湖南大学研究生工程数学历年试卷及答案

湖南大学研究生 课程考试命题专用纸 考试科目：
工程数学 专业年级：2011级专业型硕士研究生 考试形式：闭卷(可用计算器) 考试时间：
120分钟 ……………………………………………………………………………………………………………………… 注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。

一． 填空题（每小题5分，共30分）
1. 用作为圆周率的近似值时，有 位有效数字。

2. 要使迭代法局部收敛到 则的取值范围是 . 3. 若 则谱条件数 . 4. 设为个互异的插值节点，为拉格朗日插值基函数，则 . 5. 已知实验数据 0 1 2 3 1 2 4 5 则拟合这组数据的直线为 . 6. 要使求积公式具有2次代数精度，则 ， 二． ( 11分) 给定方程 (1) 证明该方程在区间内存在唯一实根 (2) 用牛顿迭代法求出的近似值，取初值 要求 三．( 10分) 用高斯列主元素消去法解线性方程组 四．(10分) 给定线性方程组 写出求解该方程组的雅可比迭代格式，并分析雅可比迭代法的收敛性。

五．(13分) 试根据数表 0 2 10 14 16 1 －1 构造Hermite (埃尔米特)插值多项式 六．(10分) 求常数使积分 取最小值。

七．(16分) 用龙贝格方法求积分 的近似值，要求误差不超过 工程数学试题参考答案 一． (1) 7 ; (2) ; (3) 3 ; (4) ; (5) ; (6) 二． 解. (1) 因为 所以由零点定理和单调性知原方程在内存在唯一实根 (4分) (2) 牛顿迭代格式为 (7分) 取初值 计算结果如下：
0 1 2 3 4 1.5 1.238095 1.196815 1.195824 1.195823 (11分) 三．解. (2分) (4分) (5分) (7分) 等价的上三角形方程组为 回代得 (10分) 四. 解. 雅可比迭代格式为 雅可比迭代矩阵 (5分) 其特征方程 的特征值 (8分) 因为谱半径 所以雅可比迭代法收敛。

(10分) 五．列表计算差商 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 －1 10 －1 10 1 0 14 4 3 2 16 1 －1 2 16 －1 －1 0 (10分) (13分) 六．解. 取 定义内积 则 (5分) 正规方程组为 (8分) 解得 (10分) 七. 解. 计算结果见下表 0 1.3333333 1 1.1666667 1.1111112 2 1.1166667 1.1000000 1.0992593 3 1.1032107 1.0987254 1.0986404 1.0986306 (14分) 因为 所以 (16分) 湖南大学研究生 课程考试命题专用纸 考试科目：
工程数学(A卷) 专业年级：2014级专业型硕士研究生 考试形式：闭卷(可用计算器) 考试时间：
120分钟 ……………………………………………………………………………………………………………………… 注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。

三． 填空题（每小题4分，共20分）
1. 设 则导数值有 位有效数字。

2. 若 则 ，条件数 . 3. 设，则差商 ， . 4. 拟合三点的直线是 . 5. 参数 时，求积公式的代数精 度达到最高，此时代数精度为 . 四． (12分) 给定方程 (3) 证明该方程在区间内存在唯一实根 (4) 写出牛顿迭代法求的迭代格式；

(5) 若取初值 牛顿迭代法是否收敛？若收敛，指出收敛阶数。

三． ( 12分) 用三角分解法解线性方程组 四．( 16分) 分别给出用雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法解线性方程组 时，对任意初始向量都收敛的充要条件. 五．(16分) 用插值法求一个二次多项式 使得曲线在处与曲线 相切，在处与相交，并证明 六．(12分) 求在上的一次最佳平方逼近多项式。

七． (12分) 已知函数表 0 0.125 0.250 0.375 0.500 1 0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510 0.625 0.750 0.875 1 0.9361556 0.9088516 0.8771925 0.8414709 请分别用的复化梯形公式和的复化辛浦生公式计算积分的 近似值.（取7位浮点数）
工程数学试题(A卷)参考答案 一． (1) 3 ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) . 二． 解. (1) 因为在上连续，并且 所以由零点定理和单调性知原方程在内存在唯一实根 (4分) (2) 牛顿迭代格式为 (8分) ⑶ 因为 所以牛顿迭代法收敛， 且收敛阶为2. (12分) 三. 解. 用杜里特尔分解法求解。按紧凑格式计算得 于是得 ( 9分) 回代求解上三角形线性方程组 得原方程组的解为 即 ( 12分) 四． 解. 雅可比迭代矩阵 其特征方程为 ( 4分) 的谱半径 所以J法收敛的充要条件是. (8分) 赛德尔迭代矩阵 其特征方程为 (12分) 的谱半径 所以G-S法收敛的充要条件是.(16分) 五． 解. 由条件得 (3分) ( 6分) 作差商表 一阶差商 二阶差商 0 1 0 1 0 0 ( 9分) ( 12分) 记 令 得 所以 故 ( 16分) 六． 解. (1) 取 并设一次最佳平方逼近多项式为 则 (6分) 正规方程组为 ( 8分) 解得 故所求的最佳平方逼近多项式为 ( 12分) 七． 解. . ( 6分) = ( 12分) 湖南大学研究生 课程考试命题专用纸 考试科目：
数值分析 （A卷）参考答案 专业年级：
11级各专业 考试形式：
闭 卷（可用计算器）
考试时间：120分钟 ……………………………………………………………………………………………………………………… 注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。

一、简答题(20分) 1、避免误差危害的主要原则有哪些？ 答：（1）两个同号相近的数相减（或异号相近的数相减），会丧失有效数字，扩大相对误差，应该尽量避免。（2分）
（2）很小的数做分母（或乘法中的大因子）会严重扩大误差，应该尽量避免。（3分）
（3）几个数相加减时，为了减少误差，应该按照绝对值由大到小的顺序进行。（4分）
（4）采用稳定的算法。（5分）
2．求解线性方程组的高斯消元法为什么要选主元？哪些特殊的线性方程组不用选主元？ 答：（1）
若出现小主元，将会严重扩大误差，使计算失真，所以高斯消元法选主元。（3分）
（2）当系数矩阵是对称正定矩阵时，高斯消元法不用选主元。（4分）
（3）当系数矩阵是严格对角占优或不可约对角占优时，高斯消元法不用选主元。（5分）
3．求解非线性方程的Newton迭代法的收敛性如何？ 答：（1）
Newton迭代法是局部收敛的，即当初值充分靠近根时，迭代是收敛的。（2分）
（2）用Newton迭代法求方程的单根时，其收敛至少是平方收敛，若求重根，则只有线性收敛。（5分）
4．Newton-Cotes 积分公式的稳定性怎么样？ 答：（1）Newton-Cotes 积分公式当时，Cotes系数都为小于1的正数，因此是稳定的。（3分）
（2）当时，出现了绝对值大于1的Cotes系数， 因此是不稳定。（5分）
二、(10分) 证明函数关于点的k阶差商可以写成对应函数值的线性组合，即 其中节点。

证明：通过简单计算，可知 （2分）。

Newton插值多项式为 ，（5）
Lagrange插值多项式为 其中， （8分）
由于插值多项式的唯一性，比较两个多项式的系数，他们应该相等，从而 。

（10分）
本题也可以用数学归纳法证明。

三、(10分). 求解非线性方程在区间[0,1]内的根，误差不超过0.001.（简单迭代法和Newton迭代法中选一种方法。）
解：
因为，在区间恒成立，所以取初值 若， （3分）
则Newton迭代 收敛，取0.8， 具体迭代过程如下：
（7分）
x=0.8;y=x-(3*x^2-sin(x)-1)/(6*x-cos(x)) y = 0.75061432494672 >> x=y;y=x-(3*x^2-sin(x)-1)/(6*x-cos(x)) y = 0.74844662434814 >> x=y;y=x-(3*x^2-sin(x)-1)/(6*x-cos(x)) y = 0.74844244703132 （10分）
>> 注：若是采用简单迭代法：则计分如下：
写出迭代格式（3分），证明格式的收敛性（4分）， 计算过程（3分），共10分。

四、(10分)求函数在区间上的一次最佳平方逼近多项式。

解：设一次最佳平方逼近多项式为y=a+bx, 正规方程组为：
(7分) 求解方程组，得到 a=0.87312731383618 （4e-10）
b=1.69030902924573 (18-6e) （10分）
五、(10分) 利用三角分解法求解线性方程组：。

解：
系数矩阵的三角分解A=LU, 其中， A = 3 2 3 2 2 0 3 0 12 L = 1 0 0 2/3 1 0 1 -3 1 U = 3 2 3 0 2/3 -2 0 0 3 （6分）
求解方程组Ly=b, 则 y’= [ 5 -1/3 1 ]; （8分）
求解方程组Ux=y, 则 x’=[1 1/2 1/3 ] （10分）
六、(10分)写出求解线性方程组 Gauss-Seidel迭代格式，并判断收敛性。

解：
Gauss-Seidel迭代格式为：
（5分）
因为系数矩阵是严格对角占优矩阵，所以Gauss-Seidel迭代收敛。（10分）
七、（10分）已知函数的数据如下表，求相应的插值多项式（Lagrange 插值多项式与Newton 插值多项式中选一种）。

x 1 2 3 4 y 1 5 14 30 解：
Lagrange插值多项式如下：
（7分）
（10分）
注：若是用Newton插值多项式，则差商表（6分），正确写出Newton插值多项式并整理（4分）
总计（10）分 八、(10分) 用变步长求积公式计算积分，要求事后误差不超过0.01. 解：1.5 （1分）
（ 2分）
（4分）
（6分）
， （8分）
且 事后误差 （10分）
所以积分值为1.57078431372549 九．(10分) 给出如下数据表，用直线y=a+bx最小二乘拟合数据表。

x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 y 1.0000 1.2214 1.4918 1.8221 2.2255 解：法方程组为：
(7分) 求解方程组，得到：
a=0.94182 b=1.52585 （10分）