垂经定量课题

　课题：24.1.2 垂直于弦的直径 一、教学目标

　1.知识与技能的知识目标：通过画图和观察，发现圆是轴对称图形和垂径定理及它的推论了解垂径定理和它的推论的证明方法， 2.过程与方法的能力目标：会运用垂径定理和它的推论来解决实际的问题. 3.情感态度与价值观目标：培养合情推理能力，发展空间观念.综合运用知识解决问题的能力 二、教学重点和难点

　1.重点：垂径定理和它的推论理解和运用. 2.难点：垂径定理的运用和它的推论理解和运用. 三、教学过程

　（一）基本训练，巩固旧知

　你还记得吗? 1、弦、弧、优弧劣弧等概念，你从图中能否找出。

　2、直径、半径、半圆呢？ （二）问题的情境

　饼子的半径是多少？

　 你能帮我求出该饼子半径吗？ （三）

　尝试指导，讲授新课

　活动一：实践探究

　师：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 生：.................. 可以发现：

　圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

　活动二：实践探究

　师：学生们手中的圆上自己去画一条弦 AB，再画直径 CD, 使 CD⊥AB,垂足为 M. 师：（指准图）线段 AB 是⊙O 的一条弦，CD 是垂直于 AB 的直径，现在请大家观察这个图，考虑这样两个问题：直径CD 与弦 AB 有什么关系？直径 CD 与 AB 又有什么关系？ .CDOBA.CDOBAM

　生：……（多让几名同学发表看法）

　师：（指准图）直径 CD 与弦 AB 有什么关系？（稍停）直径 CD 平分 AB，（垂足标上字母 M）也就是说，AM=BM（边讲边板书：AM=BM）. 师：（指准图）直径 CD 与 AB 有什么关系？（稍停）直径 CD 平分 AB ，也就是说，AD = BD （边讲边板书：

　AD = BD ）. 师：（指准图）好了，通过上面的观察和讨论，我们发现了这样一个事实，如果CD 是垂直于弦 AB 的直径，那么 CD 平分弦 AB，CD 平分 AB .哪位同学不带 AB不带 CD 能用语言来概括这个事实？（让生思考一会儿再叫学生）

　生：……（鼓励学生用自己的语言概括）

　师：刚才我们发现的事实，用语言可以这样概括，（指准图）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.

　（师出示板书：

　垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧 ）

　师：（指板书）刚才我们是通过观察发现了这个结论，通过观察发现的结论不一定可靠，所以为了保证结论的可靠性，我们还需要做什么？ 生：（齐答）证明. 师：（指准图）已知在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB，首先我们来证明 AM=BM.怎么证？连结 OA，OB（边讲边用虚线连结），OA 与 OB 都是半径，所以 OA=OB，而 OM 是公共边，所以直角△OMA≌直角△OMB，所以 AM=BM. 师：（指准图）证明了 AM=BM，接着再证明 AD = BD . 师：（指准图）要证明 AD = BD ，就是要证明 AD 与 BD 能够互相重合，怎么证明 AD与 BD 能够重合？（稍停）大家看出来没有？这个图形是一个轴对称图形，把圆沿着直径 CD 折叠，CD 两侧的两个半圆能够重合，点 A 与点 B 能够重合， AD与 BD 能够重合，所以 AD = BD . 师：（指板书）我们口头证明了这个结论，这个结论也就成了定理.这个定理有一个专门的名字，叫什么？叫垂径定理（板书：垂径定理）. 师：下面大家对照这个图把垂径定理默读几遍.（生默读）

　几何语言表达为：

　（ 四 ）

　试探练习，回授调节

　1.填空：如图，AB 是⊙O 的直径，AB⊥CD， 则 CE=

　， CA =

　.

　2.填空：如图，OC⊥AB 于点 C，AC=3， 则 BC=

　，AB=

　. 例1． 如图，在⊙ O 中，弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3cm，求：⊙ O 的半径． ABCO.EOABCD.③ ③AM=BM,

　由 ① CD是直径

　② CD⊥AB 可推得 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤ ⑤AD=BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④ ④AC=BC,

　.CDOB A② ②CD ⊥AB, 由 由

　① CD 是直径 ③ ③ AM=BM

　⌒ ⌒ ⌒④ ④AC=BC, ⌒⌒⑤ ⑤AD=BD. 可推得

　（ 五 ）

　尝试指导，讲授新课

　小组讨论题：

　师：已知：如图，AM=MB，CD 是⊙O 的直径 问：（1）CD⊥AB 吗？ （2）

　AC 与 BC，AD 与 BD 分别相等吗？ （3）请说一说出你的理由 给学生多问证明过程后总结 垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直

　于弦，并且平分弦所对的两条弧．

　 ）

　（六）

　：

　实际应用：

　解决求饼子半径的问题

　如图，用弧 弧 B AB 表示剩下饼子的弧，设弧 弧 B AB 所在圆的圆心为 O O ，半径为 R R ．经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC ， D D 为垂足， OC 与 AB 相交于点 D D ，根据前面的结论，D 是 AB 的中点， C C 是弧 弧 B AB 的中点 。

　（ 七 ）你 与你的家长合作 能解决更多的实际问题 （挖掘潜力）

　某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为 AB=7.2m ，过 O 作

　 解得：R=10 （cm ）

　在 在Rt △OAD 中，由勾股定理，得 即 即

　 R 2 =8 2 + （R －4）

　）

　2 ∴济公桥的主桥拱半径为10cm. OA 2 =AD 2 +OD 2 解：∴ ∴ AD=0.5AB=8 （cm ）

　O A B E 解：

　OE AB 2 2 2AO OE AE  2 2 2 2= 3 +4 =5cm AO OE AE  答：⊙O的半径为5cm. 1 18 42 2AE AB     在Rt △ AOE 中

　 M

　OC ⊥ AB 于 D， 交圆弧于 C，CD=2.4m，

　现有一艘宽 3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m 的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？ （ 八 ）归纳小结，布置作业

　1、小结：你来说一说本节课我们学了什么？ 2、作业：（作业：教材 95 页习题 24.1 第 7、8 题）

　四、板书设计

　 24.1.2 垂直于弦的直径

　 图 一、圆是轴对称图形 .. ......

　三、 垂径定理推论：...........

　二、垂径定理：........

　 解决实际问题的题

　 例