高中数学导数专题讲义（答案版）

最新导数专题讲座内容 汇总 导数专题一、单调性问题 【知识结构】 【知识点】 一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性；

二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论，讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系. 三、分类讨论的思路步骤：
第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点；

第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；
当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与区间的位置关系（分类讨论）；

第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）；

第四步、（列表）根据第五步的草图列出，随变化的情况表，并写出函数的单调区间；

第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数值比较得到函数的最值. 四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点：
1.最高次项系数是否为0；

2.导函数是否有极值点；

3.两根的大小关系；

4.根与定义域端点讨论等。

五、求解函数单调性问题的思路：
（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为或恒成立；

（2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参变量的范围；

（3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解. 六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法 （1）参变分离；

（2）导函数的根与区间端点直接比较；

（3）导函数主要部分为一元二次时，转化为二次函数根的分布问题.这里讨论的以一元二次为主。

七、求解函数单调性问题方法提炼：
（1）将函数单调增（减）转化为导函数恒成立；

（2），由（或）可将恒成立转化为（或）恒成立；

（3）由“分离参数法”或“分类讨论”，解得参数取值范围。

【考点分类】 考点一、分类讨论求解函数单调性；

【例1-1】（2015-2016朝阳一模理18）已知函数． （Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，都有成立，求的取值范围；

（Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由． 【答案】（Ⅰ）函数的定义域为．． （1）当时，恒成立，函数在上单调递增；

（2）当时， 令，得． 当时，，函数为减函数；

当时，，函数为增函数． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为． 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当时，即时，函数在区间上为增函数， 所以在区间上，，显然函数在区间上恒大于零；

（2）当时，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，所以． 依题意有，解得，所以． （3）当时，即时，在区间上为减函数， 所以． 依题意有，解得，所以． 综上所述，当时，函数在区间上恒大于零． （Ⅲ）设切点为，则切线斜率， 切线方程为． 因为切线过点，则． 即． ………………① 令 ，则 ． （1）当时，在区间上，， 单调递增；

在区间上，，单调递减， 所以函数的最大值为． 故方程无解，即不存在满足①式． 因此当时，切线的条数为． （2）当时, 在区间上，，单调递减， 在区间上，，单调递增， 所以函数的最小值为． 取，则． 故在上存在唯一零点． 取，则． 设，，则． 当时，恒成立． 所以在单调递增，恒成立．所以． 故在上存在唯一零点． 因此当时，过点P存在两条切线． （3）当时，，显然不存在过点P的切线． 综上所述，当时，过点P存在两条切线；

当时，不存在过点P的切线． 【例1-2】（2015-2016海淀一模理18）已知函数，. （Ⅰ）求函数的最小值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

(Ⅲ) 求证：直线不是曲线的切线. 【答案】（Ⅰ）函数的定义域为， 当变化时，，的变化情况如下表：
递减 极小值 递增 函数在上的极小值为， 所以的最小值为 （Ⅱ）解：函数的定义域为， 由（Ⅰ）得，，所以 所以的单调增区间是，无单调减区间. （Ⅲ）证明：假设直线是曲线的切线. 设切点为，则，即 又，则. 所以, 得，与 矛盾 所以假设不成立，直线不是曲线的切线 【练1-1】（2015-2016西城一模理18）已知函数，且. (Ⅰ) 求的值及的单调区间；

(Ⅱ) 若关于的方程存在两个不相等的正实数根，证明：. 【答案】（Ⅰ）对求导，得， 所以，解得. 故，. 令，得. 当变化时，与的变化情况如下表所示：
0 0 ↘ ↗ 所以函数的单调减区间为，单调增区间为. （Ⅱ）解：方程，即为， 设函数. 求导，得． 由，解得，或. 所以当变化时，与的变化情况如下表所示：
0 ↘ ↗ 所以函数在单调递减，在上单调递增. 由，得. 又因为， 所以. 不妨设（其中为的两个正实数根）， 因为函数在单调递减，且，， 所以. 同理根据函数在上单调递增，且， 可得， 所以， 即 . 【练1-2】（2011-2012石景山一模文18）已知函数. （Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）
…………1分 由已知，解得. …………3分 （II）函数的定义域为. （1）当时, ，的单调递增区间为；
……5分 （2）当时. 当变化时，的变化情况如下：
- + 极小值 由上表可知，函数的单调递减区间是；

单调递增区间是. …………8分 （II）由得，…………9分 由已知函数为上的单调减函数， 则在上恒成立， 即在上恒成立. 即在上恒成立. …………11分 令，在上， 所以在为减函数. , 所以. …………14分 【练1-3】（2015-2016朝阳期末文19）已知函数，. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，试判断函数是否存在零点,并说明理由；

（Ⅲ）求函数的单调区间. 【答案】函数的定义域：. . （Ⅰ）当时，. . 有，即切点（1,3）， . 所以曲线在点处切线方程是， 即. （Ⅱ）若，. . 令，得（舍），. － ＋ ↘ 极小值 ↗ 则. 所以函数不存在零点. （Ⅲ）
. 当，即时， － ＋ ↘ 极小值 ↗ 当，即时，的单调增区间是，；

当，即时， ＋ － ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 当，即时， ＋ ＋ ↗ ↗ ＋ － ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 综上时，的单调增区间是;减区间是. 当时，的单调增区间是,;减区间是. 当时，的单调增区间是; 当时，的单调增区间是，;减区间是. 【练1-4】（2015-2016丰台期末文20）设函数的图象与直线相切于点． （Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设函数，对于,，使得，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）∵函数的图象与直线相切于点， ∴，． ∵， ∴ 解得． ∴． （Ⅱ）， 令，得或；

令，得． ∴的单调递增区间为，；
单调递减区间为． …8分 （Ⅲ）记在上的值域为,在上的值域为， ∵对于，，使得， ∴． 由（Ⅱ）得：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ，，，， ∴． ∵， ∴． ① 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴的最小值为或，的最大值为或． ∵，且， ∴或， ∴或， 即或． 又∵， ∴． ② 当时，在上单调递增，上单调递减， ∴的最小值为或，的最大值为 ． ∵，且， ∴， ∴，即． 综上所述：或． 【练1-5】（2015-2016朝阳二模文20）已知函数. (Ⅰ)求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，若在区间上恒成立，求的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 函数的定义域为,. （1）
当时，, 令，解得，则函数的单调递增区间为 令，解得，函数单调递减区间为. 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）
当时，, 令，解得或，则函数的单调递增区间为；

令，解得，函数单调递减区间为. 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （3）
当时，恒成立， 所以函数的单调递增区间为. （4）
当时，, 令，解得或，则函数的单调递增区间为，；

令，解得，则函数的单调递减区间为. 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 （Ⅱ）依题意，在区间上. ，. 令得，或. 若，则由得，，函数在()上单调递增. 由得，,函数在()上单调递减. 所以，满足条件；

若，则由得，或；

由得，. 函数在(),上单调递增,在上单调递减. ， 依题意 ，即，所以；

若，则. 所以在区间上单调递增，，不满足条件；

综上，. 【练1-6】（2015-2016房山二模文19）已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。

【答案】（Ⅰ）,定义域为 ，令 极小值 所以的增区间为，减区间为。

（II）因为直线与曲线没有公共点， 所以方程无实根，即无实根，等价于无实根 设，即无零点。

当时，，显然无零点，符合题意；

当时，令 极小值 ，显然不符合题意；

当时，令 极大值 ，所以时，符合题意 综上所述：
【练1-7】（2015-2016朝阳一模文19）已知函数. （Ⅰ）若求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设，若函数在区间上存在极值点，求的取值范围. 【答案】(Ⅰ)若，函数的定义域为，. 则曲线在点处切线的斜率为. 而，则曲线在点处切线的方程为 （Ⅱ）函数的定义域为，. （1）当时，由,且此时，可得. 令，解得或，函数为减函数；

令，解得，但， 所以当，时，函数也为增函数. 所以函数的单调减区间为，， 单调增区间为，. （2）当时，函数的单调减区间为，. 当时，函数的单调减区间为，. 当时，由，所以函数的单调减区间为，. 即当时，函数的单调减区间为，. （3）当时，此时. 令，解得或，但，所以当，，时，函数为减函数；

令，解得，函数为增函数. 所以函数的单调减区间为，，， 函数的单调增区间为. …………9分 （Ⅲ）（1）当时，由（Ⅱ）问可知，函数在上为减函数， 所以不存在极值点; （2）当时，由（Ⅱ）可知，在上为增函数， 在上为减函数. 若函数在区间上存在极值点，则， 解得或, 所以. 综上所述，当时，函数在区间上存在极值点. 【练1-8】（2015-2016东城期末理19）已知函数． （Ⅰ）当时，试求在处的切线方程；

（Ⅱ）当时，试求的单调区间；

（Ⅲ）若在内有极值，试求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）当时，，，． 方程为．
　　　　　　　　　　　　　　　 （Ⅱ）
，
． 当时，对于，恒成立，
所以 Þ；

Þ 0.
所以 单调增区间为，单调减区间为 ．　　 （Ⅲ）若在内有极值，则在内有解． 令 Þ Þ . 设 , 所以 , 当时，恒成立， 所以单调递减. 又因为，又当时，, 即在上的值域为,
所以 当时， 有解. 设，则 ， 所以在单调递减. 因为，, 所以在有唯一解. 所以有：
0 0 递减 极小值 递增 所以 当时，在内有极值且唯一. 当时，当时，恒成立，单调递增，不成立． 综上，的取值范围为． 【练1-9】（2015-2016大兴期末理18）已知函数. （Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）当 时，， 所以，函数在点处的切线方程为 即：
(Ⅱ)函数的定义域为：
当时，恒成立，所以，在和上单调递增 当时，令，即：， , 所以，单调递增区间为，单调减区间为. （Ⅲ）因为在上恒成立，有 在上恒成立。

所以，令， 则. 令则 若，即时，，函数在上单调递增，又 所以，在上恒成立；

若，即时，当时，单调递增；

当时，，单调递减 所以，在上的最小值为， 因为所以不合题意. 即时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，在上的最小值为 又因为，所以恒成立 综上知，的取值范围是. 考点二、已知函数单调求参数范围；

【例2-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数 ,. （Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）
由在处取得极大值,得, 所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立, 所以恒成立,即恒成立, 由于,得. 所以的取值范围是. （Ⅲ）, 故,得或 当时, ,在上是增函数,显然不合题意. 当时, 随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需, 即 , 解得 所以的取值范围是. 【例2-2】（2015-2016朝阳期中文19）已知函数，． （Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求的取值范围；

（Ⅱ）当时，证明. 【答案】（I）函数的定义域为. 因为. 又因为函数在单调减，所以不等式在上成立. 设，则，即即可，解得. 所以的取值范围是. （Ⅱ）当时，， . 令，得或（舍）. 当变化时，变化情况如下表：
1 0 + 极小值 所以时,函数的最小值为. 所以成立. 【练2-1】（2015-2016海淀期中文18）已知函数. （Ⅰ）若曲线在点处切线的斜率为，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）因为，所以曲线经过点， 又， 所以， 所以. 当变化时，，的变化情况如下表 0 0 极大值 极小值 所以函数 的单调递增区间为，， 单调递减区间为 . （Ⅱ）
因为函数在区间上单调递增， 所以对成立， 只要在上的最小值大于等于0即可. 因为函数的对称轴为， 当时，在上的最小值为， 解，得或，所以此种情形不成立 当时，在上的最小值为， 解得，所以， 综上，实数的取值范围是. 【练2-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，， 所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为 ，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即大于的最大值 令，，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。

2、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根， 令，，有只有一个零点 ， 1、当时，，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得， 1 - 0 + 0 - 减 极小值 增 极大值 减 易知 ，而当时，，所以在只存在一个零点。

3、当时，解得， 1 - 0 + 减 极小值 增 当时，，所以若只有一个零点，必须有 即， 综上所述，的取值范围为和 【练2-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围；

（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；

（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立， 即，在上恒成立， 则 （Ⅱ）当时，,． （ⅰ）令，得． 令,得，所以函数在单调递增． 令,得，所以函数在单调递减． 所以，． 所以成立． （ⅱ）由（ⅰ）知， ， 所以． 设所以． 令，得． 令,得，所以函数在单调递增， 令,得，所以函数在单调递减；

所以，， 即． 所以 ，即． 所以，方程没有实数解． 【练2-4】（2015-2016海淀期中理18）已知函数，曲线在点处的切线为． （Ⅰ）若直线的斜率为，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数是区间上的单调函数，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）
因为直线的斜率为 所以 所以 所以 令解得 所以当和时， 当时， 所以的单调增区间为和，单调减区间为 （Ⅱ）要使在上单调 只需或在恒成立 （1）在恒成立等价于，即 解得 （2）在恒成立， 当时，，即，解得（舍）或（舍）
当时，，即，解得 综上所述 考点三、已知函数不单调求参数范围；

【例3-1】已知函数.当时，若在区间上不单调，求的取值范围. 【答案】解法一：∵ 令，解得， 因为在区间上不单调， 所以区间上存在极值点， 所以，或 即，或 所以或 ∴. 解法二:∵ 因为函数在区间不单调，所以函数在上存在零点. 令，解得，区间长为， ∴在区间上不可能有个零点. 所以 即：
∵， ∴， 又∵， ∴. 【例3-2】已知函数，若在区间上不单调，求的取值范围 【答案】 考点四、已知函数存在单调区间求参数范围；

【例4-1】设函数，.若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围. 【答案】解法一：
设， 依题意，在区间上存在子区间使得不等式成立. 注意到抛物线开口向上，所以只要，或即可 由，即，得， 由，即，得， 所以， 所以实数的取值范围是. 解法二：， 依题意得，在区间上存在子区间使不等式成立. 又因为，所以. 设，所以小于函数在区间的最大值. 又因为， 由解得；

由解得. 所以函数在区间上递增，在区间上递减. 所以函数在，或处取得最大值. 又，，所以， 所以实数的取值范围是. 【例4-2】（2010-2011朝阳二模理18）设函数，. （Ⅰ）若，求函数在上的最小值；

（Ⅱ）若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围；

【答案】 【练4-1】已知函数，．函数在上存在单调递增区间，求的取值范围． 【答案 当时， 令，解得 则在上单调递增区间，满足题意. 当时 当，即时， ，在上单调递减(舍）
当，即，且时 令，解得：， 当时， 则在上单调递增区间，满足题意 当时， 要使在上存在单调递增区间， 则，即，解得 所以 综上所述得：的取值范围为：
解法二：
在上存在单调递增区间等价于在存在区间使成立，即存在使成立 设 当时，， 则 所以，的取值范围为：
考点五、两个函数在具有相同的单调性求参数范围；

【例5-1】（2012-2013西城一模文18）已知函数，，其中． （Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）的定义域为， 且 ． ………………2分 ① 当时，，故在上单调递增． 从而没有极大值，也没有极小值． ………4分 ② 当时，令，得． 和的情况如下：
↘ ↗ 故的单调减区间为；
单调增区间为． 从而的极小值为；
没有极大值． …………6分 （Ⅱ）解：的定义域为，且 ． …………8分 ③ 当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意． ………………9分 ④ 当时，，在上单调递减． 当时，，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意． ……………11分 当时，，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意． 综上，的取值范围是． …………13分 【例5-2】已知函数，，其中．若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围． 【答案】的定义域为， 当，在单调递减， 当时，在单调递减，单调递增, 的定义域为，且 ． 当时，显然 ，从而在上单调递增． 此时在上单调递增，符合题意． 当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意． 当时，令，得． 和的情况如下表：
↘ ↗ 当时，，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意． 当时，，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意． 综上，的取值范围是． 导数专题二、极值问题 【知识点】 一、函数的极值定义 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极大值，记作；
如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极小值，记作极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点． 极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。

可导函数的极值点必定是它的驻点。但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点，例如,点是它的驻点，却不是它的极值点。

极值点上的导数为零或不存在，且函数的单调性必然变化。

极值问题主要建立在分类讨论的基础上， 二、求函数的极值点和极值注意事项：
1.求极值或极值点，必须点明是极大还是极小。若没有另一个，要说明没有。

2.要知道如何判断是否存在极值或者极值点。

3.如果已知极值或者极值点，求参数的时候，最后结果需要检验。

4.极值点是导函数的根，如果有两个根，要在合适的时候想到伟达定理。

三、求函数极值的三个基本步骤 第一步、求导数；

第二步、求方程的所有实数根；

第三步、考察在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化．如果的符号由正变负，则是极大值；
如果由负变正，则是极小值．如果在的根的左右侧，的符号不变，则不是极值． 【考点分类】 考点一、分类讨论求函数极值（点）；

【例1-1】（2015-2016海淀一模文19）已知函数. (Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)求函数的零点和极值；

(Ⅲ)若对任意，都有成立，求实数的最小值. 【答案】 （Ⅰ）设切线斜率为，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即。

（Ⅱ）令，解得。当时，；
时，，所以函数零点有且只有一个，为1. 令，即解得。当时，；
当时，，所以函数在处取得极小值，无极大值。

（Ⅲ）由（II）知，当时，；
时，，且在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值。且。

，，所以只需。所以。所以的最小值为1。

【例1-2】（2010-2011朝阳二模理18）设函数，. （Ⅰ）若，求函数在上的最小值；

（Ⅱ）若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围；

（Ⅲ）求函数的极值点. 【答案】 考点二、已知函数极值（点）情况求参数范围；

【例2-1】（2015-2016朝阳一模文19）已知函数. （Ⅰ）若求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设，若函数在区间上存在极值点，求的取值范围. 【答案】(Ⅰ)若，函数的定义域为，. 则曲线在点处切线的斜率为. 而，则曲线在点处切线的方程为 （Ⅱ）函数的定义域为，. （1）当时，由,且此时，可得. 令，解得或，函数为减函数；

令，解得，但， 所以当，时，函数也为增函数. 所以函数的单调减区间为，， 单调增区间为，. （2）当时，函数的单调减区间为，. 当时，函数的单调减区间为，. 当时，由，所以函数的单调减区间为，. 即当时，函数的单调减区间为，. （3）当时，此时. 令，解得或，但，所以当，，时，函数为减函数；

令，解得，函数为增函数. 所以函数的单调减区间为，，， 函数的单调增区间为. …………9分 （Ⅲ）（1）当时，由（Ⅱ）问可知，函数在上为减函数， 所以不存在极值点; （2）当时，由（Ⅱ）可知，在上为增函数， 在上为减函数. 若函数在区间上存在极值点，则， 解得或, 所以. 综上所述，当时，函数在区间上存在极值点. 【例2-2】（2015-2016东城期末理19）已知函数． （Ⅰ）当时，试求在处的切线方程；

（Ⅱ）当时，试求的单调区间；

（Ⅲ）若在内有极值，试求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）当时，，，． 方程为．
　　　　　　　　　　　　　　　 （Ⅱ）
，
． 当时，对于，恒成立，
所以 Þ；

Þ 0.
所以 单调增区间为，单调减区间为 ．　　 （Ⅲ）若在内有极值，则在内有解． 令 Þ Þ . 设 , 所以 , 当时，恒成立， 所以单调递减. 又因为，又当时，, 即在上的值域为,
所以 当时， 有解. 设，则 ， 所以在单调递减. 因为，, 所以在有唯一解. 所以有：
0 0 递减 极小值 递增 所以 当时，在内有极值且唯一. 当时，当时，恒成立，单调递增，不成立． 综上，的取值范围为． 【练2-1】（2015-2016房山二模理18）已知函数 （Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）设，若在区间上有两个极值点，求实数的取值范围。

【答案】（Ⅰ）当时， 定义域为 令，得 0 递增 递减 极小值 递增 （Ⅱ）， 因为 所以令，只需 设， 若在区间上有两个极值点，则在区间上有两个零点 要使在区间上有两个零点，的唯一根必须在区间 所以令，得，且 解得：
【练2-2】已知函数，（为常数）.若函数在区间上有两个极值点，求实数的取值范围. 【答案】 由题意可知，解得 所以，实数的取值范围为. 【练2-3】已知函数，其中且.若函数在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围. 【答案】在上有且仅有一个极值点， 在上有且仅有一个异号零点， 由二次函数图象性质可得， 即，解得或， 综上，的取值范围是. 【练2-4】已知函数，其中且. （Ⅰ）求证：函数在点处的切线与总有两个不同的公共点；

（Ⅱ）若函数在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）由已知可得. ， 又 在处的切线方程为. 令，整理得. 或， ， 与切线有两个不同的公共点. --7分 （Ⅱ）在上有且仅有一个极值点， 在上有且仅有一个异号零点， 由二次函数图象性质可得， 即，解得或， 综上，的取值范围是. 【练2-5】（2013-2014海淀二模文18）已知函数， 其中且. （Ⅰ）求证：函数在点处的切线与总有两个不同的公共点；

（Ⅱ）若函数在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）由已知可得. ---------------------------------1分 ， ---------------------------------2分 又 在处的切线方程为. ---------------------------------4分 令，整理得. 或， -----------------------------------5分 ， ----------------------------------------6分 与切线有两个不同的公共点. ----------------------------------------7分 （Ⅱ）在上有且仅有一个极值点， 在上有且仅有一个异号零点， ---------------------------9分 由二次函数图象性质可得， -------------------------------------10分 即，解得或， ----------------------------12分 综上，的取值范围是. -------------------------------13分 【练2-6】（2009-2010年北京高考文18）设定函数，且方程的两个根分别为1，4。

（Ⅰ）当且曲线过原点时，求的解析式；

（Ⅱ）若在无极值点，求的取值范围。

【答案】由 得 因为的两个根分别为1,4，所以 （*）
（Ⅰ）当时，又由（*）式得 解得 又因为曲线过原点，所以 故 （Ⅱ）由于a>0,所以“在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“在（-∞，+∞）内恒成立”。

由（*）式得。

又 解 得 即的取值范围 考点三、已知函数极值求参数值；

【例3-1】已知函数. （Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）是否存在实数，使得函数的极大值等于？若存在，求出的值；
若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）的定义域为. ， 即 . 令，解得：或. 当时，，故的单调递增区间是. 当时，，随的变化情况如下：
极大值 极小值 所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时，，随的变化情况如下：
极大值 极小值 所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. （Ⅱ）当时，的极大值等于. 理由如下：当时，无极大值. 当时，的极大值为， 令，即 解得 或（舍）. 当时，的极大值为. 因为 ，， 所以 . 因为 ，所以 的极大值不可能等于. 综上所述，当时，的极大值等于. 【例3-2】已知函数在处有极值10，求的值. 【答案】 依题意得方程组 解得. 当a=-3,b=3时， 令得x=1. (-∞,1) 1 (1,+∞) + 0 + ↗ 无极值 ↗ 显然不合题意，舍去. 当时， 令得或. x 1 （1，+∞）
+ 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 在处有极小值10，合题意， ∴. 导数专题三、最值问题 【知识结构】 【知识点】 一、求解函数最值问题的步骤：
对于函数的最值问题主要建立在前面的极值问题的基础上；
一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：
第一步、求函数在内的极值；

第二步、将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 二、主要的问题类型：
1.分类讨论求函数最值；

2.已知函数最值情况求参数范围；

3.已知函数最值求参数值；

4.其他的情况转化为最值问题；

【考点分类】 考点一、分类讨论求函数最值；

【例1-1】（2015-2016东城一模文19）
已知函数， （1）若在处取得极值，求的值；

（2）求在区间上的最小值；

（3）在（1）的条件下，若，求证：当时，恒有成立. 【答案】（1）定义域为 ，因为函数在处取得极值，所以有， 解得 （2）
1）当时， 在单调递增，所以该区间上的最小值为 2）当时， 在单调递增，所以该区间上的最小值为 3）当时， - 0 + 减 极小值 增 所以在该区间的最小值为 综上所述，当时，在的最小值为1；

当时，在的最小值为. （3）由已知得，，所以在时，恒有 若要证明当时，恒有成立，只需证明， 即证明恒成立. 令 令，有 当时，恒有，所以当时， 所以，，所以在时，单调递减， 因此恒成立，所以，当时，恒有成立. 【例1-2】（2014-2015丰台一模理18）设函数，． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：
；

（Ⅲ）当时，求函数在上的最大值． 【答案】（Ⅰ）当时，，， 所以． 因为，即切线的斜率为， 所以切线方程为，即 ． 4 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知． 令，则． 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，函数最小值是．命题得证. （Ⅲ）因为，所以． 令，则． 当时，设，因为， 所以在上单调递增，且， 所以在恒成立，即． 所以当，，在上单调递减；

当，，在上单调递增． 所以在上的最大值等于， 因为，， 不妨设()， 所以． 由（Ⅱ）知在恒成立， 所以在上单调递增． 又因为， 所以在恒成立，即． 所以当时，在上的最大值为． 【练1-1】（2015-2016西城期末文19）已知函数，其中是自然对数的底数，. （Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，求函数的最小值. 【答案】（Ⅰ）解：因为，， 所以． 2 令，得． 3 当变化时，和的变化情况如下：
↘ ↗ 5 故的单调减区间为；
单调增区间为． 6 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得的单调减区间为；
单调增区间为． 所以当，即时，在上单调递增， 故在上的最小值为；

当，即时， 在上单调递减， 在上单调递增， 故在上的最小值为；

当，即时，在上单调递减， 故在上的最小值为. 所以函数在上的最小值为 【练1-2】（2015-2016海淀期末文18）已知函数与函数在点处有公共的切线，设. （I）
求的值 （Ⅱ）求在区间上的最小值. 【答案】（I）因为所以在函数的图象上 又，所以 所以 3 （Ⅱ）因为，其定义域为 5 当时，， 所以在上单调递增 所以在上最小值为 7 当时，令，得到(舍) 当时，即时，对恒成立， 所以在上单调递增,其最小值为 当时，即时, 对成立， 所以在上单调递减， 其最小值为 当,即时, 对成立, 对成立 所以在单调递减,在上单调递增 其最小值为 综上，当时， 在上的最小值为 当时，在上的最小值为 当时, 在上的最小值为. 【练1-3】（2015-2015丰台一模理18）已知函数，. (Ⅰ)若曲线在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b的值；

(Ⅱ)当，且ab=时，求函数的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值. 【答案】(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x≠-a}，1 则， 3 h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0， 即,解得或6 (Ⅱ)记(x)= ，则(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a), ab=，所以，(x≠-a), , 令，得，或, 因为，所以， 故当，或时，，当时，， 函数(x)的单调递增区间为， 单调递减区间为, ,,， ① 当，即时, (x)在[-2,-1]单调递增, (x)在该区间的最小值为， ② 当时,即, (x)在[-2,单调递减, 在单调递增， (x)在该区间的最小值为， ③当时,即时, (x)在[-2,-1]单调递减, (x)在该区间的最小值为， 综上所述，当时，最小值为；
当时，最小值为；
当时，最小值为. （不综述者不扣）
【练1-4】（2013-2014延庆一模理18）已知函数. (Ⅰ) 讨论函数的单调性；

（Ⅱ）当时，求函数在区间的最小值. 【答案】函数的定义域为， 1 (Ⅰ)， 4 （1）当时，，所以在定义域为上单调递增；

5 （2）当时，令，得（舍去），， 当变化时，，的变化情况如下：
此时，在区间单调递减， 在区间上单调递增；

7 （3）当时，令，得，（舍去）， 当变化时，，的变化情况如下：
此时，在区间单调递减， 在区间上单调递增. （Ⅱ）由(Ⅰ)知当时，在区间单调递减，在区间上单调递增. （1）当，即时，在区间单调递减， 所以，；

（2）当，即时，在区间单调递减， 在区间单调递增，所以， （3）当，即时，在区间单调递增， 所以. 【练1-5】（2013-2014东城期末理18）已知，函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求在区间上的最小值． 【答案】（Ⅰ）当时，，， 所以，.2 因此． 即曲线在点处的切线斜率为. 4 又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即．6 （Ⅱ）因为，所以． 令，得． ①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值． ②若，当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值． ③若，则当时，，函数在区间上单调递减， 所以当时，函数取得最小值． 综上可知，当时，函数在区间上无最小值；

当时，函数在区间上的最小值为；

当时，函数在区间上的最小值为． 【练1-6】（2014-2015西城二模理18）已知函数，其中． （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】的定义域为， 且 ． 2 当时，，， 所以曲线在点处的切线方程为 ， 即 ． 4 （Ⅱ）解：方程的判别式为． （ⅰ）当时，，所以在区间上单调递增，所以在区间 上的最小值是；
最大值是．6 （ⅱ）当时，令，得 ，或． 和的情况如下：
↗ ↘ ↗ 故的单调增区间为，；
单调减区间为． ① 当时，，此时在区间上单调递增，所以在区间 上的最小值是；
最大值是． ② 当时，，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上的最小值是 ． 因为 ， 所以 当时，在区间上的最大值是；
当时，在区间上的最大值是． ③ 当时，，此时在区间上单调递减， 所以在区间上的最小值是；
最大值是． 综上， 当时，在区间上的最小值是，最大值是；

当时，在区间上的最小值是，最大值是；

当时，在区间上的最小值是，最大值是；

当时，在区间上的最小值是，最大值是． 【练1-7】（2014-2015丰台一模文19）已知函数,. (1)设函数,且求a,b的值; (2)当a=2且b=4时,求函数的单调区间,并求该函数在区间(-2,m] ()上的最大值. 【答案】(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x≠-a}, 则, 因为所以解得,或 (Ⅱ)记(x)= ,则(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a) , 因为a=2,b=4,所以(x≠-2), , 令,得,或, 当,或时,,当时,, 函数的单调递增区间为, 单调递减区间为, ①当-2<m<时,(x)在(-2,m)上单调递增, 其最大值为(m)= , ②当≤m≤时,(x)在(-2,)上单调递增,在(,-)上单调递减,在(,m)上单调递增,而()=()=, (x)的最大值为 【练1-8】（（2013-2014大兴一模文18）已知函数. (I)求函数的单调区间; (Ⅱ)当时,求函数在区间上的最小值. 【答案】定义域为R (Ⅰ)①当时,,则的单调增区间为 ②当时,解得, ,解得, , 则的单调增区间为,的单调减区间为 ③当时,解得, ,解得, , 则的单调增区间为,的单调减区间为 (Ⅱ) ①当时, 即 当时, 在上是减函数,在上是增函数,则函数在区间[-2,0]上的最小值为 ②当时, 即 当时, 在上是增函数, 则函数在区间[-2,0]上的最小值为 综上: 当时, 在区间[-2,0]上最小值为 当时, 在区间[-2,0]上最小值为 考点二、已知函数最值情况求参数范围；

【例2-1】（（2015-2016昌平期末文20）已知函数． (Ⅰ) 求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）证明：当时，；

（Ⅲ）设，若存在最大值，且当最大值大于时，确定实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）解：定义域为，. 由题意，， ，所以函数在点处的切线方程为.（Ⅱ）证明：当时，，可转化为 当时，恒成立. 设， 所以. 当时，，所以在上为减函数，所以， 所以当时，成立. （Ⅲ）设，定义域为， 所以. ⑴当时，对于任意的，， 所以在上为增函数，所以无最大值，即不符合题意. ⑵当时，令，即，则. 所以，变化如下：
0 + 0 - ↗ 极大值 ↘ 因为. 所以成立，即， 令，， 所以，即在上为增函数. 又因为，所以当时，. 所以，时，命题成立. 综上，的取值范围为. 【例2-2】（2015-2016东城一模文20）已知函数 . (Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程; (Ⅱ)讨论的单调性; (III)若存在最大值,且,求的取值范围. 【答案】(Ⅰ)当时,. . 所以. 又, 所以曲线在点处的切线方程是, 即. (Ⅱ)函数的定义域为, . 当时,由知恒成立, 此时在区间上单调递减. 当时,由知恒成立, 此时在区间上单调递增. 当时,由,得,由,得, 此时在区间内单调递增,在区间内单调递减. (III)由(Ⅱ)知函数的定义域为, 当或时,在区间上单调,此时函数无最大值. 当时,在区间内单调递增,在区间内单调递减, 所以当时函数有最大值. 最大值. 因为,所以有,解之得. 所以的取值范围是. 【练2-1】（15-2016大兴区一模理18）已知函数，． (Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)函数在区间上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（I），. 由，得，或. ①当，即时，在上，，单调递减；

②当，即时，在上，，单调递增，在上，，单调递减. 综上所述：时，的减区间为；

时，的增区间为，的减区间为. （II）（1）当时，由（I）在上单调递减，不存在最小值；

（2）当时， 若，即时，在上单调递减，不存在最小值；

若，即时，在上单调递增，在上单调递减， 因为，且当时，，所以时，. 又因为，所以当，即时，有最小值；
，即时， 没有最小值. 综上所述：当时，有最小值；
当时，没有最小值. 考点三、已知函数最值求参数值；

【例3-1】（2015-2016朝阳期中文20）已知函数(其中，),函数的导函数为，且． (Ⅰ)若，求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)若函数在区间上的最小值为，求的值． 【答案】因为，所以． 因为，所以． 所以． (Ⅰ)当时，时， ， 所以曲线在点处的切线方程为． 即． (Ⅱ)由已知得， 所以． （1）当，即时， 令得，或；

令得，． 所以函数在和上单调递增，在上单调递减． 所以函数在区间上单调递增． 所以函数在区间上的最小值为． 解得．显然合题意． （2）当时，即时， 恒成立，所以函数在上单调递增． 所以函数在区间上单调递增． 所以函数在区间上的最小值为． 解得．显然不符合题意． （3）当时，即时， 令得，或；

令得，． 所以函数在和上单调递增，在上单调递减． ①若，即时，函数在区间上单调递减． 所以函数在区间上的最小值为． 解得．显然合题意． ②若，即时，函数在在上单调递减，在 上单调递增． 此时，函数在区间上的最小值为． 解得．显然不合题意． 综上所述，或为所求． 【例3-2】（2015-2016朝阳期中18）已知函数(其中是常数，，)，函数的导函数为，且． (Ⅰ)若，求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)当时，若函数在区间上的最大值为，试求的值． 【答案】因为，所以． 因为，所以，即． (Ⅰ)当时，．又， 所以曲线在点处的切线方程为． 即． (Ⅱ)由已知得． 所以． 因为，． 因为，所以． 令得，；

令得，或． 所以函数在上单调递增，在和上单调递减． ①若，即时，函数在区间上单调递增． 所以函数在区间上的最大值为． 解得．显然符合题意．此时， ． ②若，即时， 函数在上单调递增，在上单调递减． 所以函数在区间上的最大值为． 又因为，所以，． 所以． 所以． 不满足函数在区间上的最大值为 综上所述，， 为所求． 【练3-1】（2015-2016海淀一模理18）已知函数(其中为常数且)在处取得极值. (I) 当时，求的单调区间；

(II) 若在上的最大值为，求的值. 【答案】（I）因为所以2 因为函数在处取得极值 3 当时，，， 随的变化情况如下表：
0 0 极大值 极小值 5 所以的单调递增区间为, 单调递减区间为 (II)因为 令, 因为在 处取得极值，所以 当时，在上单调递增，在上单调递减 所以在区间上的最大值为，令，解得 当， 当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值1可能在或处取得 而 所以，解得 当时,在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值1可能在或处取得 而 所以， 解得，与矛盾 当时，在区间上单调递增，在单调递减， 所以最大值1可能在处取得，而，矛盾 综上所述，或. 【练3-2】（2013-2014朝阳一模理18）已知函数，． （Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在区间的最小值为，求的值． 【答案】函数的定义域是， ． （Ⅰ）（1）当时，，故函数在上单调递减． （2）当时，恒成立，所以函数在上单调递减． （3）当时，令，又因为，解得． ①当时，，所以函数在单调递减． ②当时，，所以函数在单调递增． 综上所述，当时，函数的单调减区间是， 当时，函数的单调减区间是，单调增区间为． （Ⅱ）（1）当时，由（Ⅰ）可知，在上单调递减， 所以的最小值为，解得，舍去． （2）当时，由（Ⅰ）可知， ①当，即时，函数在上单调递增， 所以函数的最小值为，解得． ②当，即时，函数在上单调递减， 在上单调递增，所以函数的最小值为， 解得，舍去． ③当，即时，函数在上单调递减， 所以函数的最小值为，得，舍去． 综上所述，． 导数专题四、零点问题 【知识结构】 【知识点】 一、零点的定义：定义：
一般地，如果函数在处有实数根，即，则叫做这个函数的零点. 1.函数值为零时的值；

2.函数为零时，方程的解；

3.函数的图象与轴交点；

4.两个函数的交点；

二、零点问题主要包括的题型包括：
1.是否有零点；

2.判断零点个数；

3.已知零点求参数 三、函数零点的判定：
方程有实数根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点 【考点分类】 考点一、分类讨论求零点个数；

【例1-1】（2014-2015年朝阳一模理18）已知函数，． （Ⅱ）
当时，讨论函数的零点个数. 【答案】（Ⅱ）,. （1）当时， 时,,为减函数;时，，为增函数. 所以在时取得最小值. （ⅰ）当时，，由于，令，， 则在上有一个零点；

（ⅱ）当时，即时，有一个零点；

（ⅲ）当时，即时，无零点. （ⅳ）当时，即时， 由于（从右侧趋近0）时，；
时，， 所以有两个零点. 不等式放缩：， 由于（从右侧趋近0）时，；
时，， 所以有两个零点. (2)当时， 时,,为增函数;时，，为减函数；

时，，为增函数.所以在处取极大值， 在处取极小值.. 当时，,即在时，. 而在时为增函数，且时，， 所以此时有一个零点. 且时，， 所以此时有一个零点. (3) 当时，在上恒成立，所以为增函数. ，且（从右侧趋近0）时，；

时，.所以有一个零点. 综上所述，或时有一个零点；
时，无零点；

有两个零点. 【例1-2】（2012-2013石景山期末理18）已知函数是常数． （Ⅲ）讨论函数零点的个数． 【答案】令， . 令 ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，的最大值为. 所以若，则无零点；
若有零点，则． 若，，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点. 若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较， 知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）. 若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；

又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点. 切线方法：
综上所述，当时，无零点；

当或时，有且仅有一个零点；

当时，有两个零点. 【练1-1】（2015-2016朝阳期末文19）已知函数，. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，试判断函数是否存在零点,并说明理由；

（Ⅲ）求函数的单调区间. 【答案】函数的定义域：. . （Ⅰ）当时，. . 有，即切点（1,3）， . 所以曲线在点处切线方程是， 即. （Ⅱ）若，. . 令，得（舍），. － ＋ ↘ 极小值 ↗ ＋ － ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 则. 所以函数不存在零点. （Ⅲ）
. 当，即时， － ＋ ↘ 极小值 ↗ 当，即时， ＋ － ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 当，即时， ＋ ＋ ↗ ↗ 当，即时， 综上时，的单调增区间是;减区间是. 当时，的单调增区间是,;减区间是. 当时，的单调增区间是; 当时，的单调增区间是，;减区间是. 【练1-2】（2015-2016西城期末文20）已知函数 ，直线 ：
. （1）求函数的极值；

（2）求证：对于任意 ，直线都不是曲线的切线；

（3）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由。

【答案】（1）（x≠0）
∴ 令，得x=1，列表，得：
x （0，1）
1 （1，+∞ ）
- 0 + 极值 ∴在x=1处，有极小值为。

（2）假设是一条切线，设切点为 。

∴ 有 将②代入①中，得 即 不成立 ∴ 对于任意 ，直线都不是曲线的切线。

（3）解法一、令 整理得 令 ∴， ∴ g（x）是一个减函数。

令g（x）=0得x=-1， ∴ 有当x＜0时，g（x）＜2，且x ，g（x）-∞；

当x＞0时，g（x）＞2，且x ，g（x）+∞；

∴ 当k=2时，没有交点；
当k≠2时，有一个交点。

解法二、令，有， 当时，恒正，即无零点。

当时， 即在时恒正，无零点。

当时，，为减函数，取，有；

当时，，而，此时， 所以有一个零点，即曲线与直线有一个交点。

当时， 当时，恒正，无零点；

当时，，为增函数， 取，有；

当时，，而，此时；

因此，在有一个零点，即曲线与直线有一个交点。

综上所述，当 时，曲线与直线没有交点；
当 时，曲线与直线有一个交点。

【练1-3】（2015-2016大兴期末文19）已知函数． （Ⅰ）求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）设实数使得恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）设，求函数在区间上的零点个数． 【答案】（Ⅰ）
曲线在点处的切线方程为 (Ⅱ)设，则 令，解得：
当在上变化时，，的变化情况如下表：
+ 0 - ↗ ↘ 由上表可知，当时，取得最大值 由已知对任意的，恒成立 所以，得取值范围是。

(Ⅲ)令得：
由(Ⅱ)知，在上是增函数，在上是减函数. 且，， 所以当或时，函数在上无零点；

当或时，函数在上有1个零点；

当时，函数在上有2个零点 【练1-4】（2013-2014西城期末理18）已知函数，其中是自然对数的底数，. （Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由. 【答案】（Ⅰ）解：因为，， 所以． ……………… 2分 令，得． ……………… 3分 当变化时，和的变化情况如下：
↘ ↗ ……………… 5分 故的单调减区间为；
单调增区间为．………… 6分 （Ⅱ）解：结论：函数有且仅有一个零点. ……………… 7分 理由如下：
由，得方程， 显然为此方程的一个实数解. 所以是函数的一个零点. ……………… 9分 当时，方程可化简为. 设函数，则， 令，得． 当变化时，和的变化情况如下：
↘ ↗ 即的单调增区间为；
单调减区间为． 所以的最小值. ………………11分 因为 ， 所以， 所以对于任意，， 因此方程无实数解． 所以当时，函数不存在零点. 综上，函数有且仅有一个零点. ………………13分 【练1-5】（2012-2013石景山期末理18）已知函数是常数． （Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；

（Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方；

（Ⅲ）讨论函数零点的个数． 【答案】（Ⅰ）
…………………1分 ，，所以切线的方程为 ，即． …………………3分 （Ⅱ）令则 ↗ 最大值 ↘ …………………6分 ，所以且，，， 即函数的图像在直线的下方． …………………8分 （Ⅲ）令， . 令 ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，的最大值为. 所以若，则无零点；
若有零点，则．………………10分 若，，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点. 若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）. 若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；
又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点. 综上所述，当时，无零点；

当或时，有且仅有一个零点；

当时，有两个零点. …………………13分 【练1-6】（2014-2015东城高一模理18）已知函数，. （Ⅰ）若在处取得极值，求的值；

（Ⅱ）若在区间上单调递增, 求的取值范围；

（Ⅲ）讨论函数的零点个数. 【答案】（Ⅰ）因为， 由已知在处取得极值， 所以. 解得，经检验时，在处取得极小值. 所以. ……3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，. 因为在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立. 即在区间上恒成立. 所以. ……8分 （Ⅱ）因为， 所以，. 令得， 令，. . 当时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减. 所以. 综上：当时，函数无零点， 当或时，函数有一个零点， 当时，函数有两个零点. 考点二、已知函数存在零点情况求参数范围；

【例2-1】（2015-2016房山二模理18）已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。

【答案】（Ⅰ）
令 得 变化情况 - + 减 增 所以 函数在区间为减函数，在区间为增函数 （Ⅱ）解法一（分离参数法）：
主要的步骤如下：
1写定义域：求出函数的定义域 2分离参数：将等式转化为参数放在等号一边，等号另外一边为一个函数g（x）
3画图象：准确画出g（x）的图象 4移直线：将直线y=b的直线由上往下移动观察交点个数 下面是每一步的注意事项：
1写定义域：一定要先写出函数的定义域 2分离参数：分离参数的时候也要注意对等式变化的时候定义域的改变 3：画图像：这里涉及到画出准确函数图像的注意事项 A：首先通过求导研究函数的单调性（在定义域范围内）
B：画出各极值点 C：画断点（定义域内取不到的值的走势）-----找渐近线1 D:画正负无穷处的点----------找渐近线2 E：将各处用光滑的曲线连接起来 4：移直线：移动的时候看交点要注意所取点空心和实心。

解法一（分离参数法）：直线与曲线没有公共点，等价于 方程无实数解，不是该方程的解，所以等价 方程无解 设 则 令 得 在区间上， 在区间上，在区间上 所以 在上递增，在上递减，在上递减 所以，当时，取得极大值 当无限增大时，无限趋近于1 所以 的值域为 方程无解，则的取值范围为 解法二：构造新函数法（略）
解法三（转化为过某一定点直线和曲线的交点）：
因为直线与曲线没有公共点， 所以方程，即无实数解 所以直线与曲线没有公共点， 设过点的直线与曲线相切于点 因为，所以直线的斜率 所以直线的方程为 因为直线过点，所以，所以 因为直线与曲线无交点 所以，即 【例2-2】（2015-2016海淀期末文19）已知函数，其中. 当时，求函数的单调区间和极值；

若关于的方程有解，求实数k的取值范围. 【答案】由题可知函数定义域为：
当时， 令得。

当变化时，和的变化如下表：
X 1 — 0 + 极小值 ∴的单调递增区间为：
的单调递减区间为：
∴在时存在极小值：
由题意得，方程有解即为有解， 令 ，令得 （1）当时，令得 令得 在上单调递减，在上单调递增 ∴ ①当时，,函数有一个解。

②当时， 且 （2）当时，恒成立，在上恒减 且当时， 综上所述：。

【练2-1】（2015-2016丰台期末理18）已知函数. （Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）若存在实数，且，使得，求实数a的取值范围. 【答案】（Ⅰ）， 令得，. x 0 + 0 _ 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 ∴函数的极大值为；

极小值为. (Ⅱ) 若存在，使得，则 由（Ⅰ）可知，需要（如图1）或（如图2）. （图1）
（图2）
于是可得. 【练2-2】（2015-2016石景山期末文20）已知函数,. （Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）
由在处取得极大值,得, 所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立, 所以恒成立,即恒成立, 由于,得. 所以的取值范围是. （Ⅲ）, 故,得或 当时, ,在上是增函数,显然不合题意. 当时, 随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需, 即 , 解得 所以的取值范围是. 【练2-3】（2015-2016丰台二模文19）设函数． （Ⅰ）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）若函数在区间上存在唯一零点，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）， （1）若，则在区间上，单调递增.所以当时， 的单调递增区间为，没有极值点. （2）若，令，即，解得， 因为函数在区间是递增函数， 所以在区间内，单调递减；
在区间内,单调递增. 所以当时， 的单调递减区间为， 的单调递增区间为所以当时，函数有极小值为. （Ⅱ）（1）当时，由（Ⅰ）可知， 在上单调递增， 因为， 令，得. 所以当时，在区间上上存在唯一零点. （2）当时，由（Ⅰ）可知，为函数的最小值点 因为，若函数在区间上上存在唯一零点，则只能是：
① ，或②. 由①得；
由②得. 综上所述，函数在区间上上存在唯一零点， 则或. 【练2-4】（2015-2016海淀二模文19）已知函数 （1）当时，求函数的单调区间; （2）若关于的不等式在上有解，求的取值范围；

（3）若存在，使得既是函数的零点，又是函数的极值点，请写出此时的值.（只需写出结论）. 【答案】（1）当时， 令，从而和时，时 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。

（Ⅱ）要使在上有解，只要在上的最小值小于等于. 因为， 令，得到. 当时，即时， 在区间上单调递增，为上最小值 所以有，即，解得或， 所以有；

当时，即时，在区间上单调递减，在上单调递增， 所以为上最小值， 所以有，即， 解得，所以. 综上，得. 法二：（Ⅱ）要使在上有解，只要在上的最小值小于等于. 因为， 所以当，即时 满足题意， 当时， 因为， 令，得到， 因为，所以在区间上的单调递增， 所以在区间上的最小值为， 所以，根据上面得到，矛盾. 综上，. （Ⅲ）
【练2-5】（2015-2016丰台二模理18）设函数. （Ⅰ）当时，求函数在区间内的最大值；

（Ⅱ）若函数在区间内有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）当时，， 与、之间的关系如下表：
1 + 0 - 增函数 极大值 减函数 函数在区间内只有一个极大值点，所以这个极值点也是最大值点，---4分 最大值. （Ⅱ）
（1）当时，，显然在区间内没有两个零点，不合题意. (2)当时，，. ①当且时，，函数区间上是增函数，所以函 数 区间上不可能有两个零点，所以不合题意；

②当时，在区间上与、之间的关系如下表：
+ 0 - 增函数 极大值 减函数 因为，若函数区间上有两个零点， 则，所以，化简. 因为， , 所以. 综上所述，当时，函数在区间内有两个零点. 【练2-6】（2015-2016房山一模理18）已知函数，其中 （Ⅰ）当，求函数的极大值；

（Ⅱ）若在区间上仅有一个零点，求实数的取值范围是。

【答案】（Ⅰ）a=-2时， ，f（1）= - a – 1 = -（-2）-1为极大值1。

（Ⅱ）
当 时，f（x）在 所以f（1）=0 即-a-1=0，a=-1。或者 但无解舍 当 由f(1)=-a-1<0知 只需f（e）>0 解得 所以 ，f（x）在（0，1）上递增，（1，e）上递减，且 f（1）此时（0，e）上不可能有零点 综上a=-1或者 【练2-7】（2015西城二模文）已知函数，其中. （Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，证明：存在实数，使得对任意的，都有成立；

（Ⅲ）当时，是否存在实数，使得关于的方程仅有负实数解？当时的情形又如何？(只需写出结论) 【答案】（Ⅰ）解：当时，函数， 求导，得， ………………2分 因为，， ………………3分 所以函数的图象在点处的切线方程为.………………4分 （Ⅱ）证明：当时，的定义域为. 求导，得， ………………5分 令，解得，， ………………6分 当变化时，与的变化情况如下表：
+ 0 0 + ↗ ↘ ↗ ………………8分 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 又因为，当时，；
当时，， 所以当时，；
当时，. 记，其中为两数， 中最大的数， 综上，当时，存在实数，使得对任意的实数，不等式 恒成立. ………………10分 （Ⅲ）解：当与时，不存在实数，使得关于实数的方程仅 有负实数解. ………………13分 考点三、已知函数不存在零点求参数范围；

【例3-1】（2015-2016石景山一模文19）已知函数． （Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）证明：当时，；

（Ⅲ）当时，方程无解，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）， 令解得， 易知在上单调递减，在上单调递增， 故当时，有极小值 （Ⅱ）令，则， 由（Ⅰ）知， 所以在上单调递增， 所以， 所以. （Ⅲ）方程，整理得， 当时，. 令， 则， 令，解得， 易得在上单调递减，在上单调递增， 所以时，有最小值， 而当越来越靠近时，的值越来越大， 又当，方程无解， 所以. 【例3-2】（2013-2014海淀期末理18）已知关于的函数 （Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）若函数没有零点，求实数取值范围. 【答案】（Ⅰ），. ------------------------------------------2分 当时，,的情况如下表：
2 0 ↘ 极小值 ↗ 所以，当时，函数的极小值为. -----------------------------------------6分 （Ⅱ）. ①当时，的情况如下表：
2 0 ↘ 极小值 ↗ --------------------------------7分 因为, ------------------------------8分 若使函数没有零点，需且仅需，解得,-------------------9分 所以此时；

-----------------------------------------------10分 ②当时，的情况如下表：
2 0 ↗ 极大值 ↘ --------11分 因为,且,---------------------------12分 所以此时函数总存在零点. --------------------------------------------13分 综上所述，所求实数的取值范围是. 【练3-1】（2013-2014朝阳一模文18）设函数，，，记. （Ⅰ）求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）当时，若函数没有零点，求的取值范围. 【答案】(I)，则函数在处的切线的斜率为. 又， 所以函数在处的切线方程为,即 ………………4分 （Ⅱ）， ，（）. ①当时，，在区间上单调递增；

②当时，令，解得；
令，解得. 综上所述，当时，函数的增区间是；

当时，函数的增区间是，减区间是. ………………9分 （Ⅲ）依题意，函数没有零点，即无解. 由（Ⅱ）知，当时，函数在区间上为增函数,区间上为减函数， 由于，只需， 解得. 所以实数的取值范围为. …………………………………………………13分 综上所述，所求实数的取值范围是. 【练3-2】（2014-2015通州期末理18）已知函数 ， （Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若方程没有实数根，求取值范围． 【答案】（Ⅰ）因为函数，所以………………… 1分 （1）当时，所以的递增区间是，无递减区间.…… 3分 （2）当时，令，得，令，得 所以的递增区间是，递减区间是 …………………… 5分 综上，当时，的递增区间是，无递减区间， 当时，的递增区间是，递减区间是 （Ⅱ）（1）当时， 在上显然无零点， 所以方程没有实数根. …………………… 6分 （2）当时，在上单调递增， 因为，，所以 所以在上有零点. 所以方程有实数根. …………………… 8分 （3）当时，的递增区间是，递减区间是， 所以是的极小值，也是的最小值. 所以没有实数根等价于 …………………… 11分 所以所以 所以所以. …………………… 12分 综上，的取值范围是 …………………… 13分 考点四、证明函数零点情况；

【例4-1】（2015-2016海淀期末理18）已知函数. （Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）求证：当时，关于的不等式在区间上无解. （其中）
【答案】（Ⅰ）因为, 所以， 当时，. 令 ， 得 ， 所以随的变化情况如下表：
极大值 极小值 所以在处取得极大值， 在处取得极小值. 函数的单调递增区间为，, 的单调递减区间为 （Ⅱ）证明：不等式在区间上无解，等价于在区间上恒成立， 即函数在区间上的最大值小于等于1. 因为， 令，得. 因为时，所以. 当时，对成立，函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为, 所以不等式在区间上无解；

当时，随的变化情况如下表：
↘ 极小值 ↗ 所以函数在区间上的最大值为或. 此时, ， 所以 . 综上，当时，关于的不等式在区间上无解. 【例4-2】（2015-2016房山一模文19）已知函数， （I）求曲线在处的切线方程；

（II）求的单调区间 （III）设，其中，证明：函数仅有一个零点 【答案】（I）
其中， 所以曲线在处的切线方程 （II）的定义域为 ， 令，解得 令，解得 所以，的单增区间为，单减区间为 （III），定义域为 又 ① 当时，恒成立，即在上单调递增 又 即 可知函数仅有一个零点 ② 时， 令，解得或 令，解得 所以，在，上单调递增，在上单调递减 又 又， 可知在有一个零点，即函数仅有一个零点 综上所诉，函数仅有一个零点 【练4-1】（2015-2016房山一模文19）已知函数， （I）求曲线在处的切线方程；

（II）求的单调区间 （III）设，其中，证明：函数仅有一个零点 【答案】（I）
其中， 所以曲线在处的切线方程 （II）的定义域为 ， 令，解得 令，解得 所以，的单增区间为，单减区间为 （III），定义域为 又 ① 当时，恒成立，即在上单调递增 又 即 可知函数仅有一个零点 ② 时， 令，解得或 令，解得 所以，在，上单调递增，在上单调递减 又 又， 可知在有一个零点，即函数仅有一个零点 综上所诉，函数仅有一个零点 考点五、函数交点问题；

【例5-1】（2015-2016东城期末文19）已知函数，. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线的方程；

（Ⅱ）若曲线与轴有且只有一个交点，求的取值范围；

（Ⅲ）设函数，请写出曲线与最多有几个交点.（直接写出结论即可）
【答案】（Ⅰ）当时，，. 当时，，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （Ⅱ）由，得. 当时，，此时在上单调递增. 当时，，当时，， 所以当时，曲线与轴有且只有一个交点；

当时，令，得. 与在区间上的情况如下：
极大值 若曲线与轴有且只有一个交点， 则有，即.解得. 综上所述，当或时，曲线与轴有且只有一个交点. （Ⅲ）曲线与曲线最多有4个交点. 【例5-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，， 所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为 ，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即大于的最大值 令，，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。

2、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根， 令，，有只有一个零点 ， 1、当时，，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得， 1 - 0 + 0 - 减 极小值 增 极大值 减 易知 ，而当时，，所以在只存在一个零点。

3、当时，解得， 1 - 0 + 减 极小值 增 当时，，所以若只有一个零点，必须有 即， 综上所述，的取值范围为和 【练5-1】（2015-2016西城期末理18）已知函数 (,为自然对数的底数). （Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴,求的值；

（Ⅱ）求函数的极值；

（Ⅲ）当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值． 【答案】(Ⅰ)由,得. 又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得. (Ⅱ), ①当时,,为上的增函数, 所以函数无极值. ②当时,令,得,. ,;,. 所以在上单调递减,在上单调递增, 故在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上,当时,函数无极小值 当,在处取得极小值,无极大值. (Ⅲ)当时, 令, 则直线:与曲线没有公共点, 等价于方程在上没有实数解. 假设,此时,, 又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故. 又时,,知方程在上没有实数解. 所以的最大值为. 解法二: (Ⅰ)(Ⅱ)同解法一. (Ⅲ)当时,. 直线:与曲线没有公共点, 等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程: (*) 在上没有实数解. ①当时,方程(*)可化为,在上没有实数解. ②当时,方程(*)化为. 令,则有. 令,得, 当变化时,的变化情况如下表: 递减 递增 当时,,同时当趋于时,趋于, 从而的取值范围为. 所以当时,方程(*)无实数解, 解得的取值范围是. 综上,得的最大值为. 【练5-2】（2014-2015丰台期末理18）已知函数． （Ⅰ）求函数的极小值；

（Ⅱ）如果直线与函数的图象无交点，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）函数的定义域为R． 因为 ， 所以 ． 令，则． 0 - 0 + ↘ 极小值 ↗ 所以 当时函数有极小值． ………………6分 （Ⅱ）函数． 当时，， 所以要使与无交点，等价于恒成立． 令，即， 所以 ． ①当时，，满足与无交点；

②当时，， 而，， 所以，此时不满足与无交点． ③当时，令 ， 则， 当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

当时，． 由 得， 即与无交点． 综上所述 当时，与无交点． 导数专题五、恒成立问题和存在性问题 【知识结构】 【知识点】 求解函数的恒成立问题和存在性问题首先转化为函数的最值问题，主要的方法提炼：
一、已知不等式恒成立，求参数取值范围：分参法；

（1）分离参数，使不等式转化为（）恒成立；

（2）求导函数；

（3）找出的最大（小）值（）；

（4）解不等式（），得出参数取值范围． 二、已知不等式恒成立，求参数取值范围：讨论法；

（1）构造新函数，使不等式转化为（）恒成立；

（2）求导函数，判断函数的单调性；

（3）找出的最小（大）值（）；

（4）解不等式（），得出参数取值范围． 【考点分类】 考点一、单变量单函数的不等式型；

，，即求 ，，即求 【例1-1】（2015-2016朝阳期中文19）已知函数，． （Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求的取值范围；

（Ⅱ）当时，证明. 【答案】（I）函数的定义域为. 因为. 又因为函数在单调减，所以不等式在上成立. 设，则，即即可，解得. 所以的取值范围是. （Ⅱ）当时，， . 令，得或（舍）. 当变化时，变化情况如下表：
1 0 + 极小值 所以时,函数的最小值为. 所以成立. 【例1-2】（2015-2016海淀二模理18）已知函数. （Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若曲线存在两条互相垂直的切线，求实数的取值范围.（只需直接写出结果）． 【答案】（Ⅰ）时且， ， 令则或；
令则， 递增区间为和；
递减区间为。

（Ⅱ）在有解，在有解， 令，则在有解，即， 且， ， ① 当即时 在上递增，在上递减，在上递增， Ⅰ．若，则，则， 则在上递减，在上递增， 则恒成立， 满足条件。

Ⅱ．若，则，则，则在上递增， 则， ，，又，， ② 当即时，，在上递增， 在上递增，，由Ⅱ知与矛盾， ③ 当即时，在上递增，， 由Ⅱ知与矛盾， 综上所述：． （Ⅲ）。

【练1-1】（2015-2016东城一模理18）设函数，． （Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）求证：当时，． 【答案】（Ⅰ）当时，则， 则. 令得 － + ↘ ↗ 所以 当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

　　　当时，．　 （Ⅱ）因为， 所以恒成立，等价于恒成立． 设，， 得， 当时，， 所以　在上单调递减， 所以　时，． 因为恒成立， 所以． （Ⅲ）当时，，等价于． 设，． 求导，得． 由（Ⅰ）可知，时， 恒成立． 所以时，，有． 所以 ． 所以在上单调递增，当时，． 因此当时，． 【练1-2】（2015-2016东城二模文20）设函数 （1）若，求在区间上的最大值；

（2）设，求证：当时，过点有且只有一条直线与曲线相切；

（3）若对任意的，均有成立，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得， + 0 - 单调增 极大值 单调减 所以在取得最大值， （2）设切点坐标为，有，以及 联立化简得到，易知为单调递增函数 因此，与直线有且只有一个交点，因此切点只有一个， 因此，当时，过点有且只有一条直线与曲线相切。

（3）易知当时，满足条件 当时， 1）当时，满足条件 2）当时，有，整理得到 因此有，因为，所以，所以 3）当时，有 令，有 设，有，当时， 因此当时，，所以当时，单调递增，最小值为，因此 综上所述，的取值范围为 【练1-3】（2013-2014朝阳二模理18）已知函数，. （Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设，当时，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）由已知得． 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以．所以． 所以． ……………3分 （Ⅱ）函数的定义域是，． （1）当时，成立，所以的单调增区间为． （2）当时， 令，得，所以的单调增区间是；

令，得，所以的单调减区间是． 综上所述，当时，的单调增区间为；

当时，的单调增区间是， 的单调减区间是． ……………8分 （Ⅲ）当时，成立，． “当时，恒成立” 等价于“当时，恒成立．” 设，只要“当时，成立．” ． 令得，且，又因为，所以函数在上为减函数；

令得，，又因为，所以函数在上为增函数． 所以函数在处取得最小值，且． 所以． 又因为， 所以实数的取值范围． ……………13分 （Ⅲ）另解：
（1）当时，由（Ⅱ）可知， 在上单调递增，所以． 所以当时，有成立． （2）当时， 可得． 由（Ⅱ）可知当时，的单调增区间是， 所以在上单调递增，又，所以总有成立． （3）当时，可得． 由（Ⅱ）可知，函数在上为减函数，在为增函数， 所以函数在处取最小值， 且． 当时，要使成立，只需， 解得．所以． 综上所述，实数的取值范围 【练1-4】（2010-2011海淀一模文18）已知函数. （Ⅰ）若，求函数的极值和单调区间；

（Ⅱ）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数 的取值范围. 【答案】（I）因为 ， …………………2分 当， ， 令，得 ， …………………3分 又的定义域为， ，随的变化情况如下表：
0 极小值 所以时，的极小值为1 . …………………5分 的单调递增区间为，单调递减区间为；

…………………6分 （II）解法一：
因为 ，且， 令，得到 ， 若在区间上存在一点，使得成立， 其充要条件是在区间上的最小值小于0即可. …………………7分 （1）当，即时，对成立， 所以，在区间上单调递减， 故在区间上的最小值为， 由，得，即 …………………9分 （2）当，即时， ① 若，则对成立，所以在区间上单调递减， 所以，在区间上的最小值为， 显然，在区间上的最小值小于0不成立 …………………11分 ② 若，即时，则有 极小值 所以在区间上的最小值为， 由， 得 ，解得，即. …………………13分 综上，由(1)（2）可知：符合题意. …………………14分 解法二：若在区间上存在一点，使得成立， 即， 因为, 所以，只需 …………………7分 令，只要在区间上的最小值小于0即可 因为， 令，得 …………………9分 （1）当时：
极大值 因为时，，而， 只要，得，即 …………………11分 （2）当时：
极小值 所以，当 时，极小值即最小值为， 由， 得 ，即. …………………13分 综上，由(1)（2）可知，有 . …………………14分 【练1-5】（2013-2014房山一模文18）
已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若对于任意的，都有，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）∵f（x）=ex（x+1）， ∴f′（x）=ex（x+1）+ex=ex（x+2）， ∴f′（0）=e0•（0+2）=2， 又f（0）=1， ∴曲线曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：
y-1=2（x-0），即2x-y+1=0；

（Ⅱ）令f′（x）=0，得x=-2， 当x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下表：
x （-∞，-2）
-2 （-2，0）
f′（x）
- 0 + f（x）
↘ 极小值 ↗ ∴f（x）在（-∞，-2）上递减，在（-2，0）上递增， ∴f（x）在（-∞，0）上的最小值是f（-2）=-e-2． ∴-e-2＞k，即k＜-e-2． ∴k的取值范围是（-∞，-e-2）． 【练1-6】（2015-2016朝阳二模文20）已知函数. (Ⅰ)求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，若在区间上恒成立，求的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 函数的定义域为, . （5）
当时，, 令，解得，则函数的单调递增区间为 令，解得，函数单调递减区间为. 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （6）
当时，, 令，解得或，则函数的单调递增区间为 ；

令，解得，函数单调递减区间为. 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （7）
当时，恒成立， 所以函数的单调递增区间为. （8）
当时，, 令，解得或，则函数的单调递增区间为 ，；

令，解得，则函数的单调递减区间为. 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 （Ⅱ）依题意，在区间上. ，. 令得，或. 若，则由得，，函数在()上单调递增. 由得，,函数在()上单调递减. 所以，满足条件；

若，则由得，或；

由得，. 函数在(),上单调递增,在上单调递减. ， 依题意 ，即，所以；

若，则. 所以在区间上单调递增，，不满足条件；

综上，. 考点二、单变量双函数的不等式型；

，，构造新函数，即求；

，，构造新函数，即求；

【例2-1】（2015-2016昌平期末文20）已知函数． （Ⅰ）求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）证明：当时，；

（Ⅲ）设，若存在最大值，且当最大值大于时，确定实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）解：定义域为，. 由题意，， ，所以函数在点处的切线方程为.（Ⅱ）证明：当时，，可转化为 当时，恒成立. 设， 所以. 当时，，所以在上为减函数，所以， 所以当时，成立. （Ⅲ）设，定义域为， 所以. ⑴当时，对于任意的，， 所以在上为增函数，所以无最大值，即不符合题意. ⑵当时，令，即，则. 所以，变化如下：
0 + 0 - ↗ 极大值 ↘ 因为. 所以成立，即， 令，， 所以，即在上为增函数. 又因为，所以当时，. 所以，时，命题成立. 综上，的取值范围为. 【例2-2】（2015-2016丰台一模理18）已知函数. （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）若在区间上恒成立，求的最小值. 【答案】（Ⅰ）设切线的斜率为 因为，切点为. 切线方程为，化简得：. （Ⅱ）要证：
只需证明：在恒成立， 当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时 在恒成立 所以. （Ⅲ）要使：在区间在恒成立， 等价于：在恒成立， 等价于：在恒成立 因为== ①当时，，不满足题意 ②当时，令，则或（舍）. 所以时，在上单调递减；

时，在上单调递增；

当时 当时，满足题意 所以，得到的最小值为 【练2-1】（2015-2016石景山一模理18）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当时，；

（Ⅲ）若对恒成立，求实数的最大值． 【答案】 （Ⅰ），． 所以切线方程为． （Ⅱ）令， 则， 当时，设，则 所以在单调递减， 即，所以………6分 所以在上单调递减，所以， 所以． （Ⅲ）原题等价于对恒成立， 即对恒成立，………9分 令，则． 易知，即在单调递增， 所以，所以， 故在单调递减，所以． 综上所述，的最大值为 ． 【练2-2】（2015-2016大兴期末文19）已知函数． （Ⅰ）求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）设实数使得恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）设，求函数在区间上的零点个数． 【答案】（Ⅰ）
曲线在点处的切线方程为 (Ⅱ)设，则 令，解得：
当在上变化时，，的变化情况如下表：
+ 0 - ↗ ↘ 由上表可知，当时，取得最大值 由已知对任意的，恒成立 所以，得取值范围是。

(Ⅲ)令得：
由(Ⅱ)知，在上是增函数，在上是减函数. 且，， 所以当或时，函数在上无零点；

当或时，函数在上有1个零点；

当时，函数在上有2个零点 【练2-3】（2015-2016东城二模理18）已知 （I）求的单调区间 （II）当时，求证：对于恒成立；

（III）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围。

【答案】（I）的定义域是，， 令，得：，（舍）
+ 0 - 单调增 极大值 单调减 （II）设，由题意只需证明：即可。

， 可得，在上，，且在单调递减， 所以对于恒成立，得证。

（III）由（II）得：
当时，，所以， ， 又因为当时，，所以， 则此时没有满足条件的 当时，令 则，令，， 因为，又因为，所以，存在满足题意。

综上，的取值范围是。

【练2-4】（2015-2016朝阳二模理18）已知函数，． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，若曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内，试求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）当时, ，． ． 则，而． 所以曲线在点(1,)处的切线方程为，即． （Ⅱ）依题意当时，曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内，等价于当时，恒成立． 设，． 所以． （1）当，即时，当时，，为单调减函数， 所以． 依题意应有 解得所以． （2）若 ，即时，当，，为单调增函数， 当，，为单调减函数． 由于，所以不合题意． （3）当，即时，注意到，显然不合题意． 综上所述，． 【练2-5】（2013-2014海淀一模理18）已知曲线. (Ⅰ)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；

(Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围. 【答案】， -----------------------------------2分 因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：， 所以且. ----------------------------------4分 解得， -----------------------------------5分 （Ⅱ）法1：
对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于 ∀x,，都有， 即∀x,R，恒成立， --------------------------------------6分 令， ----------------------------------------7分 ①若a=0，则， 所以实数b的取值范围是；

----------------------------------------8分 ②若,， 由得， ----------------------------------------9分 的情况如下：
0 0 + 极小值 -----------------------------------------11分 所以的最小值为， -------------------------------------------12分 所以实数b的取值范围是；

综上，实数b的取值范围是． --------------------------------------13分 法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于 ∀x,，都有，即 ∀x,R，恒成立， -------------------------------------------6分 令，则等价于∀，恒成立， 令，则 ， -----------------------------------------7分 由得， ----------------------------------------9分 的情况如下：
0 0 + 极小值 -----------------------------------------11分 所以 的最小值为， ------------------------------------------12分 实数b的取值范围是． --------------------------------------------13分 【练2-7】（2015-2016西城一模文19）已知函数，且 (Ⅰ)求的解析式 (Ⅱ)若对于任意，都有，求m的最小值 (Ⅲ)证明：函数的图像在直线的下方. 【答案】对求导，得， 所以，解得， 所以. （Ⅱ）解：由，得， 因为， 所以对于任意，都有. 设，则 . 令 ，解得. 当x变化时，与的变化情况如下表：
极大值 所以当时，. 因为对于任意，都有成立， 所以 . 所以的最小值为. （Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方”等价于“”， 即要证， 所以只要证. 由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）. 所以只要证明当时，即可. 设， 所以， 令，解得. 由，得，所以在上为增函数. 所以，即. 所以. 故函数的图象在直线的下方. 【练2-8】（2015-2016东城一模文19）
已知函数， （1）若在处取得极值，求的值；

（2）求在区间上的最小值；

（3）在（1）的条件下，若，求证：当时，恒有成立。

【答案】（1）定义域为 ，因为函数在处取得极值，所以有， 解得 （2）
1）当时， 在单调递增，所以该区间上的最小值为 2）当时， 在单调递增，所以该区间上的最小值为 3）当时， - 0 + 减 极小值 增 所以在该区间的最小值为 综上所述，当时，在的最小值为1；

当时，在的最小值为。

（3）由已知得，，所以在时，恒有 若要证明当时，恒有成立，只需证明， 即证明恒成立。

令 令，有 当时，恒有，所以当时， 所以，，所以在时，单调递减， 因此恒成立，所以，当时，恒有成立。

【练2-9】（2015-2016大兴期末理18）已知函数. （Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）当 时，， 所以，函数在点处的切线方程为 即：
(Ⅱ)函数的定义域为：
当时，恒成立，所以，在和上单调递增 当时，令，即：， , 所以，单调递增区间为，单调减区间为. （Ⅲ）因为在上恒成立，有 在上恒成立。

所以，令， 则. 令则 若，即时，，函数在上单调递增，又 所以，在上恒成立；

若，即时，当时，单调递增；

当时，，单调递减 所以，在上的最小值为， 因为所以不合题意. 即时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，在上的最小值为 又因为，所以恒成立 综上知，的取值范围是. 【练2-10】（2012-2013海淀二模文18）已知函数. （Ⅰ）当时，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值；

（Ⅱ）若，都有，求实数的取值范围. 【答案】（I）当因为, …………………2分 若函数在点处的切线与函数在点 处的切线平行， 所以，解得 此时在点处的切线为 在点 处的切线为 所以 …………………4分 （II）若，都有 记， 只要在上的最小值大于等于0 …………………6分 则随的变化情况如下表：
0 极大值 …………………8分 当时，函数在上单调递减，为最小值 所以，得 所以 …………………10分 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 ， 为最小值，所以，得 所以 ………………12分 综上， ………………13分 【练2-11】（2015-2016昌平期末理18）已知函数. （Ⅰ）若函数在点处的切线方程为，求切点的坐标；

（Ⅱ）求证：当时，；
（其中）
（Ⅲ）确定非负实数的取值范围，使得成立. 【答案】定义域为，. 由题意，，所以，即切点的坐标为. （Ⅱ）证明：当时，，可转化为 当时，恒成立. 设， 所以原问题转化为当时，恒成立. 所以. 令，则（舍），. 所以，变化如下：
0 + 0 - ↗ 极大值 ↘ 因为，， 所以. 当时，成立. （Ⅲ）解：，可转化为 当时，恒成立. 设， 所以. ⑴当时，对于任意的，， 所以在上为增函数，所以， 所以命题成立. 当时，令，则， ⑵当，即时，对于任意的，， 所以在上为增函数，所以， 所以命题成立. ⑶当，即时， 则（舍），. 所以，变化如下：
0 - 0 + ↘ 极小值 ↗ 因为， 所以，当时，命题不成立. 综上，非负实数的取值范围为. 考点三、双变量双函数的不等式型；

；

；

；

。

【例3-1】（2015-2016西城二模文15）已知函数 （I）若，求a的值 （II）设，若对于定义域内的任意，总存在使得，求a的取值范围 【答案】 (Ⅰ)证明：函数的定义域， 由题意，有意义，所以， 求导，得 所以 解得 (Ⅱ)解：“对于定义域内的任意，总存在使得”等价于“不存在最小值”. ①当时，由得无最小值，符合题意. ②当时，令 ，得或 随着的变化，与的变化情况如下表：
0 不存在 极小 不存在 所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为. 因为当时，，当时，. 所以. 所以当时，不存在使得. 综上所述：的取值范围为. 【例3-2】（2015-2016海淀一模文19）已知函数. (Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)求函数的零点和极值；

(Ⅲ)若对任意，都有成立，求实数的最小值. 【答案】 （Ⅰ）设切线斜率为，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即。

（Ⅱ）令，解得。当时，；
时，，所以函数零点有且只有一个，为1. 令，即解得。当时，；
当时，，所以函数在处取得极小值，无极大值。

（Ⅲ）由（II）知，当时，；
时，，且在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值。且。

，，所以只需。所以。所以的最小值为1。

考点四、双变量双函数的绝对值不等式型；

（一）
（1）对于任意的，，， 等价于且；

（2）对于任意的，，， 等价于或者；

（3）对于任意的，，， 等价于；

（二）
（1）若存在，存在，使得， 等价于且；

（2）若存在，存在，使得， 等价于或者；

（3）若存在，存在，使得，， 等价于；

（三）
（1）对于任意的，存在，使得， 等价于且；

（2）对于任意的，存在，使得， 等价于或者；

（3）对于任意的，若存在，， 等价于；

【例4-1】（2011-2012海淀二模文18）已知函数. （Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，若对任意，有成立，求实数的最小值. 【答案】（Ⅰ）当时，函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是， 当时， 函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，. （Ⅱ）
任意，使恒成立的实数的最小值为 【例4-1】（2016湖北理21）设是函数的一个极值点。

（Ⅰ）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

（Ⅱ）、设，。若存在使得成立，求的取值范围。

【答案】（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x, 由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a， 则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x ＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x. 令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点， 所以x+a+1≠0，那么a≠－4. 当a<－4时，x2>3＝x1，则 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。

当a>－4时，x2<3＝x1，则 在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]， 而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6， 那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6]. 又在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]， 由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须 （a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<. 故a的取值范围是（0，）。

【例4-2】【2013届山西省第四次四校联考】已知函数 （I）若函数在上是减函数，求实数的最小值；

（2）若，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．…1分 所以当时，．………………2分 又，………4分 故当，即时，． 所以于是，故a的最小值为． …………………………6分 （2）命题“若使成立”等价于 “当时，有”． 由（1），当时，，． 问题等价于：“当时，有”． ………………………8分 当时，≤0, 在上为减函数， 则=，故． ………10分… 当0<时，>0,由于在上为增函数， 故的值域为，即． 由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：
当时，，为减函数；
当时，，为增函数；

由=，． 所以，，与矛盾，不合题意． 综上，得． …………………………12分 【例4-3】【2013～2014年衡水中学高三上学期二调】已知函数 ；

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）求函数单调递增区间；

（3）若存在，使得（是自然对数的底数），求实数的取值范围. 【例4-4】（2015-2016年昌平二模理18）已知函数， ，且曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线. 设. （I）求的值，及的关系式；

（II）求函数的单调区间；

（III）设，若对于任意，都有，求的取值范围． 【答案】（I）因为函数，， 所以函数，. 又因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线， 所以，即 （II）由已知，. 所以. 设，所以， R，，所以在上为单调递增函数. 由（I）得，所以，即0是的零点. 所以，函数的导函数有且只有一个零点0． 所以及符号变化如下， - + ↘ 极小值 ↗ 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （III）由（II）知当 时，是增函数. 对于任意，都有等价于 ， 等价于当时，， 因为，所以在上是增函数， 又，所以. 【练4-1】（2013房山二模理）已知函数(). (Ⅰ)当时,求函数的单调区间; (Ⅱ)当时,取得极值. （1）若,求函数在上的最小值; （2）求证:对任意,都有. 【答案】（Ⅰ）
…………1分 当时， 解得或, 解得 ……………2分 所以单调增区间为和，单调减区间为………3分 （Ⅱ）①当时，取得极值， 所以 解得（经检验符合题意）
……………4分 + 0 - 0 + ↗ ↘ ↗ 所以函数在，递增，在递减. ……5分 当时，在单调递减， ………………6分 当时 在单调递减，在单调递增， . ………………7分 当时，在单调递增， ……………………8分 综上，在上的最小值 ……………………9分 ②令 得（舍）
因为 所以 ……………11分 所以，对任意，都有 【练4-2】（2012-2013房山二模文18）已知函数在处取得极值. （Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数在上的最小值；

（Ⅲ）求证：对任意，都有. 【答案】（Ⅰ）
……………1分 由已知得即 ……………2分 解得：
…………………………3分 当时，在处函数取得极小值，所以 （Ⅱ）， . - 0 + 减 增 所以函数在递减，在递增. ……………………4分 当时，在单调递增，. ………………………5分 当时， 在单调递减，在单调递增，. …………………………6分 当时，， 在单调递减， …………………………7分 综上 在上的最小值 ………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知， . 令 得 因为 所以 ……………11分 所以，对任意，都有 【练4-3】（2013-2014年东城零模文18）设函数 （Ⅰ）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；

（Ⅱ）设，若对任意，有，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）当 ． 又当， ． ．．．．．．6分 （Ⅱ）当时，． 对任意 上的最大值 与最小值之差,据此分类讨论如下：
（ⅰ）， ． （ⅱ）， ． （ⅲ）， ． 综上可知，． ．．．．．．14分 考点五、双变量双函数的等式型；

（一）
对任意的，存在，使得，则的值域是值域的子集，即；

（二）
存在，存在，使得，则的值域是值域有非空交集，即 【例5-1】（2015-2016丰台期末文20）设函数的图象与直线相切于点． （Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设函数，对于, ，使得，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）∵函数的图象与直线相切于点， ∴，． ∵， ∴ 解得． ∴． （Ⅱ）， 令，得或；

令，得． ∴的单调递增区间为，；
单调递减区间为． …8分 （Ⅲ）记在上的值域为,在上的值域为， ∵对于，，使得， ∴． 由（Ⅱ）得：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ，，，， ∴． ∵， ∴． ① 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴的最小值为或，的最大值为或． ∵，且， ∴或， ∴或， 即或． 又∵， ∴． ② 当时，在上单调递增，上单调递减， ∴的最小值为或，的最大值为 ． ∵，且， ∴， ∴，即． 综上所述：或． 【例5-2】（2014-2015海淀二模文19）已知函数，其中. （Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若对任意的，总存在，使得，求实数值. 【答案】（Ⅰ）
………………2分 当时，对，，所以 的单调递减区间为；

………………4分 当时，令，得. 因为 时，；
时，. 所以 的单调递增区间为，单调递减区间为. ………………6分 （Ⅱ）用分别表示函数在上的最大值，最小值. 当且时，由（Ⅰ）知：在上，是减函数. 所以 . 因为 对任意的，， ， 所以对任意的，不存在，使得. ………………8分 当时，由（Ⅰ）知：在上，是增函数，在上，是减函数. 所以 . 因为 对，， ， 所以 对，不存在，使得. ………………10分 当时，令. 由（Ⅰ）知：在上，是增函数，进而知是减函数. 所以 ,， ，. 因为 对任意的，总存在，使得，即， 所以 即 所以 ，解得. ………………13分 综上所述，实数的值为. 【练5-1】（2008天津文10）10．设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为（ B ）
A． B． C． D． 【练5-2】（2008天津理16）设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为 . a=2 考点六、其他的函数单调性问题、极值问题、最值问题、零点问题转化为恒成立问题和存在性问题；

【例6-1】（（2015-2016房山二模文19）已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。

【答案】（Ⅰ）,定义域为 ，令 极小值 所以的增区间为，减区间为。

（II）因为直线与曲线没有公共点， 所以方程无实根，即无实根，等价于无实根 设，即无零点。

当时，，显然无零点，符合题意；

当时，令 极小值 ，显然不符合题意；

当时，令 极大值 ，所以时，符合题意 综上所述：
导数专题六、渐近线和间断点问题 【知识结构】 【知识点】 对于函数的渐近线问题和间断点问题是函数问题中的特殊类型，渐近线问题主要是涉及到函数在无穷处的极限值会等于定值，这样的函数类型主要类型有如下的形式；

几种特殊函数的渐近线: 1.时；

（1）（幂函数的增长快于对数函数增长）；

（2）（高阶增长快于低阶增长）；

（3）（指数函数增长快于幂函数和对数函数增长）
2. 时；

（1）（高阶增长快于低阶增长）；

（2）（可转化为形式）
【考点分类】 考点一、函数的渐近线问题；

【例1-1】（2015-2016海淀一模文20）已知函数. （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的零点和极值；

（Ⅲ）若对任意，都有成立，求实数的最小值. 【答案】（Ⅰ）因为， . 所以. . 因为，所以曲线在处的切线方程为... （Ⅱ）令，解得， 所以的零点为. . 由解得， 则及的情况如下：
2 0 极小值 . 所以函数在 时,取得极小值 . （Ⅲ）法一：
当时，. 当时，. . 若，由（Ⅱ）可知的最小值为，的最大值为，. 所以“对任意，有恒成立”等价于 即， 解得. 所以的最小值为1. 法二：
当时，. 当时，. . 且由（Ⅱ）可知，的最小值为， . 若，令，则 而，不符合要求， 所以. 当时，, 所以，即满足要求， 综上，的最小值为1. . 法三：
当时，. 当时，. . 且由（Ⅱ）可知，的最小值为， . 若，即时， 令则任取, 有 所以对成立， 所以必有成立，所以，即. 而当时，, 所以，即满足要求， 而当时，求出的的值，显然大于1， 综上，的最小值为1. 【例1-2】（2016-2017海淀期中理19）已知函数. （Ⅰ）求的单调区间. （Ⅱ）求证：当时，函数存在最小值. 【答案】 【例1-3】（2009-2010西城一模理19）
已知函数，其中，其中 （I）求函数的零点；

（II）讨论在区间上的单调性；

（III）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；
若不存 在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）解，得， 所以函数的零点为. （Ⅱ）函数在区域上有意义， ， 令，得，， 因为，所以，. 当在定义域上变化时，的变化情况如下：
↗ ↘ 所以在区间上是增函数， 在区间上是减函数. （Ⅲ）在区间上存在最小值. 证明：由（Ⅰ）知是函数的零点， 因为， 所以，1 由知，当时，，1 又函数在上是减函数，且， 所以函数在区间上的最小值为，且， 所以函数在区间上的最小值为， 计算得. 【练1-1】（2009-2010西城一模文20）已知函数其中。

（I）若函数存在零点，求实数的取值范围；

（II）当时，求函数的单调区间；
并确定此时是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。

【答案】（I）或；

（II），，得或， 在，单调增加；
在单调减少， 此时，存在最小值. 的极小值为，根据的单调性，在区间上的最小值为. 解=0，得的零点为和， 结合， 可得在区间和，，因为，所以；

并且，即. 所以，当时，存在最小值，最小值为. 【练1-2】（2011-2012西城二模理19）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）解：当时，，． 由 ， 得曲线在原点处的切线方程是． （Ⅱ）解：． ① 当时，． 所以在单调递增，在单调递减． 当，． ② 当时，令，得，，与的情况如下：
↘ ↗ ↘ 故的单调减区间是，；
单调增区间是． ③ 当时，与的情况如下：
↗ ↘ ↗ 所以的单调增区间是；
单调减区间是，． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）得， 时不合题意． 当时，由（Ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值． 设为的零点，易知，且．从而时，；
时，． 若在上存在最小值，必有，解得． 所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是． 当时，由（Ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值． 若在上存在最大值，必有，解得，或． 所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是． 综上，的取值范围是. 【练1-3】（2008-2009海淀二模18）已知：函数（其中常数）. （Ⅰ）求函数的定义域及单调区间；

（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 【答案】（Ⅰ）函数的定义域为. . 由，解得. 由，解得且． ∴的单调递增区间为，单调递减区间为，. （Ⅱ）由题意可知，，且在上的最小值小于等于时，存在实数，使得不等式成立. 若即时， x a+1 - 0 + ↘ 极小值 ↗ ∴在上的最小值为． 则，得． 若即时，在上单调递减，则在上的最小值为． 由得（舍）． 综上所述，． 例7.（12西城二模理科19）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围． 【答案】当时，，． 由 ， 得曲线在原点处的切线方程是． （Ⅱ）解：． ① 当时，． 所以在单调递增，在单调递减． 当，． ② 当时，令，得，，与的情况如下：
↘ ↗ ↘ 故的单调减区间是，；
单调增区间是． ③ 当时，与的情况如下：
↗ ↘ ↗ 所以的单调增区间是；
单调减区间是，． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）得， 时不合题意． 当时，由（Ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值． 设为的零点，易知，且．从而时，；
时，． 若在上存在最小值，必有，解得． 所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是． 当时，由（Ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值． 若在上存在最大值，必有，解得，或． 所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是． 综上，的取值范围是． 考点二、函数的间断点问题；

【例2-1】（2015-2016西城二模理18）设,函数；

（1）若函数在（0，f(0)）处的切线与直线y=3x-2平行，求a的值 （2）若对于定义域内的任意，总存在使得，求a的取值范围；

【答案】（Ⅰ）证明：函数的定义域， 由题意，有意义，所以. 求导，得. 由题意，得，解得. 验证知符合题意. （Ⅱ）解：“对于定义域内的任意，总存在使得”等价于“不存在最小值”． ① 当时， 由，得无最小值，符合题意． ② 当时， 令，得 或 . 随着x的变化时，与的变化情况如下：
不存在 0 ↘ 不存在 ↗ 极大 ↘ 所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为． 9分 因为当时，，当时，， 所以只要考虑，且即可． 当时， 由在上单调递减，且， 得， 所以存在，使得，符合题意；

同理，当时，令， 得，也符合题意；

故当时，对于定义域内的任意，总存在使得成立． ③ 当时， 随着x的变化时，与的变化情况如下表：
0 不存在 ↘ 极小 ↗ 不存在 ↘ 所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为． 因为当时，，当时，， 所以． 所以当时，不存在使得． 综上所述，a的取值范围为. 【例2-2】（2015-2016西城二模文19）已知函数 （1）若，求a的值 （2）设，若对于定义域内的任意，总存在使得，求a的取值范围 【答案】(Ⅰ)证明：函数的定义域， 由题意，有意义，所以， 求导，得 所以 解得 (Ⅱ)解：“对于定义域内的任意，总存在使得”等价于“不存在最小值”. ①当时，由得无最小值，符合题意. ②当时，令 ，得或 随着的变化，与的变化情况如下表：
0 不存在 极小 不存在 所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为. 因为当时，，当时，. 所以. 所以当时，不存在使得. 综上所述：的取值范围为. 【练2-1】（2012-2013海淀期末理18）已知函数 （I）
当时,求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间. 【答案】当时，， 又，， 所以在处的切线方程为 （II）
当时， 又函数的定义域为 所以 的单调递减区间为 当 时，令，即，解得 当时，， 所以，随的变化情况如下表 无定义 0 极小值 所以的单调递减区间为，，
　　　单调递增区间为 当时， 所以，随的变化情况如下表：
0 无定义 极大值 所以的单调递增区间为，
　　　单调递减区间为， 【练2-2】（2012-2013门头沟一模文16）已知函数，其中． （Ⅰ）在处的切线与轴平行，求的值；

（Ⅱ）求的单调区间． 【答案】（Ⅰ）． 依题意，由，得． 经检验， 符合题意． （Ⅱ）① 当时，． 故的单调减区间为，；
无单调增区间． ② 当时，． 令，得，． 和的情况如下：
↘ ↗ ↘ 故的单调减区间为，；
单调增区间为． 1 ③ 当时，的定义域为． 因为在上恒成立， 故的单调减区间为，，；
无单调增区间． 【练2-3】（2012-2013西城期末理18）已知函数，其中． （Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）设．若，使，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）① 当时，． 故的单调减区间为，；
无单调增区间． ② 当时，． 令，得，． 和的情况如下：
↘ ↗ ↘ 故的单调减区间为，；
单调增区间为． ③ 当时，的定义域为． 因为在上恒成立， 故的单调减区间为，，；
无单调增区间． （Ⅱ）解：因为，， 所以 等价于 ，其中． 设，在区间上的最大值为． 则“，使得 ”等价于． 所以，的取值范围是． 。

导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 【知识结构】 【知识点】 一、超越函数的定义 超越函数：指的是变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如对数函数，指数函数等就属于超越函数。

二、判断超越函数零点存在性的方法 1.图像 根据基本初等函数的图像是否存在交点判断。

2.特殊点 带入特殊点判断：如 0，1，-1，e等 3.单调性与切线 利用单调性和切线判断 4.极限 通过函数的极限判断 特殊点的取法与目的 【考点分类】 考点一、利用特殊点法求解（无参数的超越函数）
含有的函数：常取等 含有的函数：常取等 终极目的：消参，有理化，最终简单化 【例1-1】求的零点。

【例1-2】求的零点。

考点二、取特值法解不等式（含参，可以参变分离）
【例2-1】（2015-2016朝阳一模理18）已知函数． （Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由． 解：设切点为，则切线斜率， 切线方程为． 因为切线过点，则． 即． 令 ，则 ． 当时, 在区间上，，单调递减， 在区间上，，单调递增， 所以函数的最小值为． 令>0,解得 取，则． 故在上存在唯一零点． 不等式放缩部分（解法探究）
标答 取，则 ． 设，，则． 当时，恒成立． 所以在单调递增，恒成立．所以． 故在上存在唯一零点． 因此当时，过点P存在两条切线． （3）当时，，显然不存在过点P的切线． 综上所述，当时，过点P存在两条切线；

当时，不存在过点P的切线．…………………………………………………13分 考点三、利用切线求解；

【例3-1】（2012-2013石景山期末理18）已知函数是常数． （Ⅲ）讨论函数零点的个数． 【答案】令， . 令 ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，的最大值为. 所以若，则无零点；
若有零点，则． 若，，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点. 若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较， 知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）. 若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；

又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点. 切线方法：
综上所述，当时，无零点；

当或时，有且仅有一个零点；

当时，有两个零点. 考点四、利用函数放缩求解；

【例4-1】（2014-2015年朝阳一模理18）已知函数，． （Ⅱ）
当时，讨论函数的零点个数. 解：（Ⅱ）,. （1）当时， 时,,为减函数;时，，为增函数. 所以在时取得最小值. （ⅰ）当时，，由于，令，， 则在上有一个零点；

（ⅱ）当时，即时，有一个零点；

（ⅲ）当时，即时，无零点. （ⅳ）当时，即时， 由于（从右侧趋近0）时，；
时，， 所以有两个零点. 不等式放缩：， 由于（从右侧趋近0）时，；
时，， 所以有两个零点. (2)当时， 时,,为增函数;时，，为减函数；

时，，为增函数.所以在处取极大值， 在处取极小值.. 当时，,即在时，. 而在时为增函数，且时，， 所以此时有一个零点. 且时，， 所以此时有一个零点. (4) 当时，在上恒成立，所以为增函数. ，且（从右侧趋近0）时，；

时，.所以有一个零点. 综上所述，或时有一个零点；
时，无零点；

有两个零点. 【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数. （Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明. 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意. 当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使 ，必须，即.所以 . 当时，. 令，则. 当时，，所以，在上是增函数. 所以 当时，.所以 . 所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数， 所以 .综上所述，的取值范围是. 因为 ，，所以 . 特值探究 令.则. 不等式放缩：
因为 ，， 且由（Ⅰ）得，在内是减函数， 所以 存在唯一的，使得. 当时，. 所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线. 由得：. 所以 . 因为 ,所以 ，. 所以 . 【例4-3】（2014-2015海淀二模理18）
已知函数. （Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为 ，， 且由（Ⅰ）得，在内是减函数， 所以 存在唯一的，使得. 当时，. 所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线. 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化. 【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论；

【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数， ，. （Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）
由在处取得极大值,得, 所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立, 所以恒成立,即恒成立, 由于,得. 所以的取值范围是. （Ⅲ）, 故,得或 当时, ,在上是增函数,显然不合题意. 当时, 随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需, 即 , 解得 所以的取值范围是. 【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，， 所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为 ，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即大于的最大值 令，，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。

2、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根， 令，，有只有一个零点 ， 1、当时，，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得， 1 - 0 + 0 - 减 极小值 增 极大值 减 易知 ，而当时，，所以在只存在一个零点。

3、当时，解得， 1 - 0 + 减 极小值 增 当时，，所以若只有一个零点，必须有 即， 综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围；

（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；

（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立， 即，在上恒成立， 则 （Ⅱ）当时，,． （ⅰ）令，得． 令,得，所以函数在单调递增． 令,得，所以函数在单调递减． 所以，． 所以成立． （ⅱ）由（ⅰ）知， ， 所以． 设所以． 令，得． 令,得，所以函数在单调递增， 令,得，所以函数在单调递减；

所以，， 即． 所以 ，即． 所以，方程没有实数解． 【练1-1】（2015-2016东城一模理18）设函数，． （Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）求证：当时，． 【答案】（Ⅰ）当时，则， 则. 令得 － + ↘ ↗ 所以 当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

　　　当时，．　 （Ⅱ）因为， 所以恒成立，等价于恒成立． 设，， 得， 当时，， 所以　在上单调递减， 所以　时，． 因为恒成立， 所以． （Ⅲ）当时，，等价于． 设，． 求导，得． 由（Ⅰ）可知，时， 恒成立． 所以时，，有． 所以 ． 所以在上单调递增，当时，． 因此当时，． 【练1-2】（2013-2014朝阳二模理18）已知函数，. （Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设，当时，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）由已知得． 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以．所以． 所以． ……………3分 （Ⅱ）函数的定义域是，． （1）当时，成立，所以的单调增区间为． （2）当时， 令，得，所以的单调增区间是；

令，得，所以的单调减区间是． 综上所述，当时，的单调增区间为；

当时，的单调增区间是， 的单调减区间是． ……………8分 （Ⅲ）当时，成立，． “当时，恒成立” 等价于“当时，恒成立．” 设，只要“当时，成立．” ． 令得，且，又因为，所以函数在上为减函数；

令得，，又因为，所以函数在上为增函数． 所以函数在处取得最小值，且． 所以． 又因为， 所以实数的取值范围． ……………13分 （Ⅲ）另解：
（1）当时，由（Ⅱ）可知， 在上单调递增，所以． 所以当时，有成立． （2）当时， 可得． 由（Ⅱ）可知当时，的单调增区间是， 所以在上单调递增，又，所以总有成立． （3）当时，可得． 由（Ⅱ）可知，函数在上为减函数，在为增函数， 所以函数在处取最小值， 且． 当时，要使成立，只需， 解得．所以． 综上所述，实数的取值范围 【练1-3】（2013-2014海淀一模理18）已知曲线. (Ⅰ)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；

(Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围. 【答案】， -----------------------------------2分 因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：， 所以且. ----------------------------------4分 解得， -----------------------------------5分 （Ⅱ）法1：
对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于 ∀x,，都有， 即∀x,R，恒成立， --------------------------------------6分 令， ----------------------------------------7分 ①若a=0，则， 所以实数b的取值范围是；

----------------------------------------8分 ②若,， 由得， ----------------------------------------9分 的情况如下：
0 0 + 极小值 -----------------------------------------11分 所以的最小值为， -------------------------------------------12分 所以实数b的取值范围是；

综上，实数b的取值范围是． --------------------------------------13分 法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于 ∀x,，都有，即 ∀x,R，恒成立， -------------------------------------------6分 令，则等价于∀，恒成立， 令，则 ， -----------------------------------------7分 由得， ----------------------------------------9分 的情况如下：
0 0 + 极小值 -----------------------------------------11分 所以 的最小值为， ------------------------------------------12分 实数b的取值范围是． --------------------------------------------13分 【练1-4】若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】分析：若设，由知，对应分三种情况讨论．若分离参数，则轻易解决．
解：原不等式等价于．当时，显然成立；

当时，因为，所以，则有恒成立，只需． 因为, 当，即时取“=”，即，所以． 评注：对二次函数在闭区间上的最值问题是最容易引起“讨论”的．本题求解过程中求的最小值要注意验证取等号的条件． 【练1-5】（2012-2013西城第一学期期末18）已知函数，其中． （Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）设．若，使，求的取值范围． 【答案】分析：第二问，存在性问题，可以转化成函数在给定区间上的最值问题，但是类似这样的问题，咱们都有经验，分离变量会比较简单，但是在实际教学中，很多学生并不能很好的接受这种想法。为什么？分离变量是一种思想方法，还是一种解题技巧？ 我们可以这样审视这类问题：给了一个变量的范围，求另一个变量的范围，事实上，就是两个变量的依赖关系，于是可以把所求变量表示成已知变量的函数，从函数出发看待这类问题，分离变量就自然了，于是该题就有了如下简洁的解法：
（Ⅱ）解：因为，， 所以 等价于 ，其中． …………9分 设，在区间上的最大值为．…………11分 则“，使得 ”等价于． 所以，的取值范围是． ………………13分 小结：存在性问题、恒成立问题采用分离变量的方法常常比较容易，但是这种方法的教学不能当成一种技巧进行教学，应该揭示这种解法的本质，其本质就是变量的依赖关系即函数关系，分离变量，实际上是把两个变量之间的隐函数关系，变成显函数关系，进而转化成不含参变量的函数，从而使得问题的解决避免分类讨论，变得简单。

【练1-6】（2012-2013朝阳期末18）已知函数． （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（这里的第三问也是一个存在性问题，可做练习巩固）
【练1-7】（2006天津理11）已知函数的图象与函数（且)的图象关于直线对称,记,若在区间上是增函数,则实数的取值范围是( ). A. B. C. D. 【答案】 考点二、主参换位（主辅元转换），避免分类讨论；

【例2-1】设不等式对满足的一切实数都成立，求的取值范围．
【答案】分析：受思维定势影响，易看成关于的不等式．其实变换一个角度，以为变量可避免分类讨论，只要关于的函数在区间恒为负值即可． 解：由题意，可设，即在内恒成立，因为为关于的一次函数，故有．
评注：将关于的不等式转化为关于的一次不等式，虽然仍需要解关于的一元二次不等式组，但已经成功地避开了复杂的分类讨论，将问题中的参数“消灭”了．这种转变问题视角的方法，对简化运算十分有益． 【例2-2】（2012-2013通州期末19）已知函数 （Ⅰ）若函数在处有极值为10，求b的值；

（Ⅱ）若对于任意的，在上单调递增，求b的最小值． 【答案】分析：该题（Ⅱ）初步转化为 对任意，都成立 多个变量，学生感到无从下手。给了，可以把a看成自变量，于是不等式左边就是关于a的一次函数，又给出，于是进而看成关于x的二次函数，于是问题获解。

【例2-3】设，当时，恒成立，求的取值范围。

【答案】分析：该题初步转化为对任意恒成立，求的取值范围 多个变量，学生感到无从下手。给了，可以把a看成自变量，于是不等式左边就是关于a的一次函数，于是进而看成关于x的二次函数，于是问题获解。

例2-4.（2010崇文一模理）设奇函数上是增函数，且，若函数 对所有的都成立，当时，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 【答案】C 导数专题九、公切线解决导数中零点问题 【知识点】将题目中的零点问题，通过转化成初等函数的图形之间的位置关系问题，然后利用公切线的变化求出。

考点一、无零点 【例 1-1】（16年房山二模文科）已知函数 （Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。

【解析】因为直线与曲线没有公共点， 所以方程无实根，即无实根，等价于无实根 设，即无零点。

当时，，显然无零点，符合题意；

当时，令 极小值 ，显然不符合题意；

当时，令 极大值 ，所以时，符合题意 综上所述：
【练 1-1】（13年福建文）已知函数(). (3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值. 【解析】当时, 令, 则直线:与曲线没有公共点, 等价于方程在上没有实数解. 假设,此时,, 又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故. 又时,,知方程在上没有实数解. 所以的最大值为. 考点二、一个零点 【例 2-1】（13年朝阳一模理）已知函数,其中. (Ⅱ)若函数在上有且只有一个零点,求实数的取值范围. 【解析】①当时,由(Ⅰ)可知,函数的单调递减区间为,在单调递增. 所以在上的最小值为, 由于, 要使在上有且只有一个零点, 需满足或解得或. ②当时,由(Ⅰ)可知, (ⅰ)当时,函数在上单调递增; 且,所以在上有且只有一个零点. (ⅱ)当时,函数在上单调递减,在上单调递增; 又因为,所以当时,总有. 因为, 所以. 所以在区间内必有零点.又因为在内单调递增, 从而当时,在上有且只有一个零点. 综上所述,或或时,在上有且只有一个零点 【练 2-1】（2012年房山一模18）已知函数． （III）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围． 【解析】当时，在区间上为增函数， 在区间不可能恰有两个零点． ………10分 当时，由（II）问知， 又，为的一个零点． ……11分 若在恰有两个零点，只需 即 ………13分 【练 2-2】（13年昌平二模理科）已知函数 (Ⅱ)求在区间上的最小值; (III)若在区间上恰有两个零点,求的取值范围. 【解析】可知当或时,在上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点. 当时,要使在区间上恰有两个零点,则 ∴ 即,此时,. 所以,的取值范围为 考点三、 两个零点 【例 3-1】已知函数. （III）讨论函数在区间上零点的个数. 【解析】 【练 3-1】（15年海淀期末文科）已知函数. （Ⅲ）问集合（且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）
考点四、线上下线问题 【例 4-1】（13年北京高考理科）设L为曲线C：在点(1，0)处的切线. (I)求L的方程；

方程为 (II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方. 【练 4-1】（14年海淀一模理科）已知曲线. (Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围. 【解析】对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于 ∀x,，都有，即 ∀x,R，恒成立， 令，则等价于∀，恒成立， 令，则 ， 由得， 的情况如下：
0 0 + 极小值 所以 的最小值为， 实数b的取值范围是． 导数专题十、极值点偏移问题 【例1】已知函数有且仅有两个不同的零点，，则（ B ）
A．当时，， B. 当时，， C. 当时，， D. 当时，， 【例2】设函数,若的图像与图像有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是（　D　）
A．当时, B．当时, C．当时, D．当时, 【例3】设函数,若的图像与图像有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是（　B　）
A．当时, B．当时, C．当时, D．当时, 【例4】（2010东城二模）已知函数． (Ⅰ) 若函数在上为单调增函数，求的取值范围；

(Ⅱ) 设，，且，求证：． 解：(Ⅰ) ．………………………………………3分 因为在上为单调增函数， 所以在上恒成立． 即在上恒成立． 当时，由， 得． 设，． ． 所以当且仅当，即时，有最小值． 所以． 所以． 所以的取值范围是．…………………………………………………………7分 (Ⅱ)不妨设，则． 要证， 只需证， 即证． 只需证．……………………………………………………………11分 设． 由(Ⅰ)知在上是单调增函数，又， 所以． 即成立． 所以．………………………………………………………………14分 【例5】（2010天津）已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，证明：当时，. （Ⅲ）如果，且，证明：. 解：f’ 令f’(x)=0,解得x=1 当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 X () 1 () f’(x) + 0 - f(x) 极大值 所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。

函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x) 令F(x)=f(x)-g(x),即 于是 当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。

又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). Ⅲ)证明：（1）
若 （2）若 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内增函数，所以>,即>2. 【例6】（2011辽宁）已知函数 （Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）设 ，证明：当 时， ；

（Ⅲ）若函数的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为 ，证明：. 解：（I）
（i）若单调增加. （ii）若 且当 所以单调增加，在单调减少. ………………4分 （II）设函数则 当. 故当， ………………8分 （III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点， 故，从而的最大值为 不妨设 由（II）得 从而 由（I）知， ………………12分 【例7】（2013湖南文）已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）证明：当 时，. 解: (Ⅰ) . 所以,. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,只需要证明:当x>0时f(x) < f(-x)即可. . . 【例8】（2016新课标I）已知函数有两个零点. (I)求的取值范围；

(II)设是的两个零点，证明：
解：（Ⅰ）． （i）设,则,只有一个零点． （ii）设,则当时,；
当时,．所以在上单调递减,在上单调递增． 又,,取满足且,则 , 故存在两个零点． （iii）设,由得或． 若,则,故当时,,因此在上单调递增．又当时,,所以不存在两个零点． 若,则,故当时,；
当时,．因此在单调递减,在单调递增．又当时,,所以不存在两个零点． 综上,的取值范围为． （Ⅱ）不妨设,由（Ⅰ）知,,在上单调递减,所以等价于,即． 由于,而,所以 ． 设,则． 所以当时,,而,故当时,． 从而,故． 【例9】已知函数. （1）若，求函数在上的零点个数；

（2）若有两个零点，证明：
【例10】设函数． （1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；

（3）若方程有两个不相等的实数根，求证：． 【例11】设函数，其图象与轴交于，两点，且x1＜x2． （1）求的取值范围；

（2）证明：（为函数的导函数）
【例12】已知函数， （1）若，求证：函数有极值；

（2）若，且函数与的图象有两个相异交点，求证：
【例13】已知函数，求证：有唯一零点的充要条件a=e 【例14】函数 的图像与x 轴交于不同的两点、，求证：
【例15】已知函数 （Ⅰ）（Ⅱ）略 （Ⅲ）当 时，函数 的图像与x 轴交于不同的两点、，且 ，又 是 的导函数。若正常数α、β满足条件 ， 。证明：
导数专题十一、构造函数解决导数问题 【知识框架】 【考点分类】 考点一、直接作差构造函数证明；

两个函数，一个变量，直接构造函数求最值；

【例1-1】（14顺义一模理18）已知函数（）
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若在区间上函数的图象恒在直线下方，求的取值范围． 【例1-2】（13海淀二模文18）已知函数. （Ⅰ）当时，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值；

（Ⅱ）若，都有，求实数的取值范围. 【练1-1】（14西城一模文18）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）如果对于任意，都有，求的取值范围． 【练1-2】已知函数是常数． （Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；

（Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方；

（Ⅲ）讨论函数零点的个数． 【练1-3】已知曲线. (Ⅰ)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；

(Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围. 【练1-4】已知函数，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方；

【练1-5】.已知函数；

（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；

（2）若在区间上，函数的图像恒在直线下方，求的取值范围。

【练1-6】已知函数；

（1）求的极小值；

（2）如果直线与函数的图像无交点，求的取值范围；

答案：
考点二、从条件特征入手构造函数证明 【例2-1】若函数 在上可导且满足不等式， 恒成立，且常数，满足，求证：。

【例2-2】设是上的可导函数，分别为的导函数，且满足，则当时，有（ ）
A. B. C. D. 【练2-1】设是上的可导函数，，，求不等式的解集。

【练2-2】已知定义在的函数满足，且，若，求关于的不等式的解集。

【练2-3】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则下列关于的大小关系正确的是（ ）D A. B. C. D. 【练2-4】已知函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，为自然对数的底数，则（ ）C A. B. C. D. 【练2-5】 设是上的可导函数，且，求的值。

【练2-6】函数为定义在上的可导函数，导函数为，且，下面的不等式在内恒成立的是（ ）
A. B. C. D. 【练2-7】已知函数为定义在上的可导函数，导函数为，当时，，且，若存在，使，求的值。

（二）关系式为“减”型 （1），构造；

（2），构造；

（3），构造；

（注意对的符号进行讨论）
考点三、变形构造函数 【例3-1】证明：对任意的正整数，不等式都成立。

【例3-2】已知函数；

（1）求函数的单调区间与极值；

（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；

【练3-1】设为曲线在点处的切线。

（1）求的方程；

（2）证明：除切点之外，曲线在直线的下方；

【练3-2】已知函数；

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

（2）当时，求证：；

【练3-3】已知函数，其中；

（1）求的单调区间；

（2）若对任意的，总存在，使得，求实数的值；

【练3-4】， （1）讨论的单调情况；

（2）设，对．求证：． 【练3-5】已知函数；

（1）求的单调区间；

（2）当时，设斜率为的直线与函数相交于两点 ，求证：
考点四、消参构造函数 【例4-1】已知函数和的图像有公共点，且在点处的切线相同；

（1）若点的坐标为，求的值；

（2）已知，求切点的坐标。

【例4-2】（2009全国卷2理22）设函数有两个极值点，且 （Ⅰ）求的取值范围，并讨论的单调性；

（Ⅱ）证明：
不等式放缩：， 由于（从右侧趋近0）时，；
时，， 所以有两个零点. (2)当时， 时,,为增函数;时，，为减函数；

时，，为增函数.所以在处取极大值， 在处取极小值.. 当时，,即在时，. 而在时为增函数，且时，， 所以此时有一个零点. 且时，， 所以此时有一个零点. (5) 当时，在上恒成立，所以为增函数. ，且（从右侧趋近0）时，；

时，.所以有一个零点. 综上所述，或时有一个零点；
时，无零点；

有两个零点. 【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数. （Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明. 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意. 当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使 ，必须，即.所以 . 当时，. 令，则. 当时，，所以，在上是增函数. 所以 当时，.所以 . 所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数， 所以 .综上所述，的取值范围是. 因为 ，，所以 . 特值探究 令.则. 不等式放缩：
因为 ，， 且由（Ⅰ）得，在内是减函数， 所以 存在唯一的，使得. 当时，. 所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线. 由得：. 所以 . 因为 ,所以 ，. 所以 . 【例4-3】（2014-2015海淀二模理18）
已知函数. （Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为 ，， 且由（Ⅰ）得，在内是减函数， 所以 存在唯一的，使得. 当时，. 所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线. 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化. 【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论；

【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数， ，. （Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）
由在处取得极大值,得, 所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立, 所以恒成立,即恒成立, 由于,得. 所以的取值范围是. （Ⅲ）, 故,得或 当时, ,在上是增函数,显然不合题意. 当时, 随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需, 即 , 解得 所以的取值范围是. 【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，， 所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为 ，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即大于的最大值 令，，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。

2、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根， 令，，有只有一个零点 ， 1、当时，，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得， 1 - 0 + 0 - 减 极小值 增 极大值 减 易知 ，而当时，，所以在只存在一个零点。

3、当时，解得， 1 - 0 + 减 极小值 增 当时，，所以若只有一个零点，必须有 即， 综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围；

（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；

（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立， 即，在上恒成立， 则 （Ⅱ）当时，,． 不等式放缩：， 由于（从右侧趋近0）时，；
时，， 所以有两个零点. (2)当时， 时,,为增函数;时，，为减函数；

时，，为增函数.所以在处取极大值， 在处取极小值.. 当时，,即在时，. 而在时为增函数，且时，， 所以此时有一个零点. 且时，， 所以此时有一个零点. (6) 当时，在上恒成立，所以为增函数. ，且（从右侧趋近0）时，；

时，.所以有一个零点. 综上所述，或时有一个零点；
时，无零点；

有两个零点. 【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数. （Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明. 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意. 当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使 ，必须，即.所以 . 当时，. 令，则. 当时，，所以，在上是增函数. 所以 当时，.所以 . 所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数， 所以 .综上所述，的取值范围是. 因为 ，，所以 . 特值探究 令.则. 不等式放缩：
因为 ，， 且由（Ⅰ）得，在内是减函数， 所以 存在唯一的，使得. 当时，. 所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线. 由得：. 所以 . 因为 ,所以 ，. 所以 . 【例4-3】（2014-2015海淀二模理18）
已知函数. （Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为 ，， 且由（Ⅰ）得，在内是减函数， 所以 存在唯一的，使得. 当时，. 所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线. 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化. 【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论；

【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数， ，. （Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）
由在处取得极大值,得, 所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立, 所以恒成立,即恒成立, 由于,得. 所以的取值范围是. （Ⅲ）, 故,得或 当时, ,在上是增函数,显然不合题意. 当时, 随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需, 即 , 解得 所以的取值范围是. 【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，， 所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为 ，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即大于的最大值 令，，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。

2、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根， 令，，有只有一个零点 ， 1、当时，，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得， 1 - 0 + 0 - 减 极小值 增 极大值 减 易知 ，而当时，，所以在只存在一个零点。

3、当时，解得， 1 - 0 + 减 极小值 增 当时，，所以若只有一个零点，必须有 即， 综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围；

（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；

（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立， 即，在上恒成立， 则 （Ⅱ）当时，,． 不等式放缩：， 由于（从右侧趋近0）时，；
时，， 所以有两个零点. (2)当时， 时,,为增函数;时，，为减函数；

时，，为增函数.所以在处取极大值， 在处取极小值.. 当时，,即在时，. 而在时为增函数，且时，， 所以此时有一个零点. 且时，， 所以此时有一个零点. (7) 当时，在上恒成立，所以为增函数. ，且（从右侧趋近0）时，；

时，.所以有一个零点. 综上所述，或时有一个零点；
时，无零点；

有两个零点. 【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数. （Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明. 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意. 当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使 ，必须，即.所以 . 当时，. 令，则. 当时，，所以，在上是增函数. 所以 当时，.所以 . 所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数， 所以 .综上所述，的取值范围是. 因为 ，，所以 . 特值探究 令.则. 不等式放缩：
因为 ，， 且由（Ⅰ）得，在内是减函数， 所以 存在唯一的，使得. 当时，. 所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线. 由得：. 所以 . 因为 ,所以 ，. 所以 . 【例4-3】（2014-2015海淀二模理18）
已知函数. （Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为 ，， 且由（Ⅰ）得，在内是减函数， 所以 存在唯一的，使得. 当时，. 所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线. 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化. 【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论；

【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数， ，. （Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）
由在处取得极大值,得, 所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立, 所以恒成立,即恒成立, 由于,得. 所以的取值范围是. （Ⅲ）, 故,得或 当时, ,在上是增函数,显然不合题意. 当时, 随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需, 即 , 解得 所以的取值范围是. 【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，， 所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为 ，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即大于的最大值 令，，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。

2、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根， 令，，有只有一个零点 ， 1、当时，，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得， 1 - 0 + 0 - 减 极小值 增 极大值 减 易知 ，而当时，，所以在只存在一个零点。

3、当时，解得， 1 - 0 + 减 极小值 增 当时，，所以若只有一个零点，必须有 即， 综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围；

（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；

（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立， 即，在上恒成立， 则 （Ⅱ）当时，,． 不等式放缩：， 由于（从右侧趋近0）时，；
时，， 所以有两个零点. (2)当时， 时,,为增函数;时，，为减函数；

时，，为增函数.所以在处取极大值， 在处取极小值.. 当时，,即在时，. 而在时为增函数，且时，， 所以此时有一个零点. 且时，， 所以此时有一个零点. (8) 当时，在上恒成立，所以为增函数. ，且（从右侧趋近0）时，；

时，.所以有一个零点. 综上所述，或时有一个零点；
时，无零点；

有两个零点. 【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数. （Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明. 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意. 当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使 ，必须，即.所以 . 当时，. 令，则. 当时，，所以，在上是增函数. 所以 当时，.所以 . 所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数， 所以 .综上所述，的取值范围是. 因为 ，，所以 . 特值探究 令.则. 不等式放缩：
因为 ，， 且由（Ⅰ）得，在内是减函数， 所以 存在唯一的，使得. 当时，. 所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线. 由得：. 所以 . 因为 ,所以 ，. 所以 . 【例4-3】（2014-2015海淀二模理18）
已知函数. （Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为 ，， 且由（Ⅰ）得，在内是减函数， 所以 存在唯一的，使得. 当时，. 所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线. 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化. 【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论；

【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数， ，. （Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）
由在处取得极大值,得, 所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立, 所以恒成立,即恒成立, 由于,得. 所以的取值范围是. （Ⅲ）, 故,得或 当时, ,在上是增函数,显然不合题意. 当时, 随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需, 即 , 解得 所以的取值范围是. 【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，， 所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为 ，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即大于的最大值 令，，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。

2、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根， 令，，有只有一个零点 ， 1、当时，，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得， 1 - 0 + 0 - 减 极小值 增 极大值 减 易知 ，而当时，，所以在只存在一个零点。

3、当时，解得， 1 - 0 + 减 极小值 增 当时，，所以若只有一个零点，必须有 即， 综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围；

（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；

（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立， 即，在上恒成立， 则 （Ⅱ）当时，,． 不等式放缩：， 由于（从右侧趋近0）时，；
时，， 所以有两个零点. (2)当时， 时,,为增函数;时，，为减函数；

时，，为增函数.所以在处取极大值， 在处取极小值.. 当时，,即在时，. 而在时为增函数，且时，， 所以此时有一个零点. 且时，， 所以此时有一个零点. (9) 当时，在上恒成立，所以为增函数. ，且（从右侧趋近0）时，；

时，.所以有一个零点. 综上所述，或时有一个零点；
时，无零点；

有两个零点. 【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数. （Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明. 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意. 当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使 ，必须，即.所以 . 当时，. 令，则. 当时，，所以，在上是增函数. 所以 当时，.所以 . 所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数， 所以 .综上所述，的取值范围是. 因为 ，，所以 . 特值探究 令.则. 不等式放缩：
因为 ，， 且由（Ⅰ）得，在内是减函数， 所以 存在唯一的，使得. 当时，. 所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线. 由得：. 所以 . 因为 ,所以 ，. 所以 . 【例4-3】（2014-2015海淀二模理18）
已知函数. （Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为 ，， 且由（Ⅰ）得，在内是减函数， 所以 存在唯一的，使得. 当时，. 所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线. 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化. 【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论；

【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数， ，. （Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）
由在处取得极大值,得, 所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立, 所以恒成立,即恒成立, 由于,得. 所以的取值范围是. （Ⅲ）, 故,得或 当时, ,在上是增函数,显然不合题意. 当时, 随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需, 即 , 解得 所以的取值范围是. 【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，， 所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为 ，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即大于的最大值 令，，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。

2、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根， 令，，有只有一个零点 ， 1、当时，，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得， 1 - 0 + 0 - 减 极小值 增 极大值 减 易知 ，而当时，，所以在只存在一个零点。

3、当时，解得， 1 - 0 + 减 极小值 增 当时，，所以若只有一个零点，必须有 即， 综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围；

（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；

（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立， 即，在上恒成立， 则 （Ⅱ）当时，,． 不等式放缩：， 由于（从右侧趋近0）时，；
时，， 所以有两个零点. (2)当时， 时,,为增函数;时，，为减函数；

时，，为增函数.所以在处取极大值， 在处取极小值.. 当时，,即在时，. 而在时为增函数，且时，， 所以此时有一个零点. 且时，， 所以此时有一个零点. (10) 当时，在上恒成立，所以为增函数. ，且（从右侧趋近0）时，；

时，.所以有一个零点. 综上所述，或时有一个零点；
时，无零点；

有两个零点. 【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数. （Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明. 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意. 当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使 ，必须，即.所以 . 当时，. 令，则. 当时，，所以，在上是增函数. 所以 当时，.所以 . 所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数， 所以 .综上所述，的取值范围是. 因为 ，，所以 . 特值探究 令.则. 不等式放缩：
因为 ，， 且由（Ⅰ）得，在内是减函数， 所以 存在唯一的，使得. 当时，. 所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线. 由得：. 所以 . 因为 ,所以 ，. 所以 . 【例4-3】（2014-2015海淀二模理18）
已知函数. （Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为 ，， 且由（Ⅰ）得，在内是减函数， 所以 存在唯一的，使得. 当时，. 所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线. 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化. 【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论；

【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数， ，. （Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）
由在处取得极大值,得, 所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立, 所以恒成立,即恒成立, 由于,得. 所以的取值范围是. （Ⅲ）, 故,得或 当时, ,在上是增函数,显然不合题意. 当时, 随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需, 即 , 解得 所以的取值范围是. 【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，， 所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为 ，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即大于的最大值 令，，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。

2、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根， 令，，有只有一个零点 ， 1、当时，，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得， 1 - 0 + 0 - 减 极小值 增 极大值 减 易知 ，而当时，，所以在只存在一个零点。

3、当时，解得， 1 - 0 + 减 极小值 增 当时，，所以若只有一个零点，必须有 即， 综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围；

（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；

（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． 不等式放缩：， 由于（从右侧趋近0）时，；
时，， 所以有两个零点. (2)当时， 时,,为增函数;时，，为减函数；

时，，为增函数.所以在处取极大值， 在处取极小值.. 当时，,即在时，. 而在时为增函数，且时，， 所以此时有一个零点. 且时，， 所以此时有一个零点. (11) 当时，在上恒成立，所以为增函数. ，且（从右侧趋近0）时，；

时，.所以有一个零点. 综上所述，或时有一个零点；
时，无零点；

有两个零点. 【例4-2】（2014-2015年海淀一模理18）已知函数. （Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明. 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意. 当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使 ，必须，即.所以 . 当时，. 令，则. 当时，，所以，在上是增函数. 所以 当时，.所以 . 所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.因为 在内是减函数，在内是增函数， 所以 .综上所述，的取值范围是. 因为 ，，所以 . 特值探究 令.则. 不等式放缩：
因为 ，， 且由（Ⅰ）得，在内是减函数， 所以 存在唯一的，使得. 当时，. 所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线. 由得：. 所以 . 因为 ,所以 ，. 所以 . 【例4-3】（2014-2015海淀二模理18）
已知函数. （Ⅱ）求证：曲线存在斜率为6的切线 解：因为 ，， 且由（Ⅰ）得，在内是减函数， 所以 存在唯一的，使得. 当时，. 所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线. 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 【知识结构】 【知识点】 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以避免和简化. 【考点分类】 考点一、分离参数（参变分离），避免分类讨论；

【例1-1】（2015-2016石景山期末文20）已知函数， ，. （Ⅰ）若在处取得极小值,求的值；

（Ⅱ）若在区间为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数有三个零点,求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）
由在处取得极大值,得, 所以(经检验适合题意) （Ⅱ）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立, 所以恒成立,即恒成立, 由于,得. 所以的取值范围是. （Ⅲ）, 故,得或 当时, ,在上是增函数,显然不合题意. 当时, 随的变化情况如下表: + 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 要使有三个零点,故需, 即 , 解得 所以的取值范围是. 【例1-2】（2015-2016丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程；

（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。

【答案】（1）由已知得，切点坐标为，，， 所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为 ，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即大于的最大值 令，，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。

2、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根， 令，，有只有一个零点 ， 1、当时，，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得， 1 - 0 + 0 - 减 极小值 增 极大值 减 易知 ，而当时，，所以在只存在一个零点。

3、当时，解得， 1 - 0 + 减 极小值 增 当时，，所以若只有一个零点，必须有 即， 综上所述，的取值范围为和 【例1-3】（2015-2016朝阳期末理18）已知函数,其中． （Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围；

（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；

（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由． 【答案】函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立， 即，在上恒成立， 则 （Ⅱ）当时，,． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立， 即，在上恒成立， 则 （Ⅱ）当时，,．