习题变式在初中几何教学中应用
来源:卫生资格 发布时间:2020-09-18 点击:
习题变式在初中几何教学中的应用
钟学森
(富阳市胥口镇中学,浙江杭州311400)
一、 数学习题变式的作用
使学牛的数学学习触类旁通。“习题变式”教学往往是围绕一两道数 学习题进行,变式提问深浅适度,由表及里,由浅入深,层层深入,环环紧扣, 给学牛清晰的层次感,从层层递进的变式中激活学牛的思维,使学牛学会知识的 迁移,学一道题,会一类题;做一道题,会一串题。
使教师的教学设计举一反三。从目前初中数学习题课现状来看,教师 对习题的处理比较单一,就题论题,未能拓宽学牛解题思路,提高学牛应变能力。
数学教学不应局限于陕窄的课木,为了达到“举一反三”的效果变式教学是必要 的。
二、 概念界定
数学教学中的习题“变式”,主要是指对例题、习题进行变通推广,使 学牛在不同角度、不同层次、不同背景下重新认识。由于学生可以多层次、广视 角、全方位地认识数学问题,因而可以把学牛的知识、能力、思想引入深处,具 有较好的教学价值。
三、 变式教学的原则
针对性原则。变式教学,不同于习题课的教学,它惯穿于新授课、习 题课和复习课,与新授课、习题课和复习课并存,一般情况下不单独成课。因此, 对于不同的授课,对习题的变式也应不同。
可行性原则。在选择课木习题进行变式时要变得有“度”,恰到好处。
参与性原则。在变式教学中,要鼓励学生大胆地“变”,有目的、有 意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的木质,从“不变”的木质中探 究“变”的规律,同时培养学生的创新意识和创新精神,以及举一反三的能力。
四、数学“变式”教学的实施策略
1.变题型
数学考试的题型主要有以下三种:选择题、填空题、解答题(包括计算、 证明、作图等)。变题型就是指以上几种题型之间的转换。
例1已知等腰三角形的一边长为3, —边长为6,则它的周长是()
(A)12 (B)12 或 15
(C)15(D)15 或 18
变式一:已知等腰三角形的一边长为3, —边长为6,则它的周长是
变式二:已知等腰三角形的一边长为3, —边长为6,求它的周长。
题型之间的转换,主要是让学生体验各种题型的不同解法;选择题可以 有其特殊的解法,如特殊值法、排除法、验证法等,但是解答题一般只能用直接 解法。
.变条件
①增加条件。适当增添条件,从一般到特殊,以得到更多的结论,可以 考验学生对知识的全面性,把所学知识贯穿起来。例2已知:如图14在四边 形ABCD中,E£G,H分别是AB, BC, CD, DA的中点,求证:四边形EFGH是 平行四边形。
图1-1图1-2图1-3图1-4
变式一:如图在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA, E、F、G、H分 别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:四边形EFGH是矩形。
变式二:如图1?3在四边形ABCD中,
∠A=∠B=∠C=Rt∠上£G,H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点,求证: 四边形EFGH是菱形。
变式三:如图1?4在四边形ABCD中,AB=BC,
∠A=∠B二∠C二Rt∠, E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点, 求证:四边形EFGH是正方形。
由一般的四边形变到最特殊的正方形,中点四边形也随着发生变化:由 平行四边形变到正方形。
②减少条件。适当删减条件,往往把题目从特殊转化为一般,更加考验 了学生对知识的灵活运用,这对提高学生的解题能力有很大的帮助。
例 3 如图 2?1, AB⊥BD 于点 B, CD⊥BD 于点 D,P 是 BD 上一 点』AP二PC,AP⊥PC,则厶ABP^APDC,请说明理由。
图2-1图2-2图2-3
变式一:如图 2-2,AB⊥BD 于点 B,CD⊥BD 于点 D,P 是 BD ± 一点』AP⊥PC,则厶ABP^APDC.请说明理由.变式二:如图2-3在梯形ABCD 中 AB〃CD,AB⊥BC7AB=2,CD=37BC=7.在 BC 上找一点 P 使 Z\ABP 与 A PCD 相似,并求出BP的长。
本题由全等到相似,将三角形全等与三角形相似联系起来,使学生把相 关知识贯穿在一起相互比较,加深理解,使知识融会贯通。进一步利用相似比列 出方程,渗透了方程思想和分类讨论思想。
.变结论
变结论就是将问题深入思考,还能进-步得出结论。
例4如图3,已知AZB,C三点在同一直线上,在直线的同--侧作等边三 角形ABD和BCE,连接AE、CD分别交BD和BE于F,G两点,连接FG,求证: AE=CD<>
变式一:求证△ ABF^ADBGo
变式二:试判断ABFG为何种特殊三角形,说明理由。
在条件不变下继续探索其它结论,使不同层次的学生得到不同得到发展, 使学生经历获得通过猜想到验证的解决问题方法,培养学生探究能力与解决问题 的能力。
?变图形
变图形-般可以考虑内部、边缘(或顶点)外部的变化,也可以从图形
变到其他图形,比如从三角形到四边形、五边形等。
例5如图4?1,在等边AABC的AC、BC上各取一点P、Q,使
AP=CQ,AQ,BP相交于点0,求∠B0Q的度数。
图4J 图4?2图4?3图4?4图4?5图4?6
变式一:如图4-2已知AABC为等边三角形,点P是射线BC上任意 一点,点Q是射线CA上任意一点,UAP二CQ,直线AQ、BP相交于点0,求 ∠B0Q的度数。
变式二:将题中的“等边△ABC”分别改为正方形ABCD (如图4-3),
正五边形ABCDE (如图4-4),正六边形ABCDEF (如图4-5) 正n边形ABCD —
X (如图4?6) “,点P是AC± 一点”改为“点P是CD上任意一点”,其余 条件不变,根据前面的求解思路,分别推断∠B0Q的度数,将结论填入下表:
正多边形正方形正五边形正六边形…… 正n边形∠B0Q的度数P、 Q从三角形的边上变到边的延长线上,从三角形变到四边形、五边形……,但 是解决问题的知识、方法没变,还是运用三角形全等以及三角形的外角等于不相 邻的两内角的和解决问题,从而使学生真正抓住本质,做一题而会一类。
.变解法
变解法就是试图从题目的解法出发,寻求一题多解,从不同的解法中拓 展学生的思维,发展学生的能力。
例6如图5?1, ∠C+∠A=∠AEC,判断AB与CD是否平行, 并说明理由。
图5-1图5-2图5-3
解法一:AB^CD.ilEtl如下:
如图 5?2,延长 CE,交 AB 于点 F,则∠AEC二∠A+∠AFC
(三角形外角的性质)
T & ang;C+∠A 二∠AEC(已知),
there4;∠C+∠A 二∠A+∠AFC,
& there4;∠C=∠AFC,
∴AB〃CD(内错角相等,两直线平行).
解法二 如图5?3,连接AC,在Z\CAE中,
T ∠AEC+∠CAE+∠ACE=180°(三角形三个内角的和等于 180°),又 T& ang;DCE+∠EAB 二∠AEC,
∴∠DCE+∠EAB+∠CAE+∠ACE二 180°,即
& ang;DCA+∠?CAB 二 18 0°.
& there4;AB〃CD(同旁内角互补,两直线平行).
6.作铺垫
当学生对某一问题无法完成时,教师可将例题变式,将难度降低,解决 了之后再来解决原来较难的例题,这与西方的“脚手架理论”类似。
如图6?1,在一个长、宽、高分别为3米,2米,2米的长方体房间内, 一只蜘蛛在一面墙的中间,离天花板0.1米处(点A处),苍蝇在对面墙的中间, 离地面0.1米处(点B处)?试问,蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短路程是多少?
图6-1图6-2图6?3
变式一:如图2,已知立方体的棱长为4cm,—只蚂蚁从点A沿立方体表 面爬到点C,试求它爬行的最短距离是多少?变式二:如图3,已知长方体的长、宽、 高分别为4cm, 3cm, 2cm, 一只蚂蚁从点A沿立方体表面爬到点C,试求它爬 行的最短距离是多少?
五、习题应注意的问题
1?适合学生水平
变式要限制在学生思维水平的“最近发展区”上,变式题目的解决要在 学生已有的认知基础之上,并口要结合教学的实际内容、目的和要求,要有助于 学生对本节课内容的掌握。
2 ?倡导学生积极参与
变式并不是教师的专利,教师必须转变观念、发扬教学民主,让学生参 与题目的变化,师生双方密切配合,交流互动,只要是学生能够变式的,教师绝 不包办代替。学生变式有困难的,可在教师的点拨与启发下完成,让学生获得成 功的体验,这样可以调动学生学习的积极性,提高学生参与度和创新的意识。
3 ?变式题目万变不离其宗
紧扣《考试说明》,在初中数学变式教学中,变式要紧扣《考试说明》, 要以考纲为“纲”进行“变S不要“变”出一些偏离考纲的“繁、难、杂”题 目来浪费学生的宝贵的学习时间和挫伤学生学习数学的兴趣。变式过多,不但会 造成题海,会增加无效劳动和加重学生的负担,而且还会使学生产生逆反心理, 对解题产生厌烦情绪。变式吋要渗透数学思想、方法。在变式的过程中要尽可能 体现数学思想、方法。
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