中职数学变式教学探究

　 中职数学变式教学探究

　衢江区职业中专浙江衢州324022

　摘要：数学变式教学是通过变式的方式进行数学技能和思维训练的教

　学，有概念变式、命题变式、习题变式等多种课堂形式，是概念、定理、公式理 解与掌握的一种重要方式。在教学中，教师运用一题多解、一题多变等方式，引 导学生自主学习，串联相关知识，变重复性学习为创造性学习，锻炼学生的解题 思维，培养学生的问题意识，有利于学生良好思维品质和创新能力的形成。

　关键词：中职数学变式教学自主学习创新思维

　数学“变式教学”是通过转换问题的条件或结论，变更问题的形式或内 容，不断改变数学概念的非木质特征，对概念、定理、命题等进行各种情形的变 化，进行数学技能和思维的训练，展现各知识点间的内在联系，充分体现数学问 题的木质属性。

　中职生数学基础薄弱，学习水平较低，思维方式和认知模式单一，数学 学习注意力分散，效率低下。利用变式教学可以让学生由浅入深地学习数学，通 过学牛.的自主探究和教师的适当引导，数学问题被循序渐进地逐个击破，能降低 学习数学的难度，使学生在整个学习过程中体验成功，增强自信心。

　一、数学概念的变式

　数学概念是抽象的，每个概念都有一个明晰的边界，会随着学生认知水 平的发展而逐步深化，将概念的外延作为变化范围，通过比较不同变式，归纳出 它们的井同特征，深入揭示概念的内涵，有利于学生对概念木质属性的理解。

　例如，二面角的概念，是“从一条直线出发的两个半平面所组成的图形”。

　这里的“半平面”学生觉得抽象难懂，且属于立体图形。此时，教师若通过在黑 板上画平面直观图进行教学，会造成视觉上的失真，学生较难理解。我们以书为 例，将书翻开，或以教室的门为例，将门打开，就是两个显而易见的“半平面” 形象。这样将数学概念与实际生活相联系，用现实直观的东两变抽象为具体，来

　帮助学生理解概念的内涵，能收到事半功倍的效果。

　又如，讲解抛物线的概念时，首先通过展示实际生活中奋关抛物线的图

　片，让学生从感性上认识抛物线，通过冋顾点的轨迹：当0<e<l时是椭圆， 当e>l吋是双曲线，引导学生作图分析，合理猜想当e=l吋的图形。其次， 指导学生合作学4,自己动手画抛物线，体验画抛物线的过程，并以此了解抛物 线上点的特征。最后，教师用几何画板动态演示曲线的形成过程，不断引导学生 理解“到定点和定直线距离相等”的含义。这样，通过实验探索规律，引导归纳 总结出抛物线的概念，有利于学生对数学概念的本质的认识并激发学热情。

　二、数学命题的变式

　数学定理、公理、公式和法则等，都是数学命题的变式。教学吋，通过 对条件与结论的拓展，以及改变定理、法则的外部形式，从不冋角度揭示问题本 质，有利于帮助学生深层次理解和灵活运用数学命题。

　例如，不等式的基本性质中，三条推论就是三条性质的变式。

　基本性质：（传递性）如果3〉1）山〉（:,则3〉<:;（加法法则）如果a〉b, 则 a+c>b+c；（乘法法则）如果 a〉b,c〉O,j ac〉bc;如果 a〉b,c<0,则 ac<bc。

　变式一：（推论1）如果a+b〉c,则a〉c-b （加法法则的变式）。

　变式二：（推论2）如果a〉b,c〉d,则a+c〉b+d （加法法则和传递性的变式）。

　变式三:（推论3）如果a〉b〉O,c〉d〉O，则ac〉bd （乘法法则和传递 性的变式）。

　又如，平面的基本性质中冇这样一条公理：经过不在同一条直线上的三 点，有且只有一个平面，它的三条推论其实就是公理的三种变式。教材中定理或 公式的变式例子很多，这里不一一列举。

　再如，用数字1,2,3,4,5,67七个数字，若各位数字不允许重复，能组成 多少个三位数？

　变式一：用数字1,2,3,4,5,6,7七个数字，若各位数字允许重复，能组成

　多少个三位数?

　变式二：用数字0,1,2,3,4,5,6七个数字，若各位数字不允许重复，能组 成多少个三位数？

　变式三：用数字04,2,3,4,5,6七个数字，若各位数字允许重复，能组成 多少个三位数？三位奇数？三位偶数？

　变式一是各位数字不允许重复和允许重复的区别，变式二是数字0不能 作首位的区别，变式三还增加了奇数和偶数的判别，通过?一系列问题的变式练:>J, 理清各位数字之间的数量关系，揭示问题本质，奋利于提高学生分析问题、解决 问题的能力。

　三、数学习题的变式

　一题多解

　在中职数学教学中，教师要善于引导学生分析题B的条件，用不冋的方 法和思维方式去思考问题，探索不同类型的解题思路，通过一题多解，培养学生 思维的发散性和创造性。

　例如，己知0<x<2，求x(2-x)的最大值。

　解法一:(配方法) x(2-x)=-x2+2x=-(x2-2x)=-(x2-2x+l-l)=-(x-1 )2+l&ge;l， &there4;当x=l时，x(2-x)的最大值是1。

　解法二：(二次函数)设y=x(x-2)=-x2+2x，抛物线开U向下，顶点坐标 (1,1)，&there4;当x=l时,有最大值1，即当x=l时，x(x-2)的最大值是1。

　解法三:(均值定理)因为0<x<2,所以x〉0, 2-x〉0,所以x(x-2)&le;

　(

　)2=1，当II仅当x=2-x,即x=l吋，等号成立。所以当x=l时，x(x-2)的最大值

　是1。

　解法一首先二次项系数化为1，再配上一次项系数-半的平方，利用完 全平方数的非负性确定取值范围，配方法是常用的解题方法。解法二转化为二次 函数问题，利用数形结合思想通过二次函数顶点坐标公式求值。解法三运用均值 定理，是不等式的一条重要性质，求两个正数的最值问题经常用到。以上三种解 法注重知识之间的衔接和联系，开拓了学生的解题思路和思维空间。

　又如，求双曲线=1

　又如，求双曲线

　=1被点P(2,l)平分的弦AB所在的直线方程。

　解法一：(弦长公式法)

　当该直线斜率不存在吋，直线方程为x=2,该直线与抛物线无交点，舍去。

　设所求直线的斜率为k,则根据点斜式可得直线方程y-l=k(x-2>。联立可得

　，消去 y 可得,(4-9k2)x2+18k(2k-l)x-9(2k-l)2-36=0,由中点横坐标可得： =

　=2,解得k=,所以直线 方程为：8x-9y-7=0o

　解法二：(点差法)设直线与双曲线的两个交点坐标为(xl,yl)和(x2,y2>, 将两点坐标代入双曲线方程可得：

　，两式作差可得 即

　=0o

　由中点坐标公式可得，xl+x2=4，yl+y2=2代入上式可得 =，即k=,可得直线方程为：8x-9y-7=0?

　解法三：设直线与双曲线的一个交点坐标为(xl,yl),则另一个交点坐标 为(4-xl,2-yl)，将两点坐标代入双曲线方程，可得

　,将两式作差可得，8xl-9yl-7=0,显然点(xl,yl)在直线上， 将另一

　交点坐标代入，发现也满足方程8x-9y-7=0,所以直线方程为：8x-9y-7=0o

　解法一是解决直线与圆锥曲线相交问题中常用的方法，学生容易想到， 但计算量较大。解法二是专门针对中点弦问题的一 ?种解法，分析元素之间的关系， 运用整体思想解决问题。解法三是学生在自主学4中得到的解法，比点差法更简 单快捷。

　由此可见，教学中，通过变式，给学生适当的思维吋空，不仅能培养学 生独立思考的惯，而II对锻炼学生的思维品质，提高思维能力，具冇积极的作

　用。

　—题多变

　“一题多变”是通过题目的引申、变化、发散，揭示问题的本质，暴露 问题的逻辑关系，发展学生的辩证思维能力，培养学生的创造性思维品质。

　例如，求数列(1+2+3+…+n) ( + + ++ )的和。

　变式?一：求数列1+

　变式?一：求数列1+ , 2+ ，3+

　,n+各项的和

　变式二：已知数列的通项为an=ru ，求数列｛an｝的前n项和。

　变式三：已知al= , an+l= an+ n+1求数列｛an｝的前n项和。

　变式一直接给出数列，可以把该数列分解成等差数列和等比数列求和， 学生容易求解。变式二给出的是数列的通项形式，直观性减弱，难度增加。变式 三属于拓展类型，给出的等式需要变形才能得出需要的通项公式，对学生的综合 运用能力要求较高。

　通过这种地起点、缓坡度的变式教学，给学生的思维搭建了拓展的梯子， 切合中职生的认知规律，学生容易获得成果体验，有利于培养数学学习的兴趣。

　四、几点思考

　要想顺利开展变式教学，并达到预期的效果，就需遵循一定的准则，在 实际教学中要注意以下几点。

　变式教学S标要准确

　教学目标直接决定了哪些是知识内容的本质特征，哪些是非本质特征， 哪些可变，哪些不可变。要达到教学0标，教师要了解学生学情，仔细钻研教材， 设计出具体可行的教学过程，紧紧围绕教学0标，不断以“为何要变，为何如此 变，如何变更好”为导向，而不能脱离教学3标，为变而变，要克服变式教学的 随意性。

　例如，新授课的例题、＞」题或概念变式只需达到本节课的教学0标即可， 而4题课的变式除了围绕整个章节内容开展外，还需适当渗透数学思想方法，复 课的4题变式相对要求更高，除了渗透数学思想方法外，还要进行纵向和横向

　的联系。

　变式教学要循序渐进

　学生的认知是一个由低到高、不断变化的过程，教师在变式教学中要循 序渐进，从易到难，逐步深入。如果变式过多，又不注重由浅入深，容易导致学 生的思维疲劳，对知识不能深刻理解，要使学生顺利接受新知识，变式的难度要 以学生现有的认知水平为基础。

　例如，初级认识阶段，习题变化难度不易过高，通过一些习题的简单变 式，使学生牢固掌握基础知识，否则会影响学生探究问题的兴趣，进入知识升华 阶段，在前一阶段的基础上，通过多种形式的变式训练，使学生的解题水平上升 到一定高度，能触类旁通，举一反三，培养学生灵活运用知识的能力。

　变式教学要有启发性

　数学教学是思维活动的教学，改善学生的思维品质是变式教学的S标, 学生思维的积极性和主动性依赖于教师的循循善诱，不断启发。教师应精心设计 问题情境，引导学生逐步发现、分析，最终去解决问题，通过合理设置思维障碍， 激发学生的好奇心，唤起学生的求知欲，使学生主动参与学习和探宄。

　教师通过示范，教会学生一些构造变式的常用方法。例如，通过改变原问题条件 的描述方式来构造变式，通过对原问题的类比或对比来构造变式，通过对原问题 的深层次发问来构造变式，甚至可以将原问题改造成开放题来构造变式，根据学 生的能力水平，循循善诱。

　变式教学要有创新性

　教学过程是学生思维活动的过程，只有当学生具有良好的学动机，认 知和情感都融入到教学活动中，实现自主学习吋，才能取得最优的学习效果。变 式教学必须由学生自主参与才能达到预期0标，而要使学生自主参与，需要养成 勇于探索、勤于思考、敢于创新的学习习惯。这就要求教师必须为学生创设自主 探索、开拓创新的激励氛围，给予学生可以开垦思维的土壤，尽量挖掘好点子、 好创意，开展丰富有趣的变式。

　例如，教师要指导学生自创变式，训练学生思维的深度、广度，对提出 有价值的变式问题的学生，要及吋给予表扬，让学生感受成功感的向吋，激励其 他学生积极参与，开动脑筋，发表不同意见，不断活跃学生的创造性思维和创新 意识。

　总之，教师运用丰富多彩的变式教学，可以创设生动活泼、富冇启发性 的情境，为学生搭建探究的时空，发挥学生的想象力和创造力。针对中职数学教 学实际，要求教师必须对变式教学的认识更加深刻，不断探索、不断完善，使变 式教学更好地为中职数学课堂服务，更进一步提高教学质量。

　参考文献

　［1】章建跃数学学习论与学习指导［M］.北京：人民教育出版社，2001。

　［2】聂必凯数学变式教学的探索性研究［D］.上海：华东师范大学，2004。

　［3】鲍建生等变式教学研究［」］.数学教学，2003,第1期，11-12。

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　［5］舒美爱中职数学变式教学的启示［」］.科技与生活，2010,第8期，173-173。