 项和为S n ，且a n+1 =2√S n +1（nϵN ∗ ），求a n .

　4. 在数列{a n }中，a 1 =1，a n+1 =2a n +3，求a n .

　 5. 在数列{a n }中，a 1 =1，a 2 =2，且a n+2 =a n+1 −a n 写出a 2013 的值（不必说理由）

　6.设数列{a n }满足a 1 +3a 2 +3 2 a 1 +···+3 n−1 a n = n3 （nϵN∗ ），求a n .

　7.设数列{a n }的前 n 项和为S n ，a 1 =1，a n+1 =2S n （nϵN ∗ ），求a n .

　8.在数列{a n }中，已知a 1 =1，a n =a n−1a n−1 +2 (n≥2), 求a n .

　9.设数列{a n }的前 n 项和为S n ，已知a 1 =1，S n+1 =4a n +2. （Ⅰ）设b n =a n+1 −2a n ，证明数列{b n }是等比数列； （Ⅱ）求a n .

　6.3 数列求和 【知识梳理】

　1.倒序相加法：对于数列{a n }，若a 1 +a n =a 2 +a n−1 =···，设S n =a 1 + a 2 +···+a n ，则S n =a n +a n−1 +···+a 1 （倒序），两式相加得S n = n（a 1 +a n ）2. 如S n =1+2+3+···+n= n（n+1）2.

　2.分组求和：若c n =a n +b n ，且c 1 +c 2 +···+c n 不易求时，可考虑分组后再求和，c n +c n +···+c n =（a 1 + a 2 +··· +a n ）+（b 1 + b 2 +··· +b n ）

　如（1+1）+（2 1 +2）+（2 2 +3）+···+（2 n−1 +n）=2 n −1+ n（n+1）2.

　3.裂项相消法：当c 1 +c 2 +···+c n 不易求时，可先变形为c n =a n −a n+1 ，则有c 1 +c 2 +···+c n =（a 1 −a 2 ）+（a 2 −a 3 ）+···+（a n −a n+1 ）=a 1 −a n+1 ，如11+√2 +1√2+√3 +···+1√n+√n+1 =√n + 1−1.

　 【基础训练】

　1．已知等差数列{a n }的公差为 d，设该数列的前 n 项和为S n .证明：S n =na 1 + n（n−1）2d.

　2.设数列{a n }的前 n 项和为S n ，且a n =2 n +n（n+1），求S n .

　3.求和S n =1+11+2 +11+2+3 +···+11+2+3+···+n .

　4.设数列{a n }的前 n 项和为S n ，且a n =n 2 +2 n ，求S n .

　5.在数列{a n }中，a n =2n−1，设b n =（ − 1）na n +a n+1a n a n+1 （nϵN∗ ），求数列{b n }的前 n 项和S n .

　6. 已知数列{a n }的前 n 项和为S n ，且a n =2 n ，设b n =a n+1S n S n+1 ，求数列{b n }的前 n 项和T n .

　7. 已知数列{a n }的前 n 项和为S n ，且a n =（ − 1）n （2n+1）+ n2 n ，求S n .