初中数学等腰三角形分类讨论学法指导学法指导

　 初中数学等腰三角形的分类讨论

　等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题

　时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。

　那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文分以下几种情形讲述。

　一.?遇角需讨论

　例?1.?已知等腰三角形的一个内角为?75°则其顶角为（ ）

　A.?30° B.?75° C.?105° D.?30°或?75°

　简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。当?75°是底角时，则顶角的度数为

　180°－75°×2=30°；当?75°角是顶角时，则顶角的度数就等于?75°。所以这个等腰三角形的顶角

　为?30°或?75°。故应选?D。

　说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先

　确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。

　二.?遇边需讨论

　例?2.?已知等腰三角形的一边等于?5，另一边等于?6，则它的周长等于_________。

　简析：已知条件中并没有指明?5?和?6?谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关

　系进行分类讨论。当?5?是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是?6，则此时等

　腰三角形的周长等于?16；当?6?是腰长时，这个三角形的底边长就是?5，则此时周长等于?17。

　故这个等腰三角形的周长等于?16?或?17。

　说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三

　角形三边关系的前提下分类讨论。

　三.?遇中线需讨论

　例?3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为?9cm?和?12cm?两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

　简析：已知条件并没有指明哪一部分是?9cm，哪一部分是?12cm，因此，应有两种情形。

　x

　x2?x9,

　21

　若设这个等腰三角形的腰长是?x?cm，底边长为?y?cm，可得

　xy12,

　

　或

　x

　x2?x12,

　?1?xy9.

　2

　

　?解得x6,

　y9,

　

　?或x8,

　y5.

　

　即当腰长是?6cm?时，底边长是?9cm；当腰长是?8cm?时，

　底边长是?5cm。

　说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。

　四.?遇高需讨论

　例?4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为?45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。

　简析：依题意可画出图?1?和图?2?两种情形。图?1?中顶角为?45°，图?2?中顶角为?135°。

　例?5.为美化环境，计划在某小区内用?30m的草皮铺设一块一边长为?10?m?的等腰三角2

　例?5.为美化环境，计划在某小区内用?30m的草皮铺设一块一边长为?10?m?的等腰三角

　形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

　简析：在等腰?ΔABC?中，设?AB=10?m?，作?CD⊥AB?于?D，由?S?ABC

　可得?CD=6?m?。如下图，当?AB?为底边时，AD=DB=5?m?，所以

　ACBCCD?2AD?2 61(m)?。

　1

　2

　ABCD30?，

　如下图，当?AB?为腰且?ΔABC?为锐角三角形时，

　ABAC10m?，所以?AD

　AC?2CD?28(m)?，

　BD2m,?BCCD?2BD?22?10(m)?。

　如下图，当?AB?为腰且?ΔABC?为钝角三角形时，

　ABBC10m?，?BD BC?2CD?28(m)?，

　所以?AD18m,?AC

　CD?2AD?26?10(m)?。

　说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。

　五.?遇中垂线需讨论

　例?6.在?ΔABC?中，AB=AC，AB?的中垂线与?AC?所在直线相交所得的锐角为?50°，则底

　角∠B=____________。

　简析：按照题意可画出如图?1?和如图?2?两种情况的示意图。

　年级

　初中

　学科

　数学

　版本

　期数

　内容标题

　　等腰三角形的分类讨论

　分类索引号

　　G.622.46

　分类索引描述

　　辅导与自学

　主题词

　栏目名称

　学法指导

　供稿老师

　等腰三角形的分类讨论

　审稿老师

　录入

　李霞

　一校

　刘连静

　二校

　审核

　如图?1，当交点在腰?AC?上时，ΔABC?是锐角三角形，此时可求得∠A=40°，所以

　∠B=∠C=

　1

　2

　（180°－40°）=70°。

　如图?2，当交点在腰?CA?的延长线上时，ΔABC?为钝角三有形，此时可求得

　∠BAC=140°，所以∠B=∠C=

　1

　2

　（180°－140°）=20°

　x(2k3

　x(2k3)xk3k20的两个实数根，第三边?BC?长为?5。

　说明：这里的图?2?最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这样

　才能正确解题。

　六.?和方程问题的综合讨论

　例?7. 已知?ΔABC?的两边?AB，AC?的长是关于?x?的一元二次方程

　2 2

　（1）?k?为何值时，ΔABC?是以?BC?为斜边的直角三角形？

　（2）?k?为何值时，ΔABC?是等腰三角形，并求?ΔABC?的周长。

　简析：（1）略。

　（2）若?ΔABC?是等腰三角形，则有?AB=AC，AB=BC，AC=BC?这三种情形。方程

　x?2(2k3)xk?23k20?可化为?(xk2)(xk1)0?，即?x1k2?，

　x2k1?，显然?x1x2?，即?ABAC?。当?AB=BC?或?AC=BC?时，5?是方程

　x?2(2k3)xk?23k20?的根。当?x5?时，代入原方程可得?k?27k120?，解

　得?k13?，?k24?。

　当?k3?时，原方程的解为?x15,?x24?，等腰?ΔABC?的三边长分别为?5，5，4，周长为

　14。当?k4?时，原方程的解为?x16,?x25?，等腰?ΔABC?的三边长分别为?5，5，6，周长为

　16。

　所以当?k3?或?k4?时，ΔABC?是等腰三角形，周长分别为?14?或?16。