ok,精品解析：18届,全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷）（解析版）

绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：
·如果事件 A，B 互斥，那么 P(A∪B)=P(A)+P(B)． ·棱柱的体积公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高． ·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高. 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合，，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：， 结合交集的定义可知：. 本题选择C选项. 点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力. 2.【2018年天津卷文】设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为 A. 6 B. 19 C. 21 D. 45 【答案】C 【解析】 分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可. 详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项. 点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；
当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大. 3.设，则“”是“” 的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可. 详解：求解不等式可得， 求解绝对值不等式可得或， 据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件. 本题选择A选项. 点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下：
首先初始化数据：， ，结果为整数，执行，，此时不满足；

，结果不为整数，执行，此时不满足；

，结果为整数，执行，，此时满足；

跳出循环，输出. 本题选择B选项. 点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 5.已知，则的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系. 详解：由题意可知：，即，，即， ，即，综上可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 6.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间 上单调递增 B. 在区间 上单调递减 C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减 【答案】A 【解析】 分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可. 详解：由函数图象平移变换的性质可知：
将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：
. 则函数的单调递增区间满足：， 即， 令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；

函数单调递减区间满足：， 即， 令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误；

本题选择A选项. 点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7.已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后利用离心率求解a的值即可确定双曲线方程. 详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则， 由可得：， 不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为， 据此可得：，， 则，则， 双曲线的离心率：， 据此可得：，则双曲线方程为. 本题选择A选项. 点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可. 8.在如图的平面图形中，已知,则的值为 A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：如图所示，连结MN， 由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点， 则， 由题意可知：
，， 结合数量积的运算法则可得：
. 本题选择C选项. 点睛：求两个向量数量积有三种方法：利用定义；
利用向量的坐标运算；
利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 第Ⅱ卷 注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2．本卷共12小题，共110分。

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.i是虚数单位，复数___________. 【答案】4–i 【解析】 分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由复数的运算法则得：. 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10.已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________． 【答案】e 【解析】 【分析】 首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由函数的解析式可得：， 则， 即的值为e，故答案为. 点睛：本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11.如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意分别求得底面积和高，然后求解其体积即可. 【详解】 如图所示，连结，交于点，很明显平面， 则是四棱锥的高，且， ， 结合四棱锥体积公式可得其体积为 ， 故答案为. 点睛：本题主要考查棱锥体积的计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12.在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 【答案】 【解析】 分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可. 详解：设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：
，解得：，则圆的方程为. 点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任意弦的中垂线上；
③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． (2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 13.已知，且，则的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】由可知， 且：，因为对于任意x，恒成立， 结合均值不等式的结论可得：. 当且仅当，即时等号成立. 综上可得的最小值为. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；
二定——积或和为定值；
三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 14.已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果. 【详解】分类讨论：①当时，即：， 整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知：
当时，，则；

②当时，即：，整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知：
当或时，，则；

综合①②可得的取值范围是，故答案为. 点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；
②对称轴位置；
③判别式；
④端点函数值符号四个方面分析． 三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． 【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）
【解析】 【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种． （ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=． 详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种． （ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种． 所以，事件M发生的概率为P（M）=． 点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力． 16.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求角B大小；

（2）设a=2，c=3，求b和的值. 【答案】(Ⅰ)；
(Ⅱ)，. 【解析】 分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=． （Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得 详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得， 又由，得， 即，可得． 又因为，可得B=． （Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=， 有，故b=． 由，可得．因为a<c，故． 因此， 所以， 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 17.如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°． （Ⅰ）求证：AD⊥BC；

（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值． 【答案】(Ⅰ)证明见解析；
(Ⅱ)；
(Ⅲ)． 【解析】 分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC． （Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．由几何关系可知∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．计算可得．则异面直线BC与MD所成角的余弦值为． （Ⅲ）连接CM．由题意可知CM⊥平面ABD．则∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．计算可得．即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为． 详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC． （Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角． 在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC． 在Rt△DAN中，AN=1，故DN=． 在等腰三角形DMN中，MN=1，可得． 所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为． （Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角． 在Rt△CAD中，CD==4． 在Rt△CMD中，． 所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为． 点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力． 18.设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；
{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （Ⅰ）求Sn和Tn；

（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值． 【答案】(Ⅰ)，；
(Ⅱ)4. 【解析】 【分析】 （I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合题意可得等差数列的首项和公差为，则其前n项和. （II）由（I），知 据此可得 解得（舍），或.则n的值为4. 【详解】（I）设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得． 因为，可得，故．所以，． 设等差数列的公差为．由，可得． 由，可得从而，故，所以，． （II）由（I），有 由, 可得， 整理得解得（舍），或．所以n的值为4． 点睛：本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力. 19.设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，． （1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值． 【答案】（1）；
(2)． 【解析】 分析：（I）由题意结合几何关系可求得.则椭圆的方程为. （II）设点P的坐标为，点M的坐标为 ，由题意可得. 易知直线的方程为，由方程组可得.由方程组可得.结合，可得，或.经检验的值为. 详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．由,从而． 所以，椭圆的方程为． （II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，， 点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得， 从而，即． 易知直线的方程为，由方程组消去y，可得．由方程组消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得，或． 当时，，不合题意，舍去；
当时，，，符合题意． 所以，的值为． 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 20.设函数，其中,且是公差为的等差数列. （I）若 求曲线在点处的切线方程；

（II）若，求的极值；

（III）若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围. 【答案】(Ⅰ)x+y=0；
(Ⅱ) 的极大值为6，极小值为−6；
(Ⅲ) 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由题意可得f(x)=x3−x，=3x2−1，结合f(0)=0，=−1，可得切线方程为x+y=0；
（Ⅱ）由已知可得：f(x)=x3−3t2x2+(3t22−9)x− t23+9t2.则= 3x2−6t2x+3t22−9.令=0，解得x= t2−，或x= t2+.据此可得函数f(x)的极大值为f(t2−)=6；
函数极小值为f(t2+)=−6；
（III）原问题等价于关于x的方程(x−t2+d) (x−t2) (x−t2−d)+ (x−t2)+ 6=0有三个互异的实数解，令u= x−t2，可得u3+(1−d2)u+6=0.设函数g(x)= x3+(1−d2)x+6，则y=g(x)有三个零点.利用导函数研究g(x)的性质可得的取值范围是 【详解】（Ⅰ）由已知，可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x， 故=3x2−1，因此f(0)=0，=−1， 又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y−f(0)=(x−0)，故所求切线方程为x+y=0． （Ⅱ）由已知可得 f(x)=(x−t2+3)(x−t2)(x−t2−3)=(x−t2)3−9(x−t2)=x3−3t2x2+(3t22−9)x−t23+9t2． 故=3x2−6t2x+3t22−9． 令=0，解得x=t2−或x=t2+． 当x变化时，，f(x)的变化如下表：
x (−∞，t2−) t2− (t2−，t2+) t2+ (t2+，+∞) + 0 − 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数f(x)的极大值为f(t2−)=(−)3−9×(−)=6， 函数f(x)的极小值为f(t2+)=()3−9×()=−6． （Ⅲ）曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x−t2+d)(x−t2)(x−t2−d)+(x−t2)+ 6=0有三个互异的实数解， 令u=x−t2，可得u3+(1−d2)u+6=0． 设函数g(x)=x3+(1−d2)x+6，则曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点． =3x3+(1−d2)． 当d2≤1时，≥0，这时在上R单调递增，不合题意． 当d2>1时，=0，解得x1=，x2=． 易得，g(x)在(−∞，x1)上单调递增，在[x1，x2]上单调递减，在(x2，+∞)上单调递增． g(x)的极大值g(x1)=g()=>0． g(x)的极小值g(x2)=g()=−． 若g(x2)≥0，由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点，不合题意． 若即，也就是，此时，且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意． 所以，的取值范围是． 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；
已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．