教辅：高考数学之2021高考仿真模拟卷1

2021高考仿真模拟卷(一) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合A＝{3,2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝(　　) A．{1,2,3} B．{0,1,3} C．{0,1,2,3} D．{1,2,3,4} 答案　A 解析　因为A∩B＝{2}，所以2∈A，所以2a＝2，解得a＝1，故b＝2，所以A＝{3,2}，B＝{1,2}, 所以A∪B＝{1,2,3}． 2．(2020·山东济宁邹城市第一中学高三五模)已知复数z＝a2i－2a－i是正实数，则实数a的值为(　　) A．0 B．1 C．－1 D．±1 答案　C 解析　因为z＝a2i－2a－i＝－2a＋(a2－1)i为正实数，所以－2a>0且a2－1＝0，解得a＝－1.故选C. 3．(2020·天津高考)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　求解二次不等式a2＞a可得a＞1或a＜0，据此可知，“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件．故选A. 4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，2＋a5＝a6＋a3，则S7＝(　　) A．2 B.7 C.14 D．28 答案　C 解析　∵2＋a5＝a6＋a3＝a5＋a4，解得a4＝2，∴S7＝＝7a4＝14，故选C. 5．(2020·山东泰安三模)函数f(x)＝x3cos＋sinx在[－π，π]上的图象大致为(　　) 答案　A 解析　因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，排除B，D；
由f＝3×＋，f＝3×＋，可知f>f，结合图象可知选A. 6．(2020·山东济南高三上学期期末)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝8，则弦AB的中点到y轴的距离为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案　B 解析　因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2，所以＋＝2，故p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的性质，得焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p，所以8＝x1＋x2＋2，则x1＋x2＝6，所以弦AB的中点到y轴的距离为d＝＝＝3.故选B. 7．(2020·河南洛阳第三次统一考试)(2x＋1)5的展开式中x3的系数为(　　) A．180 B．90 C．20 D．10 答案　A 解析　5展开式的通项公式Tr＋1＝C3rx5－，其各项次数依次为5，，2，，－1，－，所以x3的系数是2x＋1的一次项系数2乘以5展开式的x2的系数．由5展开式的通项公式Tr＋1＝C3rx5－知5－＝2，解得r＝2，所以x3的系数为2×C32＝180.故选A. 8．(2020·山东烟台一模)已知函数f(x)＝，实数m，n满足不等式f(2m－n)＋f(2－n)＞0，则下列不等关系成立的是(　　) A．m＋n＞1 B．m＋n＜1 C．m－n＞－1 D．m－n＜－1 答案　C 解析　∵f(x)＝(x∈R)，∴f(－x)＝，∴f(x)＝－f(－x)，故f(x)为R上的奇函数．对f(x)求导，得f′(x)＝＞0，∴f(x)在R上单调递增．∵f(2m－n)＋f(2－n)＞0，∴f(2m－n)＞－f(2－n)＝f(n－2)，∴2m－n＞n－2，即m－n＞－1，故选C. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．(2020·山东枣庄二调)2019年4月23日，国家统计局统计了2019年第一季度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼状图(如图)，则下列说法正确的是(　　) A．第一季度居民人均每月消费支出约为1633元 B．第一季度居民人均收入为4900元 C．第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费支出最多 D．第一季度居民在居住项目的人均消费支出为1029元 答案　ACD 解析　由饼状图可知第一季度衣着消费441元，占总体的9%，所以总支出为＝4900元，那么居民人均每月消费支出为≈1633元，A正确；
第一季度居民人均消费为4900元，不是收入，B错误；
食品烟酒项目占31%，最多，C正确；
第一季度居民在居住项目的人均消费支出为4900×21%＝1029元，D正确．故选ACD. 10．(2020·山东新高考质量测评联盟高三5月联考)将函数y＝2cosx＋1图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到函数f(x)的图象，下列说法正确的是(　　) A．点是函数f(x)图象的对称中心 B．函数f(x)在上单调递减 C．函数f(x)的图象与函数g(x)＝2sin＋1的图象相同 D．若x1，x2是函数f(x)的零点，则x1－x2是π的整数倍 答案　BC 解析　将函数y＝2cosx＋1图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得到函数y＝2cos2x＋1的图象，再向左平移个单位，可得到函数f(x)＝2cos＋1的图象．令x＝，求得f(x)＝1，故A错误；
若x∈，则2x＋∈，故f(x)＝2cos＋1在上单调递减，故B正确；
因为f(x)＝2cos＋1＝2cos＋1＝2sin＋1＝g(x)，所以函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相同，故C正确；
令f(x)＝2cos＋1＝0，则cos＝－，所以2x＋＝2kπ＋(k∈Z)或2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以x＝kπ＋(k∈Z)或x＝kπ＋(k∈Z)，不妨设x1＝，x2＝，则x1－x2＝不是π的整数倍，故D错误．故选BC. 11．(2020·山东省实验中学高三4月高考预测)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在棱CC1上，则下列结论正确的是(　　) A．直线BM与平面ADD1A1平行 B．平面BMD1截正方体所得的截面为三角形 C．异面直线AD1与A1C1所成的角为 D．|MB|＋|MD1|的最小值为 答案　ACD 解析　如图所示，易知平面BCC1B1∥平面ADD1A1，又BM⊂平面BCC1B1，故直线BM与平面ADD1A1平行，A正确；
平面BMD1截正方体所得的截面为BMD1N，为四边形，故B错误；
连接BC1，A1B，易知AD1∥BC1，故异面直线AD1与A1C1所成的角为∠A1C1B，又A1B＝A1C1＝BC1，故∠A1C1B＝，故C正确；
延长DC到B′使CB′＝1，易知BM＝B′M，故|MB|＋|MD1|≥D1B′＝，当M为CC1的中点时等号成立，故D正确．故选ACD. 12．(2020·山东济宁三模)已知直线y＝－x＋2分别与函数y＝ex和y＝ln x的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝2 B．ex1＋ex2>2e C．x1ln x2＋x2ln x1<0 D．x1x2> 答案　ABC 解析　函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，则函数y＝ex与y＝ln x的图象关于直线y＝x对称，将y＝－x＋2与y＝x联立，得x＝1，y＝1，由直线y＝－x＋2分别与函数y＝ex和y＝ln x的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，作出函数图象如图，则A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为(1,1)，对于A，由＝1，解得x1＋x2＝2，故A正确；
对于B，ex1＋ex2≥2＝2＝2＝2e，因为x1≠x2，即等号不成立，所以ex1＋ex2>2e，故B正确；
对于C，将y＝－x＋2与y＝ex联立可得－x＋2＝ex，即ex＋x－2＝0，设f(x)＝ex＋x－2，则函数为单调递增函数，因为f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f＝e＋－2＝e－>0，故函数f(x)的零点在上，即0<x1<，由x1＋x2＝2，得<x2<2，所以x1ln x2＋x2ln x1＝x1ln x2－x2ln <x1ln x2－x2ln x2＝(x1－x2)ln x2<0，故C正确；
对于D，将y＝－x＋2与y＝ln x联立可得－x＋2＝ln x，即2－x－ln x＝0.令g(x)＝2－x－ln x，则g(x)为单调递减函数，且g(1)＝1>0，g()＝2－－＝－<0，则1<x2<.又x1x2＝(2－x2)x2＝x2ln x2，设h(x)＝xln x，x∈(1，)，则h′(x)＝ln x＋1>0，即h(x)＝xln x在(1，)上单调递增，故x1x2＝x2ln x2<ln ＝，故D错误．故选ABC. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(2020·山东德州二模)已知双曲线C过点(2，－1)，且与双曲线－＝1有相同的渐近线，则双曲线C的标准方程为________． 答案　－＝1 解析　由题意设所求双曲线方程为－＝k，因为双曲线过点(2，－1)，所以－＝k，k＝，所以双曲线方程为－＝，即－＝1. 14．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：R(x)＝若f(x)是定义在R上且最小正周期为1的函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝R(x)，则f＋f(lg 20)＝________. 答案　 解析　由函数f(x)的最小正周期为1可得， f＋f(lg 20)＝f＋f(lg 2＋1)＝f＋f(lg 2)＝＋0＝. 15．(2020·山东滨州三模)已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，PA⊥平面ABC，PA＝2BC＝6，AB⊥AC，则球O的表面积为________． 答案　45π 解析　由于PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，而AB⊥AC，故可将三棱锥P－ABC补形为长方体，如图所示，长方体的外接球，也即三棱锥P－ABC的外接球，也即球O.由于PA＝2BC＝6，所以BC＝3，设AB＝a，AC＝b，则a2＋b2＝BC2＝9，所以长方体的对角线长为＝＝.设球O的半径为R，则2R＝，所以球O的表面积为4πR2＝45π. 16．如图，正方形ABCD的边长为2，顶点A，B分别在y轴的非负半轴、x轴的非负半轴上移动，E为CD的中点，则·的最大值是________． 答案　5＋ 解析　根据题意，设∠OBA＝α，则A(0,2sinα)，B(2cosα，0)，根据正方形的特点，可以确定出C(2cosα＋2sinα，2cosα)，D(2sinα，2sinα＋2cosα)，根据中点坐标公式，可以求得E(cosα＋2sinα，sinα＋2cosα)，所以有·＝2sinα(cosα＋2sinα)＋(2sinα＋2cosα)(sinα＋2cosα)＝4＋8sinαcosα＋2sin2α＝5＋4sin2α－cos2α＝5＋sin(2α－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，当2α－φ＝时，存在符合题意的角α，使sin(2α－φ)取得最大值1.所以其最大值为5＋. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(2020·江苏高考)(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，c＝，B＝45°. (1)求sinC的值；

(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－，求tan∠DAC的值． 解　(1)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋2－2×3××＝5，所以b＝.3分 由正弦定理得＝，所以sinC＝＝.5分 (2)由于cos∠ADC＝－，∠ADC∈， 所以sin∠ADC＝＝. 由于∠ADC∈，所以C∈， 所以cosC＝＝.7分 所以sin∠DAC＝sin(π－∠DAC)＝sin(∠ADC＋∠C) ＝sin∠ADCcosC＋cos∠ADCsinC ＝×＋×＝.8分 由于∠DAC∈， 所以cos∠DAC＝＝.9分 所以tan∠DAC＝＝.10分 18．(2020·山东烟台一模)(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是各项均为正数的等比数列，a1＝b4，________，b2＝8，b1－3b3＝4，是否存在正整数k，使得数列的前k项和Tk＞？若存在，求出k的最小值；
若不存在，说明理由． 从①S4＝20，②S3＝2a3，③3a3－a4＝b2这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并作答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　设等比数列{bn}的公比为q(q＞0)， 则b1＝，b3＝8q，于是－3×8q＝4，2分 即6q2＋q－2＝0，解得q＝或q＝－(舍去).4分 若选①：则a1＝b4＝2，S4＝4a1＋d＝20， 解得d＝2，6分 所以Sn＝2n＋×2＝n2＋n，8分 ＝＝－，9分 于是Tk＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－.10分 令1－＞，解得k＞15，所以存在正整数k使得Tk>，k的最小值为16.12分 若选②：则a1＝b4＝2,3a1＋d＝2(a1＋2d)，解得d＝2.6分 下同①.12分 若选③：则a1＝b4＝2,3(a1＋2d)－(a1＋3d)＝8，解得d＝.6分 于是Sn＝2n＋×＝n2＋n，8分 ＝×＝，9分 于是Tk＝＝＝－，10分 令Tk＞，得＋＜，整理得k2－5k－10>0， 因为k为正整数，解得k≥7， 所以k的最小值为7.12分 19．(2020·新高考卷Ⅰ)(本小题满分12分)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：
　　 [0,50] (50,150] (150,475] [0,35] 32 18 4 (35,75] 6 8 12 (75,115] 3 7 10 (1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；

(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：
[0,150] (150,475] [0,75] (75,115] (3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？ 附：K2＝ P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 解　(1)由表格可知，该市100天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的有32＋6＋18＋8＝64天， 所以该市一天空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率为＝0.64.4分 (2)由所给数据，可得2×2列联表为：
　　
[0,150] (150,475] [0,75] 64 16 (75,115] 10 10 8分 (3)根据2×2列联表中的数据可得 K2＝ ＝＝≈7.484>6.635， 所以有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.12分 20．(2020·山东潍坊一模)(本小题满分12分)如图，在等腰直角三角形ADP中，∠A＝90°，AD＝3，B，C分别是AP，DP上的点，且BC∥AD，E，F分别是AB，PC的中点．现将△PBC沿BC折起，得到四棱锥P－ABCD，连接EF. (1)证明：EF∥平面PAD；

(2)是否存在点B，当将△PBC沿BC折起到PA⊥AB时，二面角P－CD－E的余弦值等于？若存在，求出AB的长；
若不存在，请说明理由． 解　(1)证法一：作CM∥AB交AD于点M，连接PM，取PM的中点N，连接AN，FN，由三角形中位线定理，得FN∥CM，且FN＝CM.3分 因为E是AB的中点，所以AE∥CM，且AE＝CM，故FN∥AE，且FN＝AE，所以四边形AEFN是平行四边形，所以EF∥AN. 因为AN⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.5分 证法二：取CD的中点G，连接EG，FG， 因为E，F分别是AB，PC的中点， 所以FG∥PD，EG∥AD.3分 因为FG∩EG＝G， 所以平面EFG∥平面PAD. 因为EF⊂平面EFG， 所以EF∥平面PAD.5分 (2)存在．理由如下：
因为BC⊥AB，BC⊥PB，且AB∩PB＝B，所以BC⊥平面PAB. 又因为BC∥AD，所以AD⊥平面PAB，所以PA⊥AD.6分 又因为AB⊥AD，PA⊥AB， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接DE，CE，设AB＝a， 则PB＝BC＝3－a，由PB＞AB得0＜a＜，PA＝， 所以A(0,0,0)，C(a,3－a,0)，P(0,0，)，D(0,3,0)，8分 所以＝(a，－a,0)，＝(0，－3，)． 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则 令y＝1，则n＝，10分 又平面CDE的一个法向量m＝(0,0,1)， 依题意，有＝|cos〈n，m〉|＝， 所以＝，解得a＝1，即AB的长为1. 故存在点B，此时AB的长为1.12分 21．(2020·山东滨州二模)(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(，1)，离心率为. (1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l：y＝kx＋t(t≠0)与椭圆C相交于A，B两点，若以OA，OB为邻边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形OAPB的面积为定值． 解　(1)因为椭圆C经过点(，1)，代入椭圆方程， 可得＋＝1，①　2分 又因为椭圆C的离心率为，所以＝，从而a2＝2b2，②　4分 联立①②，解得a2＝4，b2＝2， 所以椭圆C的方程为＋＝1.5分 (2)证明：把y＝kx＋t代入椭圆方程＋＝1，得 (2k2＋1)x2＋4ktx＋2(t2－2)＝0，6分 当Δ＝(4kt)2－8(2k2＋1)(t2－2)＝8[2(2k2＋1)－t2]>0， 即t2<2(2k2＋1)时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝，7分 因为四边形OAPB是平行四边形， 所以＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝， 所以P点坐标为.8分 又因为点P在椭圆上， 所以＋＝1，即t2＝，满足Δ>0.9分 因为|AB|＝|x1－x2|＝· ＝＝.10分 又点O到直线l的距离d＝，11分 所以平行四边形OAPB的面积 S▱OAPB＝2S△OAB＝|AB|·d＝＝＝， 即平行四边形OAPB的面积为定值.12分 22．(2020·山西晋中四模)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x－x＋1. (1)求函数f(x)的值域；

(2)令g(x)＝x·在(2，＋∞)上的最小值为m，求证：－<f(2m)<－5. (参考数据：ln 7≈1.946，ln 8≈2.079，ln 9≈2.197，ln 10≈2.30) 解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＝，1分 当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

所以函数f(x)在x＝1处取得极大值也是最大值． 即f(x)max＝f(1)＝0， 又由y＝ln x的图象知当x趋近于0时，y趋近于－∞， 故f(x)∈(－∞，0].5分 (2)证明：g(x)＝x·＝(x>2)， 于是g′(x)＝，6分 令h(x)＝x－2ln x－4，则h′(x)＝1－＝，7分 由于x>2，所以h′(x)>0，即h(x)在(2，＋∞)上单调递增；

又h(8)<0，h(9)>0， 所以∃x0∈(8,9)，使得h(x0)＝0，即2ln x0＝x0－4， 当x∈(2，x0)时，h(x)<0；
当x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0， 即g(x)在(2，x0)上单调递减；
在(x0，＋∞)上单调递增． 所以g(x)min＝g(x0)＝＝＝，即m＝.10分 所以f(2m)＝f(x0)＝ln x0－x0＋1＝∈， 即－<f(2m)<－5.12分