2021年广州中考,三轮冲刺复习：多边形与平行四边形

　2021 广州中考 三轮冲刺复习：多边形与平行四边形 一、选择题 1. 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，下列四组条件中，一定能判定四边形 ABCD 为平行四边形的是 (

　 ) A.AD∥BC

　B.OA=OC，OB=OD C.AD∥BC，AB=DC

　D.AC⊥BD

　 2. 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以作 2 条对角线，则这个多边形是(

　) A．四边形

　B．五边形 C．六边形

　D．七边形

　 3. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是

　A．180° B．360° C．540° D．720°

　4. 如图，将▱ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在点 B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为(

　) A. 66°

　B. 104°

　C. 114°

　D. 124°

　5. 若一个正多边形的每一个外角都等于 40°，则它是(

　) A．正九边形

　 B．正十边形 C．正十一边形

　 D．正十二边形

　 6. 如图，已知长方形 ABCD，一条直线将该长方形 ABCD 分割成两个多边形．若这两个多边形的内角和分别为 M 和 N，则 M＋N 不可能是(

　)

　 A．360°

　B．540°

　C．720°

　D．630°

　 7. 如图为矩形 ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为 a 和 b，则 a+b 不可能是

　A．360° B．540° C．630° D．720°

　8. 如图，D 是△ABC 内一点，BD⊥CD，AD=7，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是 AB、BD、CD、AC 的中点，则四边形 EFGH 的周长为

　A．12 B．14 C．24 D．21

　二、填空题 9. 如图，在四边形 ABCD 中，AD=BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件

　 ，使四边形 ABCD 是平行四边形.

　 10. 如图，王明想从一块边长为 60 cm 的等边三角形纸片上剪下一个最大的正六边形，写上“祝福祖国”的字样来表达自己的喜悦之情，则此正六边形的边长是________ cm.

　 11. 若一个多边形的内角和与外角和之和是 900°，则该多边形的边数是__________．

　12. 一个正多边形的一个外角为 45°，则这个正多边形的边数是________．

　 13. （2020·凉山州）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，OE∥AB 交 AD 于点 E．若 OA＝1，△AOE 的周长等于 5，则平行四边形 ABCD的周长等于

　． OEDC BA 14. 如图，在平行四边形□ ABCD 中， 2, AB ABC   的平分线与 BCD  的平分线交于点 E，若点 E 恰好在边 AD 上，则2 2BE CE  的值为

　． EDC BA

　15. 如图，小明从点 A 出发，沿直线前进 12 米后向左转 36°，再沿直线前进 12米，又向左转 36°……照这样走下去，他第一次回到出发地点 A 时，一共走了________米．

　16. （2020·株洲）如图所示，点 D、E 分别是 V ABC 的边 AB、AC 的中点，连接 BE，过点 C 做 // CF BE ，交 DE 的延长线于点 F，若 3 EF  ，则 DE 的长为________．

　三、解答题 17. （2020·黄冈）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝∠C．E 使边 BC上一点，且 DE＝DC． 求证：AD＝BE． EOCDBA

　 18. 如图，在▱ABCD 中，连接 BD，在 BD 的延长线上取一点 E，在 DB 的延长线上取一点 F，使 BF＝DE，连接 AF、CE. 求证：AF∥CE.

　 19. （2020·陕西）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝∠C．E 使边 BC上一点，且 DE＝DC．求证：AD＝BE． E C BA D

　 20. ABC  的三条中线分别为 AD 、 BE 、 CF ， H 为 BC 边外一点，且 BHCF 为平行四边形，求证：

　AD EH ∥ ． AB CDE FH

　 21. 如图，将▱ABCD 的 AD 边延长至点 E，使 DE＝ 12 AD，连接 CE，F 是 BC 边的中点，连接 FD. (1)求证：四边形 CEDF 是平行四边形； (2)若 AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，求 CE 的长．

　 22. 如图，已知平行四边形 ABCD 中，AB=5，BC=3，AC=2 . (1)求平行四边形 ABCD 的面积; (2)求证:BD⊥BC.

　 23. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是平行四边形．直线 l 经过 O、C 两点，点 A 的坐标为(8，0)，点 B 的坐标为(11，4)，动点 P 在线段 OA 上从 O出发以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿 A→B→C 的方向向点 C 运动，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，与折线 O—C—B 相交于点 M．当 P、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒（t＞0），△MPQ 的面积为 S．

　（1）点 C 的坐标为____________，直线 l 的解析式为____________； （2）试求点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围． （3）试求题（2）中当 t 为何值时，S 的值最大？最大值是多少？

　24. 如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点． OEFLHNMDCBA

　 2021 广州中考 三轮冲刺复习：多边形与平行四边形- 答案 一、选择题 1. 【答案】

　B

　[解析]∵OA=OC，OB=OD，∴四边形 ABCD 是平行四边形.故选B.

　 2. 【答案】

　B [解析] 设这个多边形的边数是 n.由题意，得 n－3＝2，解得 n＝5.

　 3. 【答案】

　C 【解析】黑色正五边形的内角和为：(5–2)×180°=540°， 故选 C．

　4. 【答案】

　C 【解析】设∠ACD ＝x，∠B＝y，则根据题意可列方程组

　x＋y＋44°＝180°180°－y－（44°－x）＝44°，解得 y＝114°.

　 5. 【答案】

　A [解析] 由于正多边形的外角和为 360°，且每一个外角都相等，因此边数＝ 360°40° ＝9.

　 6. 【答案】

　D [解析] 一条直线将长方形 ABCD 分割成两个多边形的情况共四种：两个三角形、三角形和四边形、三角形和五边形、两个四边形．

　 7. 【答案】

　C 【解析】一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是 180°的倍数，都能被 180 整除，分析四个答案， 只有 630 不能被 180 整除，所以 a+b 不可能是 630°．故选 C．

　8. 【答案】

　A 【解析】∵BD⊥CD，BD=4，CD=3， ∴BC=2 2 2 2= 4 3 BD CD  =5， ∵E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点， ∴EH=FG=12BC，EF=GH=12AD， ∴四边形 EFGH 的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC， 又∵AD=7， ∴四边形 EFGH 的周长=7+5=12．故选 A．

　二、填空题 9. 【答案】

　答案不唯一，如 AD∥BC 或 AB=CD 或∠A+∠B=180°等

　 10. 【答案】

　20

　11. 【答案】

　5 【解析】∵多边形的内角和与外角和的总和为 900°，多边形的外角和是 360°， ∴多边形的内角和是 900﹣360=540°，

　∴多边形的边数是：540°÷180°+2=3+2=5． 故答案为：5．

　12. 【答案】

　8 【解析】由正多边形的每一个外角都是 45°，其外角和为 360°，可得这个正多边形的边数是 360°45° ＝8. 【一题多解】因为正多边形的每一个外角都是 45°，所以这个正多边形的每一个内角都是 180°－45°＝135°，设正多边形的边数为 n，则(n－2)×180°＝135°×n，解得 n＝8. 方法指导 设正多边形的边数为 n，正多边形的外角和为 360°，内角和为(n－2)×180°，每个内角的度数为 180°×（n－2）n.

　 13. 【答案】

　16 【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC．∵OE∥AB，∴OE 是△ACD 的中位线．∴AE＝12AD，OE＝12CD．∵OA＝1，△AOE 的周长等于 5，∴AE＋OE＝4．∴AD＋CD＝8．∴平行四边形 ABCD 的周长＝16．故答案为 16．

　 14. 【答案】

　16 【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=2,AD=BC,AD∥BC，AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°, ∠AEB=∠EBC，∠DEC=∠ECB.又∵BE、CE 分别是∠ABC 与∠DCB 的平分线，∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∴∠EBC+∠BCE=90°，∠ABE=∠AEB，∠DCE=∠DEC，∴AB=AE=2,DC=DE=2,2 2 2 24 16. BC BE CE    

　 15. 【答案】

　120 [解析] 由题意得 360°÷36°＝10， 则他第一次回到出发地点 A 时，一共走了 12×10＝120(米)．故答案为 120.

　 16. 【答案】32 【解析】先证明 DE 为 ABC 的中位线，得到四边形 BCFE 为平行四边形，求出BC=EF=3，根据中位线定理即可求解． ∵D、E 分别是 V ABC 的边 AB、AC 的中点， ∴DE 为 V ABC 的中位线， ∴DE∥BC，12DE BC  ，

　∵ // CF BE ， ∴四边形 BCFE 为平行四边形， ∴BC=EF=3， ∴1 32 2DE BC   ． 故答案为：32

　三、解答题 17. 【答案】

　解：∵□ABCD，∴∠AD＝∠BC，∴∠C＝∠DAO． ∵点O为CD的中点，∴DO＝∠CO．又∵∠AOD=∠EOC，∴△AOD≌△EOC．∴AD＝CE．

　18. 【答案】

　证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， 解图 ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠1＝∠2， 又∵BF＝DE，(1 分) ∴BF＋BD＝DE＋BD， 即 DF＝BE.(2 分) ∴△ADF≌△CBE(SAS)．(3 分) ∴∠AFD＝∠CEB， ∴AF∥CE.(5 分)

　 19. 【答案】

　解：∵DE＝DC，∴∠C＝∠DEC．∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC， ∴AB∥DE．∵AD∥BC，∴四边形 ABED 为平行四边形，∴AD＝BE． 20. 【答案】

　此题解法很多，仅供两种解法参考． 方法一：连结 DE 、 DH ．（如图 1）

　∵四边形 BHCF 为平行四边形 ∴ CH BF AF   且 CH AF ∥

　由中位线可得12DE AB AF  

　∴ CH DE 

　∴四边形 DECH 为平行四边形 ∴ DH CE ∥ 且 DH CE AE  

　∴四边形 DHEA 为平行四边形 ∴ AD EH ∥

　图1HF EDC BA 方法二：连结 DE ．（如图 2）

　通过中位线和平行四边的性质可得 DE HC  ， AB DE HC ∥ ∥

　∴ AED ECH  

　又∵ AE EC 

　显然 ADE EHC   ≌

　∴ DAE HEC  

　∴ AD EH ∥

　AB CDE FH图2

　21. 【答案】

　(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴DE∥FC.(2 分) ∵F 是 BC 的中点， ∴FC＝ 12 BC＝12 AD， ∵DE＝ 12 AD，∴FC＝DE，(4 分) ∴四边形 CEDF 是平行四边形．(5 分) (2) 解图 解：如解图，过点 D 作 DH⊥BC 于点 H. 由(1)知四边形 DECF 是平行四边形， ∴DF＝CE.(6 分) ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∠A＝60°，AB＝3，AD＝4，

　∴BC＝4，CD＝3，∠BCD＝60°，(8 分) 在 Rt△DHC 中，HC＝DC·cos∠HCD＝ 32 ， DH＝DC·sin∠HCD＝ 3 32， ∵F 是 BC 的中点， ∴FC＝2， ∴FH＝FC－HC＝2－ 32 ＝12 ，(10 分) 在 Rt△DFH 中，由勾股定理得 DF＝ DH 2 ＋FH 2 ＝ （ 3 32）

　2 ＋（ 12 ）2 ＝ 7， ∴CE＝ 7.(12 分)

　 22. 【答案】

　解:(1)作 CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，如图.

　设 BE=x，CE=h， 在 Rt△ CEB 中:x 2 +h 2 =9①， 在 Rt△ CEA 中:(5+x) 2 +h 2 =52②， 联立①②解得:x= ，h= ， ∴平行四边形 ABCD 的面积=AB·h=12. (2)证明:作 DF⊥AB，垂足为 F， ∴∠DFA=∠CEB=90°， ∵平行四边形 ABCD， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠DAF=∠CBE， 又∵∠DFA=∠CEB=90°， ∴△ ADF≌△BCE(AAS)， ∴AF=BE= ，BF=5- = ，DF=CE= ，

　在 Rt△ DFB 中，BD 2 =DF 2 +BF 2 =2 + 2 =16， ∴BD=4， ∵BC=3，DC=5， ∴CD 2 =DB 2 +BC 2 ， ∴BD⊥BC.

　 23. 【答案】

　（1）点 C 的坐标为(3，4)，直线 l 的解析式为43y x ． （2）①当 M 在 OC 上，Q 在 AB 上时，502t ＜ ≤． 在 Rt△OPM 中，OP＝t，4tan3OMP  ，所以43PM t ． 在 Rt△AQE 中，AQ＝2t，3cos5QAE  ，所以65AE t ． 于是6 18 85 5PE t t t     ．因此21 2 162 15 3S PE PM t t    ． ②当 M 在 OC 上，Q 在 BC 上时，532t ＜ ≤ ． 因为 2 5 BQ t   ，所以 11 (2 5) 16 3 PF t t t       ． 因此21 3222 3S PF PM t t     ． ③当 M、Q 相遇时，根据 P、Q 的路程和 2 11 5 t t    ，解得163t ． 因此当 M、Q 都在 BC 上，相遇前，1633t ＜ ≤，PM＝4， 16 2 16 3 MQ t t t      ． 所以16 322S MQ PM t     ．

　图 2

　 图 3

　 图 4 （3）①当502t ＜ ≤时，2 22 16 2 160( 20)15 3 15 3S t t t     ． 因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S 随 t 的增大而增大， 所以当52t 时，S 最大，最大值为856． ②当532t ＜ ≤ 时，2 232 8 1282 2( )3 3 9S t t t       ． 因为抛物线开口向下，所以当83t 时，S 最大，最大值为 1289．

　③当1633t ＜ ≤时，16 322S MQ PM t     ． 因为 S 随 t 的增大而减小，所以当 3 t  时，S 最大，最大值为 14． 综上所述，当83t 时，S 最大，最大值为 1289． 考点伸展 第（2）题中，M、Q 从相遇到运动结束，S 关于 t 的函数关系式是怎样的？ 此时 16133 2t ＜ ≤， 2 16 3 16 MQ t t t      ．因此16 322S MQ PM t    ．

　图 5

　 24. 【答案】

　方法一：设 N H M L F E ， ， ， ， ， 分别为 AB BC CD DA AC BD ， ， ， ， ， 的中点，要证明 EF LH ， ， 及 MN 三线共点．因为 LF DC ∥ 且12LF DC  ， 所以 EF DC ∥ 且12EF DC  ， LF EH ∥ 且 LF EH  ， 从而四边形 EHFL 为平行四边形，故 LH 与 EF 互相平分． 设 LH 与 EF 的交点为 O ，则 LH 经过 EF 中点 O （当然也是 LH 中点）．同理， MN 也过 EF 中点 O ．所以， EF ， LH ， MN 三线共点于 O ． 说明：本题证明的关键是平行四边形 EHFL 的获得（它是通过三角形中位线定理来证明的）． 由此可见，在某些四边形的问题中，通过构造平行四边形去解题是一种常用的技巧． 请看下例． 方法二：应用中点公式法 可设  1 1A x y ， ，      2 2 3 3 4 4B x y C x y D x y ， ， ， ， ，

　那么 AC 线段的中点坐标为1 3 1 32 2x x y yF     ， ， BD 线段的中点坐标为2 4 2 42 2x x y yE     ，

　那么 EF 线段的中点坐标为1 2 3 4 1 2 3 42 2x x x x y y y y          ，

　同理可得：

　MN LH ， 的中点坐标也为1 2 3 4 1 2 3 42 2x x x x y y y y          ，

　所以可知：

　EF ， LH ， MN 三线共点于 O