不等式与线性规划

　第四讲：不等式和线性规划 （一）不等式的性质 一、知识梳理：不等式的性质 性质 4：

　a> b, c> 0?

　________ ; a > b, c v 0?

　________ . 以上是不等式的基本性质，以下是不等式的运算性质. 性质 5: a>b, c>d?

　_______________ （加法法则 ）

　. 性质 6: a>b>0, c>d>0?

　_____________ （乘法法则 ）

　. 性质 7：

　a>b>0, n€ N * ?

　___________ （乘方法则）. 性质 8：

　a>b>0, n€ N , n>2?

　_____________ （开方法则）. 性质 9：

　ab>0, a>b?

　__________________ （倒数法则 ）

　.

　A .充分而不必要条件 C.充分必要条件 D . B.必要而不充分条件 既不充分也不必要条件 (二) 不等式的解法 一、 分式不等式与一元二次不等式的关系 设 a<b, X — 7>0 等价于 __________ ； X — T <0 等价于(x— a)(x— b)<0 ; x— b x— b X — 7 > 0 等价于 ； 0 等价于 { x— a x— b w 0, x— b 丰 0. x— b x — b 二、 基础训练 2 x —

　3 1. 设全集 U = R，不等式

　---- < 1 的解集是 A，则 ? U A= ( ) x A . (0,3] B . (―汽 0] U (3 ,+s ) C . [3 ,+s ) D . ( — ^, 0) U [3 ,+^ ) 2. 不等式 log 2 (— x 2

　+ 3x)<1 的解集是 (

　) A . {x|0<x<3} B . {x|x<1 或 x>2} C. {x|0<x<1 或 2<x<3} D. {x|— 2<x< — 1} 1 3. [2011 上海卷]不等式 x<1 的解为 ___________ . 4.

　在 R 上定义运算 O：

　a O b = ab+ 2a+ b，则满足 x O (x — 2)<0 的实数 x 的取值范围为 (

　) 二、基础训练：

　1.若 a>b>0,则（ ) b B.—>1 a 2. A. a 2 c>b 2 c(c€ R) 设 a, b, c€ R,且 a>b，贝U 1 1 ac>bc B. < a b 3. 已知 A. 4. 5.[2011 C. 2 ■ C. a >b a b ，则下列不等式正确的是 1 b 2

　b、 R, lg(a — b)>0 3 . 3 D . a >b C . 2 a

　2 b

　D. 1 a < 则下列不等式成立的是 a 2

　浙江卷］ 右 a, a b C 、丁 2— c 2

　1 c 2

　1 1 b 为实数，则“ 0ab<1 ”是“ b<a” a b 2

　D 、 a|c| b|c|

　A. (0,2) B . ( — 2,1) C. ( —s,— 2) U (1 ,+s ) D . ( — 1,2) 5. 不等式 x 1 x 2 3 的解集是

　(三) 二元一次不等式组和线性规划 一、知识梳理：线性规划问题 二元一次不等式表示的平面区域 (1) 一般地，二兀一次不等式 Ax + By+ C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+ By + C = 0 某一侧的所有点组成的平面区域 ( 半平面 )，

　_______ 边界直线. 不等式 Ax + By+ C >0 所表示的平面区域 ( 半平面) ___________ 边界直线. ⑵ 直线 Ax+ By+ C= 0 同一侧的所有点(x, y)，使得 Ax+ By+ C 的值符号相同，也就是 位于直线 Ax+ By+ C = 0 某一侧的所有点，其坐标适合 Ax+ By + C>0(Ax + By+ C<0);而位 于直线 Ax+ By + C = 0 另一侧所有点，其坐标适合 __________________ . (3)可在直线 Ax+ By+ C= 0 的某一侧任取一点，一般取特殊点 ( x o , y o ),从 Ax o + By o + C 的符号来判断 Ax + By+ C>0(或 Ax + By + C<0)所表示的区域. 二、基础训练: 121 B. C. 24 4 36 — 3，已知△ ABC 中, y 2x, 4.若变量 x , y 满足约束条件 x+ y 1, 则 x + 2 y 的最大值是

　____________________

　y — 1

　5•某公司生产甲，乙两种桶装产品，已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克，B 原料 2 千 克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克，B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元，每桶 乙产品的利润是 400 元•公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A, B 原料都不超 过 12 千克•通过合理安排生产计划，从每天生产的甲，乙两种产品中，公司可获得的最大 利润是 ( ) A. 2200 元 B .2400 元 C . 2600 元 D .2800 元

　 2x y 2 0

　 6.设实数 x, y 满足 y 2x 2 ,则 x 2

　y 2 的取值范围是( )

　y 2

　 4 A. -,8 B. 5 1,2、2 C. 1,8 D . U2.2 5

　 2x 3y 6 0 A (3 , - 1)、 B ( — 1,1)、qi,3)，则△ ABC 区域所表示的二元 3.如图 一次不等式组为 D. 32 121 A. 2

　7.在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组 x y 2 0 所表示的区域上一动点， 则|OM|

　 y 0 的最小值是 _________

　三、课后作业:

　 x 1, x+ y 3, 若 z = 2 x + y 的最小值为 1, 则 a 等于 y a(x—3), (四) 基本不等式 、知识梳理: a + b 1. 基本不等式.ab w —厂 (1) 基本不等式成立的条件：

　________________________________ . (2) 等号成立的条件：当且仅当

　________ 时取等号. (3) 算术平均数与几何平均数：设 a>0 , b>0,则 a, b 的算术平均数为 为 ________ , 故基本不等式也可叙述为：两个正数的算术平均数

　___________________

　2. 几个重要的不等式 (1)a 2 + b 2 > 3.利用基本不等式求最值问题 已知 x、y€ R + , x+ y= P, xy= S,有下列命题：

　如果 S 是定值，那么当且仅当

　______________________ 时，x+ y 有最小值 — 如果 P 是定值，那么当且仅当

　_______ 时，xy 有最大值

　____

　?问题 1 当 x<0 时，函数 y= x+ 1 的最大值为一 2.( ) X ? 问题 2 若 x>0 , y>0，且 x+ y= 2，贝 U 2xy 的最大值为 1.( ) 二、基础训练 1.若 2 x + 2 y

　= =1,则 x + y 的取值范围是 (

　) .

　A. [0,2] B [—2,0] C. [一 2 ,+g ) D . ( — -oo — 2]

　2.若 x 2 , 则 x 1

　---- 的最小值为

　x 2

　 3.已知 a >0, b >0,且 2 a + b = 4,则 的最小值为

　ab

　 2 2x a 16b

　x —

　----

　4.不等式

　b a 对任意 a, b€ (0 , + g )恒成则实数 x 的取值范围是( A. (-2,0 ) B.(- g ,-2)U(0 , + g ) C.(-4 , 2) D.(- oo , -4)U(2 , + o ) 5.已知 2 8

　1(x 0,y 0) ，则 x y 的最小值为( )

　x y

　 A. 12 B. 14 C. 16 D. 18

　 1. x 1, 已知变量 x , y 满足 y 2, x— y 则 x + y 的最小值是 0, 2. x 已知 x, y 满足约束条件 x y 2 y 2 ，且 x 2y a 恒成立，则 a 的取值范围为 1 3. x+ y 1, 若实数 x , y 满足 x— y+1 y o, 0 ,则 x 2 + ( y + 1) 2 的最大值与最小值的差为 4.已知 a >0, x ,y 满足约束条件 ，几何平均数 (2 ) a + —(a, b 同号);(3)ab w 号 2 (a, b €

　R)； (a, b € R)；

　 （五）含绝对 值的不等式 |a| |b||a b||a| |b| 结论：一、基础训练 1. 关于 x 的不等式 x 1 x 3 m 在 R 上恒成立，则实数 m 的取值范围是

　_____________________

　2. ____________________________________________________________________________

　关于 x 的不等式|x — 1| + |x — 2| w a 的解集为空集，则实数 a 的取值范围是

　________________

　3. 对任意 x€ R,不等式|2 — x| + |3 + x| >a 2 — 4a 恒成立，则 a 的取值范围是

　_____________

　4•函数 y | x 2| | x 2 | 的最大值是 __________________ 。

　5•如果关于 x 的不等式 |x 10 | | x 20| a 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围为 二、课后作业：

　1•对任意实数 凶，若不等式 ||x 2| |x 1| k| 恒成立 ， 则实数 ［k］ 的取值范围是 （）

　A k > 1 B k >1 C k w 1 D k <1 2 2. 不等式 |x 3 |x 1 a 2

　3a 对任意实数冈恒成立，则实数冈的取值范围为（ ）

　A. (,1]U[4,) B . （ ,2]U[5,) C. [1,2] D . （ ,1]U[2,) 3.函数 y x 4| x 6 的最小值为（）

　 A. — B . 4—

　C .园 D . 6

　6. 已知正数 x, y 满足 x 2y 1,则丄 x 的最小值为 y A 2 ..一 2 B 、4.2 C 3 2 2 D 3 4.2

　3x y 6 0

　7. 设 x, y 满足约束条件 x y 2 0 ，若目标函数 z=ax+by

　x 0,y 0

　2 值为 12,则— —的最小值（ )

　 a b

　 A. 25 r 8

　cD . 4 B.—

　C .—

　6 3

　3

　三、 、课后作业：

　 1. 已知 a > 0, b > 0,且 ln( a + b ) = 0,则 丄 + 1 的最小值是

　a b 2. 已知不等式 ax 2

　bx 1 0 的解集是 x|3 x 4 ,则 a b 3. 若实数 a、 b 满足 a b 2 ，则3 3的最小值是 若对任意 x >0, w a 恒成立，求 a 的取值范围. 4. （a>0, b>0）的值是最大 x x 2

　3x 1