函数优质课教学设计一等奖及点评

　北京师范大学出版社义务教育教科书数学八年级上册第四章

　4．1函数 设计说明

　一、内容与内容解析

　1．内容

　学习函数相关概念，能利用函数定义判断两个变量之间的关系是不是函数关系．

　2．内容解析

　纵览北师大版初中数学教材，学生在七年级上册学习了“用字母表示数”、七年级下册学习了“变量之间的关系”，在一定程度上体会到了现实世界中存在着变量，变量与变量之间存在着联系，积累了研究变量数学的活动经验．本节课是八年级上第四章“一次函数”的第一节，其探究的主要内容是初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可以看成函数关系．本节课基于已学知识，正式介绍了函数的定义，为后期学习一次函数、反比例函数、二次函数做好理论准备，因此可以说本节课在教学内容上起着承上启下的作用．

　二、目标与目标解析

　1．目标

　（1）回顾“变量之间的关系”相关知识，梳理观察“谁随着谁的变化而变化” 的一般视角，感受变量之间的依存关系；

　（2）初步理解函数的概念，能判断两个变量间是不是函数关系；

　（3）经历从具体实例中抽象出函数概念的过程，进一步感悟抽象的数学思想，积累抽象概括的活动经验，从而提升数学抽象的核心素养；

　（4）感知函数是刻画变量间关系的常用模型，初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识．

　2．目标解析

　在七年级下册“变量之间的关系”一章的基础上，继续通过实例中变量关系的考查，明确“给定其中某个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值”这一共同特征，从而归纳出函数概念．因此本节课最重要的任务就是完成函数这一新概念的建构．

　多样的函数原型，不同的变量关系呈现方式，全都驱动着学生去尝试抽象函数概念，抓牢函数概念本质属性——蕴含于变量之间的依存关系，同时也深刻地感受到函数应用的广泛性和函数学习的必要性．本节课的学习在一定程度上积累学生研究变量数学的活动经验，学生在本节课中进一步感受到用数学的眼光观察世界，用数学的语言表达世界．

　三、教学问题诊断分析

　本节课是建立在学生已经学习了“用字母表示数”，“变量之间的关系”基础上的，所以学生对生活中变量和变量之间的关系的存在是了解的，但要从函数大量原型实例中抽象出函数概念，需要学生关注“谁随着谁的变化而变化”，以及“给定其中某个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值”这一共同特征．换言之，给一个x的值，只能确定一个y的值，这一核心特征，对于学生的分析归纳、数学抽象等综合能力有较高的要求，教师需要在起初的原型研究过程中适当加以引导．基于此，我认为抽象函数概念是本节课的难点，只要突破这一难点，后面判断多种呈现方式中变量间关系是否为函数关系就水到曲成．

　四、教学支持条件分析

　1．函数原型实例方面，为了提供不同的变量关系呈现方式，我从学生感兴趣的游乐园项目的探究出发，通过情境视频，调动学生探索其中包含的共性的欲望．

　2．利用视频短片对函数发展历史做简要介绍，可以在课堂中丰富学生对数学史料的了解．

　3．板书设计方面，重点展示三个实例的探索结论，便于学生归纳函数概念共性；同时，白板左侧重点保留函数概念，和学生一道圈点归纳，有利于加深学生对概念的理解．

　五、教学过程设计

　根据教学问题诊断分析，我制定了5个环节：

　1．复习引入

　2．探究新知

　3．自主归纳

　4．典例剖析

　5．课堂小结

　具体内容如下：

　1．课题引入

　上学期，我们认识了变量，初步体会了变量之间的关系．小车下滑时间随支撑物高度的变化而变化；三角形面积y随底边x变化而变化；温度随时间的变化而变化．我们将数值发生变化的量叫做变量，支撑物高度、底边长、时间是自变量，相应的下滑时间、三角形面积、温度是因变量．

　【设计意图】先温故后知新，复习引入既回顾了相关概念，又将学生研究思路直接引到变量之间关系上来，可谓开门见山．

　2．探究新知

　生活无处不变化，今天继续研究变量关系，一起走进游乐园看看吧．你喜欢哪一个游乐项目？

　活动一

　实例1：激流勇进刺激我们的是俯冲过程不断加快的速度．下表呈现了小船俯冲过程中速度与时间的关系：

　时间t(s)

　0

　1

　2

　3

　4

　5

　速度v（m/s）

　1

　5

　9

　13

　17

　21

　问题串1：

　观察表格，我们可以发现，t从0变到5，v从1变到21，在这一变化过程中：

　①有几个变量？分别是？

　②谁随着谁的变化而变化？时间t是？速度v是？

　③这两个变量之间的关系是用什么方法呈现的？

　④给定一个时间的值，我们可以读出几个对应的速度的值？

　【设计意图】从表格直接入手，学生可直接看出时间和速度的变化情况，与其他实例比较，易于上手．同时这一实例的研究，提供了驱动学生思考的问题串，为随后的研究指明了途径．

　实例2：卡丁车刹车前速度为v（km/h），刹车之后的滑行距离为s(m)，对于某种卡丁车而言，s和v之间满足关系:．算一算，当分别取30km/h,40km/h,50km/h,60km/h时，相应的s是多少？

　问题串2：

　通过计算，我们能感受到谁随着谁的变化而变化？ （结论填写表格）给定一个速度v的值，可以算出几个对应的s的值？

　【设计意图】化用教材习题，用关系式展示了变量间关系，先做再说．让学生先代值运算，感受到两个变量的变化情况，这样学生更易确定到给一个速度的值只能算出一个滑行距离的值，为后面归纳共性做好铺垫．

　实例3：教材75页图4-1反映了摩天轮上一点的高度h（m）与旋转时间t（min）之间的关系，请根据图象填表，分别填的什么？

　问题串3：

　t=2时，如何确定h=36？若t=7，如何找h的值？当h=14时，t为多少？

　通过作图，可以发现给定一个t的值，我们可以找到几个对应的h的值？反之，给一个h的值，相应的t的值唯一吗？

　我们主要研究h随t的变化而变化的情况，将研究结果整理一下．

　【设计意图】充分挖掘教材引例摩天轮问题的功用，体会给一个t的值，只能从图中找到一个h的值与之对应，反过来，给一个h的值，不能唯一确定t的值，从正反两个方面辨析特性，得出h随t的变化而变化，确定而确定．

　变量个数

　自变量

　因变量

　表示方法

　激流勇进

　2

　时间t

　速度v

　列表法

　卡丁车

　2

　速度v

　距离s

　关系式法

　摩天轮

　2

　时间t

　高度h

　图象法

　本环节总体设计意图：研究学生熟悉的游乐项目蕴含的变量之间的关系，利用三个实例和不同的表示方法展示了函数原型，借助每个实例情境研究并形成结论，及时填表归纳，呈现了阶段性研究结果，为后面的自主归纳环节提供铺垫．

　3．自主归纳

　活动二

　通过对三个游乐项目的探究我们得到了这些结论，其中蕴含了哪些共同特征呢？

　【设计意图】问题抛给学生，让他们先自主探究共性，抽象函数概念是本节课的难点，让学生在探究实例后再回顾过程和形成的结论，归纳共性就变得相对轻松一些，同时学生的语言可以反馈他们对函数概念最初的理解层次，以肯定和鼓励为主，引导学生发现问题，分析问题，并用数学的语言表达问题，我认为不断培养自主归纳的习惯，学生对抽象的问题理解力会不断提升．

　活动三

　阅读教材，理解函数概念，师生协作归纳要点．

　【设计意图】在自主归纳基础上，理解教材给出的函数概念，对概念文本的理解可以借助勾画重点词句等方法，提醒学生注意细节便于对概念的准确掌握．

　活动四

　视频短片展示．

　【设计意图】视频短片介绍函数研究、翻译等历程，并用寄送信函作比，以辅助加深学生对概念的理解．

　本环节总体设计意图：函数概念生成是本节课的难点，本节课突破难点的前提是学生有足够的研究变量间关系的经验，以此为基础，通过自主总结归纳的形式，形成自我对概念的认识．同时，阅读教材定义，理解核心词句，方能抓住本质特征．这一环节承上启下，至关重要．

　4．典例剖析

　请大家先独立完成课堂练习，后在组内比对答案，讨论结果，同时小组代表填写成果报表，准备展示．

　活动五

　（1）下列各图能表示y是x的函数的有____________．

　① ② ③ ④

　【设计意图】先给出图，后给式，初次运用概念解决问题，图形相对直观，学生可将“数形结合”，准确得出判断．

　（2）下列关系式中，不能表示y是x的函数的是____________．

　追问：中，x是y的函数吗？与能表示y是x的函数吗？

　【设计意图】原题考察利用定义判断，个别学生会在选项C上面纠结，但仔细分析后可以发现还是回到定义解决问题．学生能举出反例判断选项D．通过追问，让学生考虑问题淡化形式，注重实质，紧扣定义．

　（3）下列各题中分别有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？若能，请指出自变量的取值范围．

　①

　②在国内投寄到外埠质量为100g以内的普通信函应付邮资如下表：

　信件质量m/g

　邮资y/元

　1．20

　2．40

　3．60

　4．80

　6．00

　【设计意图】运用教材习题，再现实际情景，体会函数运用的广泛性，同时注意到自变量取值范围，以及第②问中隐含的“多对一”情况的理解，若学生困惑，还是回归定义解决．

　活动六

　小组比对结果，合作探究．

　【设计意图】基于独立完成练习前提下，学生以小组为单位，比对自己完成的结果，互相交流碰撞切磋，加深对函数的定义的认识．同时生生互动、师生互动便于调动全体学生对练习环节的积极性，让学生有参与感，有获得感！

　活动七

　回顾前面的探索过程，可以发现共同特征是三组变量关系都是函数关系，不同点是什么？

　【设计意图】我们以研究共同特征生成概念为主，以研究函数表示方式为辅，不同点放在本节课后半段．

　5．课堂小结

　大家学到了函数的哪些知识？

　【设计意图】引导学生对自身学习行为的反思，启发学生从知识、技能、方法、情感等方面自主小结，期盼学生逐步养成整理知识、提炼思想方法的习惯，不断提高运用数学语言的素养，日益增强数学总结、反思、质疑的意识．

　六、目标检测设计

　1．阅读任务P81读一读 中国古代漏刻；

　2．笔头任务P77—78习题4．1 第1题、第2题、第4题．

　【设计意图】阅读任务体现了数学文化，内容展示了我国古代劳动智慧，同时时间计量运用了正比例函数相关知识，学生阅读可以起到一定的预习作用；教材笔头作业很好的考查了本节课所学知识的掌握情况．

　以上是我的教学设计，恳请各位专家评委批评、指正，谢谢！

　《4.1函数》点评稿

　程老师执教的《函数》是一章的起始课，也是一节概念课。主要有以下特点：

　一、目标清晰合理，过程推进自然

　重难点是对概念的理解，合理把握目标要求，重心始终落脚于函数概念建构过程，对实例探究后，注重启发学生用数学语言提炼和表达蕴含的共性；学习过程由复习“变量之间的关系”开始，到运用变量知识探究新实例，再到抽象概念，辨析、巩固概念，全程推进自然。

　二、注重前后联系，活用教学素材

　对函数的学习遵循螺旋上升的原则，注重了知识和方法的前后联系，从“变量”研究到“函数”研究，学生一直在利用变化的视角研究变量数学；除灵活运用教材素材外，还抓住学生心理特征，创设情境，让学生感受到了函数运用的广泛性。课堂介绍函数研究历史，课后布置阅读材料，丰富了教学素材，让我们得到了数学文化的浸润。

　三、彰显主体地位，体现四基要求

　组织有序，参与积极，互动频繁，学生主体地位充分彰显；注重基础知识和基本技能获得的同时，尤其注重数学思想方法的渗透及数学活动经验的积累。学生通过想、说、悟等过程积累了概念学习的经验，用函数的眼光去观察现实世界，能体会到函数这一模型学习的必要性。