北京版四年级上册数学全册知识小结

一　大数的认识 一、计数单位与数位顺序表 1.一(个)、十、百、千、万、十万、百万……都是计数单位。

2.数位顺序表。

3.在数位顺序表中,从个位起向左数,每四位为一级,分别是个级、万级、亿级…… 4.每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这就是十进制计数法。

二、大数的读法、写法 1.大数的读法: (1)读数时,要从高位读起,按照数位顺序表划分数级,先读亿级,再读万级,最后读个级。

(2)读亿级上的数时,先要按照个级上的数的读法来读,再在后面加一个“亿”字;读万级上的数时,先要按照个级上的数的读法来读,再在后面加一个“万”字;读个级上的数时,直接读即可。

(3)每级末尾不管有几个0,都不读,其他数位上有一个或者连续几个0,都只读一个零。

2.大数的写法: (1)写数时,从高位起一级一级往下写,即先写亿级,再写万级,最后写个级。

(2)哪一个数位上一个计数单位也没有,就在那个数位上写0占位。

三、数的大小比较 1.比较大数的大小时,首先要看数的位数,位数多的那个数就大。

2.如果位数相同,就比较最高位,最高位上的数大的那个数就大。

3.如果最高位上的数相同,就比较下一位上的数,下一位上的数大的那个数就大。

4.如果最高位的下一位上的数也相同,就按照上述方法依次比较下去,直到比较出大小为止。

四、数的改写 1.改写整亿、整万的数。

(1)改写整万的数时,先分级,然后去掉万级后面的4个0,并在末尾写上“万”字。

(2)改写整亿的数时,先分级,然后去掉亿级后面的8个0,并在末尾写上“亿”字。

2.用“四舍五入”法求近似数 用“四舍五入”法求一个数的近似数,精确到哪一位就看它的下一位是大于5,等于5,还是小于5。

(1)如果精确位的下一位大于或等于5,就把精确位后面的数全部舍去,并向前一位进1。

(2)如果精确位的下一位小于5,就直接把精确位后面的数全部舍去。

10个十万是一百万,10个一百万是一千万,10个一千万是一亿。

计数单位与数位的区别: 计数单位是指计算物体个数的单位;数位是指一个数中每个数字所占的位置。

易错点:误认为计数单位之间的进率都是10,这是不对的,一定要注意“相邻”二字。

读数时一定要写汉字,不能写阿拉伯数字。如97000000读作:九千七百万,而不是9千7百万。

举例:707450055 错解:七亿七百四十五万五十五 正解:七亿零七百四十五万零五十五 写亿以上数时,除了亿级外,万级和个级都要保证有四位数。

巧记 大数比较数数位, 数位相同看首位; 首位相同比下位, 比出大小巧解答。

“≈”是约等号,读作“约等于”。

易错点:只有整亿的数改写成以“亿”为单位的数时,才可以用“=”连接,而非整亿的数改写后是一个近似数,要用“≈”连接。

二　乘　　法 一、三位数乘两位数的计算法则 1.三位数乘两位数(进位,因数中间和末尾没有0) (1)较大的数写在上面,相同数位对齐。

(2)用两位数的个位与另一个因数的每一位依次相乘,所得积的末位与个位对齐。

(3)用两位数的十位与另一个因数的每一位依次相乘,所得积的末位与十位对齐。

(4)将两次乘得的积加起来。

2.三位数乘两位数(一个因数中间有0) 下面的两位数的个位或十位与0相乘后,加上进位数,写在相应位置,如果没有进位,就在这一位上写0。

3.三位数乘两位数(因数的末尾有0) 先将0前面的数相乘,再看两个因数末尾一共有几个0,就在积的末尾添上几个0 。

二、三位数乘两位数(估算) 在进行三位数乘两位数的估算时,可以根据“四舍五入”法把三位数看成整百或整十数,两位数看成整十数来进行估算。

三、积的变化规律 在乘法算式中,一个因数不变,另一个因数乘(或除以)几(0除外),积也乘(或除以)相同的数。如: 18×2=36　　　　　45×3=135 180×2=360 45×30=1350 180×20=3600 450×30=13500 巧记 三位数乘两位数, 竖式计算别马虎, 大数在上位对齐, 下面的数最辛苦, 个位乘完十位乘, 对准各自积尾数, 所得的积加一起, 就是最后的得数。

易错点: 哪一位去乘上面的数,积的末位就和那一位对齐。因数末尾有0,只需先乘0前面的数,再把0添上。

易错点: 把三位数看成整百数时,要看十位上的数字是该“四舍”还是该“五入”。

易错点: 乘法算式中,一个因数乘几(0除外),另一个因数除以几(0除外),积不变。

三　运 算 定 律 一、加法运算定律 1.加法交换律 两个数相加,交换加数的位置,和不变,这叫做加法交换律。

用字母表示:a+b=b+a 2.加法结合律 三个数相加,先把前两个数相加再加第三个数,或者先把后两个数相加再加第一个数,和不变,这叫做加法结合律。

用字母表示:(a+b)+c=a+(b+c) 3.加法算式中的简便计算 利用“加法交换律”和“加法结合律” 可以使计算更简便。简便计算的基本原则是“凑整”。

如下所示: 　582+115+118+385 =582+118+115+385　　　……(加法交换律) =(582+118)+(115+385) ……(加法结合律) =700+500 =1200 二、乘法运算定律 1.乘法交换律 两个数相乘,交换因数的位置,积不变,这叫做乘法交换律。

用字母表示:a×b=b×a 2.乘法结合律 三个数相乘,先把前两个数相乘,再与第三个数相乘,或者先把后两个数相乘,再与第一个数相乘,积不变。这叫做乘法结合律。

用字母表示:(a×b)×c=a×(b×c) 3.乘法分配律 两个数的和与一个数相乘,可以先用这两个加数分别与这个数相乘,再把两个积相加,结果不变。这叫做乘法分配律。

用字母表示:(a+b)×c=a×c+b×c 4.乘法算式中的简便计算 (1)　25×13×4 =25×4×13 =100×13 =1300　　　　　…………(乘法交换律和结合律) (2)　102×39 =(100+2)×39 =100×39+2×39 =3900+78 =3978　　　　　…………(乘法分配律) (3)35×89+65×89 =(35+65)×89 =100×89 =8900　　　　　…………(乘法分配律) 巧记 加法乘法运算律, 用的巧妙可简便, 交换加数、因数位, 所得结果不会变, 一个数乘两数和, 看看能否用简便, 如果可以凑成整, 分乘再加和不变。

易错点: 一个数连续减去两个数,可以用这个数减去两个数的和。

不管运用什么定律,凑整数是简便计算最基本的原则。要根据每一题的实际情况,判断应该用什么方法更简便。

四　线　与　角 一、线段、射线和直线 1.线段 线段有两个端点,可以量出长度。

2.射线 射线只有一个端点,可以向一端无限延长。也可以将射线看作是把线段的一端无限延长,得到一条射线。射线不能测量长度。

射线: 3.直线 直线没有端点,可以向两端无限延长。也可以将直线看作是将线段的两端无限延长,得到一条直线。直线不能测量长度。

直线: 4.两点之间线段最短。

如下图: 通过观察,第③条路线最短,也就是两点之间线段最短。

二、角 从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角。角通常用符号“∠”来表示。

1.角的度量 (1)角的计量单位是“度”,用符号“°”表示,把半圆分成180等份,每一份所对的角的大小是1度,记作1°,量角的工具是量角器。

(2)量角的步骤 ①将角的顶点与量角器的中心点重合。

②让量角器的0刻度线与角的一条边重合。

③角的另一条边所对的量角器上的刻度就是角的度数。

　　2.角的分类 锐角是小于90°的角;直角是等于90°的角;钝角是大于90°且小于180°的角;平角是等于180°的角,平角的两条边在同一条直线上;周角是等于360°的角,周角的两条边互相重合,在同一条直线上。

1平角=2直角　　1周角=2平角=4直角 3.画角 画角的步骤(以画一个65°的角为例): (1)画一条射线。

(2)使量角器的中心点和射线的端点重合,0刻度线和射线重合。

(3)在量角器65°刻度线的地方点一个点。

(4)以画的射线的端点为端点,通过刚画的点,再画一条射线。

巧记 射线一路跑到黑, 直线两端无头尾, 线段两端被固定, 要量长度不用愁。

易错点: 直线:是直的,没有端点。有些曲线,虽然也没有端点,但不属于直线。

　　 易错点: 角的大小与角两边的长短无关。角的顶点确定角的位置,角的两边叉开的大小确定角的大小。

巧记 角的分类看大小, 锐角直角和钝角, 还有平角和周角, 从小到大错不了。

一副三角尺有两个,其中一个三角尺是等腰直角三角形,分别是45°、45°、90°的角,另一个三角尺分别是30°、60°、90°的角,利用一副三角尺,可以画出很多特殊的角,比如:15°、105°、135°、150°等。

用量角器量角时,一定要明确是读内刻度线,还是读外刻度线。

五　方向与位置 一、描述物体的方向 1.确定一个点的位置,除了知道方向,还要知道距离。方向和距离是确定位置的两要素。

2.根据方向和距离确定物体位置 首先要确定方向;再确定距离,在位置图中,可以用单位长度的线段表示较长的实际距离,根据实际距离确定图中线段的长度;最后画出物体具体位置,标明名称。

如上图:以学校为观测点,要确定小芳家、小红家、小刚家、小亮家的位置,就要分别确定它们的方向和距离,小芳家在学校的西北方向,距离是4个格,每格代表200米,即800米;小红家在学校的西南方向,距离是1000米;小刚家在学校的东北方向,距离是1000米;小亮家在学校的东南方向,距离是800 二、描述路线图 描述路线图时,三个要素不能少,一是观测点,观测点是不同的;二是方向要找准;三是注意单位距离表示的实际距离。按照先后顺序依次描述出行时走的方向和距离。

如上图中,要描述每个赛段所走的方向和路程,首先从起点出发,向1号点行进,1号点在起点的东北方向,要走5个单位长度,也就是250米;然后从1号点向西北行进250米到达2号点;再以2号点为观测点向西南行进200米到达终点。

三、用数对确定物体的位置 用数对确定物体的位置,主要是确定物体所在的“列数、行数” ,确定了物体所在的列和行,就可以写出数对。也可以根据数对表示出来的列数和行数,确定物体的位置。

如:A同学在教室中的位置是第3列、第5行,他的位置用数对表示为(3,5);B同学的位置用数对表示为(2,4),那么他在教室中的位置是第2列、第4行。

四、魔术纸圈 莫比乌斯圈 德国有一位数学家叫莫比乌斯,在1858年发现了这样一个奇妙的纸圈。所以人们就把这样的纸圈叫莫比乌斯圈。

莫比乌斯圈只有一个面,一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。沿着莫比乌斯圈的中心线剪开,不会像普通纸圈一样得到两个纸圈,而是得到一个更大的纸圈。

位置具有相对性,找准观测点很关键,在观测点处用虚线画出方向标,可以帮助确定方向。

易错点: 在表述两个方向中间的方向时,通常把东、西放在前面,把南、北放在后面。

　　
易错点: 观测点不是一成不变的,要随着行程的变化而变化。

描述行走路线时,要先描述起点,再描述方向,最后描述距离。

　　 　 　易错点: 虽然人们常习惯说“行、列”,但数对的格式是(列数,行数)。

莫比乌斯圈在实际生活中的应用非常广泛。

六　除　　法 一、三位数除以两位数的计算 1.两、三位数除以整十数 可以先将被除数和除数都看作是几个十,然后按照除数是一位数的方法去口算。

比如:150÷30 想:150是15个十,30是3个十,因为15÷3=5,所以150÷30=5。

2.除数不是整十数的笔算除法 把除数看作与它接近的整十数来试商,试得的商和除数相乘,如果余数比除数小,说明试得的商是合适的。

比如:72÷12 想:把12看作10,72看作70,试商7,然后用7×12=84,发现商大了,调小一些,商6,6×12=72,商正好,可得72÷12=6。

3.三位数除以两位数 (1)从被除数的最高位除起。

(2)先用除数去试除被除数的前两位,如果比除数小,再试除前三位。

(3)除到哪一位,就在那一位上面写商。

(4)每次除得的余数都要比除数小。

4.试商法: 四舍法:当除数的个位上是1、2、3、4时舍去,看作整十数去估计大概商几,此法试得初商通常大些,如不合适应调小。

五入法:当除数的个位上是5、6、7、8、9时进一,看作整十数去估计大概商几,此法试得初商通常小些,如不合适应调大。

二、三位数除以两位数(估算) 在进行三位数除以两位数的估算时,可以根据“四舍五入”法把三位数看成整百或整十数,两位数看成整十数来进行估算。

比如:812÷91 把812看作810, 91看作90, 810÷90=9,那么812÷91≈9,但是有时候为了让商是整数,被除数不满5也要进一。比如:713÷79,如果把79看作80,那么就要把713看作720,因为72是8的倍数,因为71不是8的倍数,所以即使713个位上的数字不满5,也要向十位进一。

同样的道理,为了方便计算,有些算式的被除数的个位满5也要舍去,比如: 216÷29,估算时要把216看作210,把29看作30,216个位上的数字虽然大于5,也要舍去,因为21是3的倍数。

三、商不变的性质 除法算式中,被除数和除数同时乘或除以同一个不为0数,商不变,余数也跟着乘或除以同一个不为0的数。

比如:59÷8=7……3 590÷80=7……30 5900÷800=7……300 四、单价、数量和总价的关系 单价×数量=总价　总价÷单价=数量　总价÷数量=单价 五、速度、时间和路程之间的关系 速度×时间=路程　路程÷速度=时间　路程÷时间=速度 巧记 除法要从高位起, 除到哪里商哪里, 余数不能大除数, 这个道理别忘记。

易错点: 用“四舍”法估计除数来试商,得到的商容易偏大;用“五入”法估计除数来试商,得到的商容易偏小。

　　 易错点: 把三位数看成整百数时,要看十位上的数字是该“四舍”,还是该“五入”。

易错点: 被除数和除数变化的倍数必须统一,余数也要跟被除数或除数有同样的变化。

　　
易错点: 如果题目中不止有一种商品,注意单价、数量和总价要相对应。

速度是指单位时间内行走的路程,单位时间可以是时、分、秒等其他时间单位。

七　用计算器探索规律 一、认识计算器 1. 计算器是生活中比较普及的计算工具,它通常分为显示器与键盘区两部分。

开机键是ON,关机键是OFF,有时也用一个键开机和关机是ON/OFF,清除键是C或者AC,有时清除键和开机键是ON/C,还有数字键0~9,运算符号键“+、-、×、÷”以及“=”等其他功能键。

2.如何运用计算机进行计算。

比如:27+39 (1)开机按ON/C键。

(2)按数字键2、 7,显示屏显示27。

(3)按+,显示屏显示27。

(4)按数字键3、9,显示屏显示39。

(5)按=键,显示屏显示计算结果为66。

二、用计算器探索规律 计算过程中,我们可以先用计算器计算,然后通过观察、比较、归纳、类比发现并表达同组算式中的规律。

比如:1×1=1 11×11=121 111×111=12321 1111×1111=1234321 首先我们可以用计算器计算前三个算式的结果,通过计算和观察规律,乘法算式的两个因数是相同的,由若干个1组成,因数有几个1,乘积就先从1排列到几,然后从几排到1,比如:1111×1111=1234321,两个因数由4个1组成,积就从1排到4再排到1,即1234321,这样我们就可以推断出下一个算式的乘积为11111×11111=12345321。

计算器的种类和型号有很多种,不同种类和不同型号的计算器,其构造和作用也不一样,但均有最基本的运算能力。

用计算器计算时,输入运算符号,并不显示运算符号。

　 要找规律,可以从数字的个数,排列规律等方面去类比,看有什么变化。

八　条形统计图 一、认识条形统计图 1.用一个单位长度(如1厘米)表示一定的数量,根据数量的多少,画成长短相应成比例的直条,并按一定顺序排列起来,这样的统计图,称为条形统计图。

2.条形统计图的特点 能清楚地表示出数量的多少,是统计图资料分析中最常用的图形。

按照排列方式的不同,可分为纵式条形统计图和横式条形统计图。

纵式条形统计图: “图书角”图书统计图 横式条形统计图: 鸿丰商场2016年6月某周矿泉水销售量统计图 二、制作条形统计图 1.从同一顶点画出两条射线分别作为统计图的纵轴和横轴。

2. 确定好纵轴或横轴代表的是什么,一般纵式条形统计图中都会用纵轴来表示变化的数据。

3.确定纵轴上1格代表几个单位。

4.在横轴上正确的位置画出长条,表示数据。

观察条形统计图,可以从图中读出我们需要的信息,要注意1格代表几个单位。

纵式条形统计图和横式条形统计图的原理是一样的,只是在不同情况下更为方便。

　　
易错点: 如果数据只是在一个范围内,而这个范围的最低值又比较大,统计图中起始格可以用曲线表示0至最低值,从最低值开始有规律地上升。

九　可　能　性 一、确定事件与不确定事件 1.确定事件 确定事件分两种, 一种是确定必然会发生的,描述时一般用到“一定”“必须”等词语。比如:太阳每天一定从东方升起。

一种是确定必然不会发生的,描述时一般用到“绝不”“不可能”等词语,比如:地球不可能围绕月球转动。

2.不确定事件 不确定事件是指事件的结果有不同的可能性,描述不确定事件常用到“可能”“不一定”“也许”等词语。比如:雨后可能出现彩虹,雨后出现彩虹这个事件有可能发生,也有可能不发生。

二、事件发生的可能性大小 通过事件的实际条件,可以判断出某种情况出现的可能性大小。

比如:投骰子,骰子有六个面,每个面上的点数是从1到6。

这六个面出现的可能性相同,机会均等。

确定事件或不确定事件,要根据实际情况来判断。

　　 事件发生的可能性大小和游戏的公平性有关,要想让获胜的机会均等,必须有相等的机会。

十　数学百花园 一、重叠问题 1.当两个计数部分中有重复包含的内容时,我们称之为“重叠问题”。

2.数量关系 实际人(或物)数=第一类人(或物)数+第二类人(或物)数-重叠部分人(或物)数 解答重叠问题时,必须从条件入手认真分析,有时可以根据条件画图来帮助我们思考,找出哪些是重复的,重复了几次,明确求的是哪一部分,从而找出解题的方法。

比如:四(1)班同学每人至少参加一种课外活动小组,参加美术组的有18人,参加音乐组的有17人,两组都参加的有10人,求四(1)班一共有多少人? 计算时确定关键的三个量:第一类人数,就是参加美术组的人有18人;第二类人数,就是参加音乐组的人有17人;重叠人数,就是两组都参加的有10人。根据关系式“实际人(或物)数=第一类人(或物)数+第二类人(或物)数-重叠部分人(或物)数”,列出算式为18+17-10=25(人)。

二、方阵问题 1.学生排队,士兵列队,横着排叫做行,竖着排叫做列。如果行数与列数都相等,则正好排成一个正方形,这种图形就叫方队,也叫做方阵。我们在这一部分主要研究最外层人(或物)数与每边人(或物)数的关系以及方阵总人数的问题。

2.数量关系: 每边人(或物)数=[四周总人(或物)数÷4]+1 四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1] ×4 方阵总人(或物)数=每行人(或物)数×行数 三、编码 生活中,常用一些数字或字母等有规律的编排在一起,来表达一定的信息,如我们的身份证号、电话号码、商品编码等。

以身份证为例,排列顺序从左至右依次为:六位数字地址码,八位数字出生日期码,三位数字顺序码和一位数字校验码。

地址码(身份证前六位)表示编码对象第一次申领居民身份证时的常住户口所在县(市、区)的行政区划代码。

出生日期码(身份证第7位到第14位)表示编码对象出生的年、月、日,其中年份用四位数字表示,年、月、日之间不用分隔符。比如:1981年05月11日就用19810511表示。

顺序码(身份证第15位到17位)是县、区级政府所管辖派出所的分配码,每个派出所分配码为10个连续号码,比如“000-009”或“060-069”,其中单数为男性分配码,双数为女性分配码。

身份证最后一位是校验码。

在解答重叠问题时,要找准关键的数量,尤其是重叠部分的数量,要明确求哪一部分。如果是求重叠部分,需要用:第一类人(或物)数+第二类人(或物)数-实际人(或物)数。

　　 如果每个角上都有物体,那么这个物体在计算时可能会被重复计算,所以我们要先用每边人(或物)数减1,再去计算。

　　 编码时,要用固定的某几位数字去表达固定的信息,才能形成有规律的编码。