解三角形基础填空30道

　空 解三角形基础填空 30 道 道

　一、填空题 1．在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若3A ，7 a  ，13bc ，则 b ______. 2．已知平行四边形 ABCD，|AB|＝3，|BC|＝5，则分别以对角线 AC，BD为直径的两个圆的面积和为________. 3．已知 ABC 是面积为 3 的等边三角形，点 D 在线段 AC 的延长线上，若45 BDC    ，则 BD ________. 4．在 ABC 中， 75    B C， 2 BC  ，则 AB __________. 5．已知 ABC 的内角, , A B C 的对边分别为 , , a b c ，若 ABC 的面积为2 2 28b c a  ，则 cosA _____． 6．在 ABC 中，2cos3C  ， 4 AC  ， 3 BC  ，则 sinB  ______. 7．在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，其外接圆的半径为 1.若cos cos cos a A b B c C  13 ，则 ABC 的面积为______. 8． ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对边分别为 a 、 b 、 c ，已知2cos sin cos sin a B C b A C c   ，则 a 的最大值为__． 9．在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知ABC 的面积为 15 ，2 c a   ，1cos4B  ，则 b 的值为_______. 10．在 ABC 中，角, , A B C 的对边分别为 , , a b c ，且 2 cos cos cos c A a B b A   .则A _________ 11．和县文昌塔是市级文物保护单位且底部不能到达，现要测量文昌塔 AB 的高度，如图所示，在塔的同一侧选择 , C D 两个观测点，且在 , C D 两点测得塔顶的仰角分别为45 ,30 ，在水平面上测得 120 BCD   ， , C D 两地相距 30m ，则文昌塔 AB 的高度是____________ m .

　试卷第 2 页，总 3 页

　12．在 ABC 中，内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，若 120 C ， 3 a  ，2 3 b ，则 AB 边上的高的长度为______. 13．甲、乙两楼相距 20 米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30°，则甲、乙两楼的高分别是________________. 14． ABC  的内角, , A B C 的对边分别为 , , a b c 若cos 3 sin a B b A  ，则B=___________. 15． ABC 中， cos cos 2 b C c B b  ，则ab ________ 16．已知 ABC 中，2A ，点 D 在 BC 边上， 1 AD ，且 2 BD DC  ，2 BAD DAC    ，则sinsinBC __________. 17．在 ABC 中， ax ， 2 b  ， 60 B  ，若该三角形有两解，则 x 的取值范围为__________ 18．已知 ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 si nsi n 3si n 0 A B C    ，4 a b c    ，29ABCabS △，则2 2sin sina ba A b B____________. 19．在 ABC 中，D 是 BC 边上一点， 60     BAD DAC， 14 BC  ，且 ABD △与 ADC 面积之比为53，则 AD ________. 20．在 ABC 中，已知 2 a  ， 2 b ， 45 B  ，则角 A 的度数为______． 21． ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，13AM AB  ， 2 b  ，2 73CM  ，且2sin sinsin2A B cB b ，则ABCS  ________. 22．在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边长分别为 a ， b ， c ，且 2 2a c a b b    ，则 ACB ∠ ________.

　23．已知圆内接四边形 ABCD 中， 2, 6,4, AB BC AD CD     则四边形 ABCD 的面积为

　.

　24．在三角形 ABC 中，角 、 、 A B C 的对边分别为 a b c 、 、 ，若( )( ) a b c b c a bc      ，则角 A ________ 25．在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 B ＝ C, 2 b ＝ 3 a ，则 cos A＝_____. 26．在 ABC 中，角, , A B C 的对边分别为 , , a b c ，若 1, 45 , a B   ABC 的面积2 S  ，那么 ABC 的外接圆的直径为__________. 27．若 , A B 是 ABC 的内角，且 sin sin A B ，则 A 与 B 的大小关系是___________. 28．已知 ABC 的内角, , A B C    的对边分别为 , , a b c .若1sin 4aA ，则sin sin sinb c aB C A  等于________. 29．在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且: : 1:1:2 A B C  ，则ac ___________. 30．在 ABC 内角, , A B C 的对边 , , a b c 满足2 2 22 3 a b c  ，则 cosC 的最小值为______.

　 答案第 1 页，总 15 页 参考答案 1．1 【分析】

　利用余弦定理即可求解. 【详解】

　由13bc ，则 3 c b 

　 根据余弦定理可得 2 2 22 cos a b c bc A   ， 即2 2 2 27 9 3 7 b b b b    ， 解得 1 b 或 1 b （舍去）. 故答案为：1 2． 17π

　【分析】

　利用余弦定理分别表示出对角线 AC，BD，进而可得圆的面积和． 【详解】

　两个圆的面积和2 22 2| | | |(| | | | )2 2 4AC BDS AC BD                ， 由余弦定理可得 2 2 2| | | | | | 2| || |cos 34 30cos AC AB BC AB BC B B      ， 2 2 2| | | | | | BD AB AD    2| || |cos 34 30cos 34 30cos AB AD A A B     ， 17π S   . 故答案为：

　17π

　3． 6

　【分析】

　首先根据 ABC 是面积为 3 得到 2 AB AC BC    ，再利用正弦定理即可得到答案. 【详解】

　如图所示：

　 答案第 2 页，总 15 页

　因为21sin 32 3ABCS AB   △所以 2 AB AC BC    ， 120 BCD    . 在 BCD △ 中，由正弦定理可知sin sinBD BCBCD BDC ， 23 22 2BD，解得 6 BD  . 故答案为：

　6

　4． 6 2 

　【分析】

　首先根据题意得到 30 A   ，再利用正弦定理即可得到答案. 【详解】

　因为 75    B C ，所以 180 75 75 30 A      ， 所以2sin30 6 24AB，解得6 2 AB  . 故答案为：

　6 2 

　5．2 55 【分析】

　利用三角形面积公式和余弦定理可求得 tan A ，由同角三角函数关系可求得结果. 【详解】

　2 2 21sin2 8ABCb c aS bc A   ，2 2 21sin cos4 2b c aA Abc    ，1tan2A   ， 又   0, A   ， tan 0 A ， 0,2A     ，2 5cos5A  .

　 答案第 3 页，总 15 页 故答案为：2 55. 6．4 59 【分析】

　根据题中条件，先由余弦定理，求出 3 AB ，再由余弦定理，即可求出结果. 【详解】

　由题意，根据余弦定理可得，2 2 22 cos 9 AB BC AC BC AC C      ，所以 3 AB ， 又2cos3C  ，所以5sin3C ， 则由正弦定理可得，sin sinAC ABB C ，所以4 5sin9B . 故答案为：4 59. 7．16 【分析】

　设 ABC 的外接圆的半径为 R ，根据题中条件，由正弦定理，得到12sin cos 2sin cos 2sin cos3A A B B C C    ，根据二倍角公式，以及两角和与差的正弦公式，得到    12sin cos 2sin cos3A B A B C C     ，求出1sin sin sin12A B C  ，再由三角形面积公式，即可求出结果. 【详解】

　设 ABC 的外接圆的半径为 R ，因为 cos cos cos3Ra A b B c C    ， 所以2 cos 2 cos 2 cos 12 3a A b B c CR  ，所以12sin cos 2sin cos 2sin cos3A A B B C C    ， 即1sin2 sin2 sin23A B C    ，所以       1sin sin sin23A B A B A B A B C                ， 则    12sin cos 2sin cos3A B A B C C     .

　 答案第 4 页，总 15 页 因为 π A B C    ，所以   sin sin A B C   ，   cos cos A B C   ， 所以    12sin cos 2sin cos3C A B C A B     ， 所以    12sin cos cos3C A B A B       ， 所以14sin sin sin3A B C  ，即1sin sin sin12A B C  . 设 ABC 的面积为 S ，则1 1 1sin 2sin sin sin 22 12 6S ab C A B C      . 故答案为：16. 【点睛】

　关键点点睛：

　求解本题的关键在于，根据正弦定理先得到12sin cos 2sin cos 2sin cos3A A B B C C    ，利用三角恒等变换的相关公式，得出1sin sin sin12A B C  ，再由正弦定理和三角形面积公式，即可求得结果. 8． 1

　【分析】

　由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式，结合sin 0 C  ，可得 sinC c  ，则由正弦定理可求 sin a A  ，利用正弦函数的性质即可求其最大值． 【详解】

　2cos sin cos sin a B C b A C c   ，  由正弦定理可得：

　sincos sin sin cos sin sin A B C B A C c C   ， sin 0 C  ， sin cos sin cos A B B A c    ，即   sin sin A B C c    ，  由正弦定理可得 1sin sina cA C  ，可得 sin a A  ，  当 A 为直角时， a 的最大值为 1． 故答案为：1． 9．4 【分析】

　 答案第 5 页，总 15 页 由1cos4B  得15sin4B  ，再由面积得 8 ac ，最后结合余弦定理求解即可得答案. 【详解】

　解：因为1cos4B  ，所以21 15sin 14 4B    ， 因为已知 ABC 的面积为 15 ， 所以1 1 15sin 152 2 4ABCS ac B ac    △，整理得 8 ac ， 由余弦定理得  22 2 212 cos 2 162b a c ac B c a ac ac         ， 所以 4 b  . 故答案为：

　4

　10．π3 【分析】

　利用正弦定理将边化角，即可容易求得结果. 【详解】

　由正弦定理可知， 2 cos cos cos c A a B b A   化简得， 2sin cos sin cos sin cos sin( ) sin C A A B B A A B C      ， 又由 (0, ) A   ， sin 0 A ，得出1cos2A ，3A

　故答案为：3. 11．30 【分析】

　设塔高 AB hm  ，先求出 BC ， BD ，再在 BCD  中，由余弦定理可得答案． 【详解】

　设塔高 AB hm  ，在 Rt ABC  中，由已知可得 BC hm  ， 在 Rt ABD  中，由已知 3 BD hm  ， 在 BCD  中，由余弦定理可得2 2 23 30 2 ?30? cos120 h h h     ， 即215 450 0 h h   ，

　 答案第 6 页，总 15 页 解得 30 h （负值舍去）． 故答案为：30 12．3 77 【分析】

　根据余弦定理求出21 c ，根据三角形的面积公式求出面积，再根据三角形的面积可求出结果. 【详解】

　由余弦定理得2 2 22 cos 3 12 2 3 2 3cos120 c a b ab C         21  ， 21 c  ， 1 3 3 33 2 32 2 2ABCS     △，所以 AB 边上的高的长度为3 3 3 77 21 . 故答案为：3 77. 【点睛】

　本题考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，属于基础题. 13． 20 3 米、4033米 【分析】

　过点 C 作 CM AB  于点 M ，根据题意得 20 BD CM   ，根据题中所给的俯角和仰角，然后在 Rt ACM △ 和 Rt ADB 中，求两楼的高度. 【详解】

　如图，

　甲楼的高为 20tan60 20 3 20 3     （米）；

　 答案第 7 页，总 15 页 乙楼的高为3 40 320 3 20tan30 20 3 203 3     （米）. 故答案为：

　20 3 米、4033米 14．6 【分析】

　由已知结合正弦定理及同角的三角函数基本关系进行化简即可求解． 【详解】

　已知 cos 3 sin a B b A  ，

　由正弦定理可得， sin cos 3sin sin A B B A  ， 由 sin 0 A ，化简可得3tan3B ， ∵ 0 B    ，故6B ． 故答案为：6 【点睛】

　本题主要考查了正弦定理的应用，同角的三角函数基本关系式的化简求值. 15．2 【分析】

　由余弦定理化角为边后即得结论． 【详解】

　由余弦定理2 2 2 2 2 2cos cos 22 2a b c a c bb C c B b c a bab ac          ， ∴ 2ab ． 故答案为：2． 16．32 【分析】

　 答案第 8 页，总 15 页 由已知可得3BAD  ，6DACp? ，令 DC x  ，则则 2 BD x  ，利用正弦定理化简即可得出结果. 【详解】

　由2A 及 2 BAD DAC    可得3BAD  ，6DACp? ， 由 2 BD DC  ，令 DC x  ，则 2 BD x  ，因为 1 AD ，在 ADC 中， 由正弦定理可得1sinsin6xC，所以1sin2Cx ，在ABD △ 中，同理可得sin33sin2 4Bx x ，所以sin 3sin 2BC. 故答案为：32.

　【点睛】

　本题考查正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题. 17．4 3(2, )3 【分析】

　先根据正弦定理表示 x，再根据两解确定范围. 【详解】

　根据正弦定理得2 4 3sinsin sin sin sin60 3a b ax a AA B A     

　因为该三角形有两解，所以2 3 4 3, sin ( ,1) (2, )2 3 3 2 3A A B A x         

　故答案为：4 3(2, )3 【点睛】

　 答案第 9 页，总 15 页 本题考查正弦定理及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 18．94 【分析】

　由正弦定理化角为边后，结合已知可求得 1 c  ，利用三角形面积公式可得 sinC ，这样由正弦定理可把 sin A 用 a 表示， sinB 用 b 表示，代入求值式可得结论． 【详解】

　∵ sin sin 3sin 0 A B C    ，∴由正弦定理得 3 0 a b c    ，又 4 a b c    ，则3 4 c c   ，则 1 c  ， 又2 1sin9 2ABCabS ab C  △，∴4sin9C  ， 由正弦定理9sin sin sin 4a b cA B C   得4sin9A a  ，4sin9B b  ， ∴2 2 2 22 294 4sin sin 49 9a b a ba A b Ba b  ． 故答案为：94． 【点睛】

　本题考查正弦定理、三角形面积公式，掌握正弦定理的边角互化是解题基础． 19． 154 【分析】

　根据题意画出图形，结合图形求得ABAC的值，再利用余弦定理求得 AC、AB 的值，最后利用三角形的面积公式求得 AD的值． 【详解】

　解：

　ABC 中，∠BAD＝∠DAC＝60°，如图所示；

　1sin605213sin602ABDACDAB ADS ABS ACAC AD     ； 由余弦定理得，2 2 22 cos120 AB AC A B AC C B     ，

　 答案第 10 页，总 15 页 2 2 225 5149 3AC AC AC AC      ， 解得 AC＝6， ∴AB＝10； 1 1 3sin120 10 6 15 32 2 2ABCS AB AC        ； 1 1 3sin60 10 15 32 2 2 6 1010ABDS AB AD AD         ， 解得154AD  ． 故答案为：154． 【点睛】

　本题考查了解三角形的应用问题，是基础题． 20．30° 【分析】

　利用正弦定理即可求解. 【详解】

　解：由正弦定理sin sina bA B ， 得2 1sin sin sin452 2aA Bb    ， 又因为 b a  ，故 30 A  ． 故答案为：30°． 【点睛】

　本题考查了正弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 21． 3

　【分析】

　由2sin sinsin2A B cB b ，根据正弦定理，以及两角和的正弦公式，得到1cos2C  ，求出3C ，再由平面向量基本定理，根据题中条件，得到 32 CM CA CB  ，根据向量数量积的运算法则，列式求出 2 a  ，进而可得三角形的面积.

　 答案第 11 页，总 15 页 【详解】

　在 ABC 中，2sin sinsin2A B cB b ， ∴2sin sin sinsin2 sinA B CB B ， ∴ 2sin cos 2sin sin C B A B   ， ∴ 2sin cos 2(sin cos cos sin ) sin C B B C B C B    ， ∴1cos2C  ，又   0, C   ，∴3C ； 又13AM AB  ， ∴1 1 2 1( )3 3 3 3CM CA AM CA AB CA CB CA CA CB          ， ∴ 32 CM CA CB  ， ∴2 2 29 4 4 CM CA CB CA CB    ；

　∴228 16 4 a a   ， 解得 2 a  或 6 a （不合题意，舍去）， ∴ ABC 的面积为12 2sin 32 3ABCS   △. 故答案为：

　3 . 【点睛】

　本题主要考查求三角形的面积，考查由正弦定理进行边角互化，涉及两角和正弦公式，以及向量数量积的运算法则，属于常考题型. 22． 60

　【分析】

　由余弦定理求得 cos ACB  后可得 ACB  ．

　 答案第 12 页，总 15 页 【详解】

　因为  2 2a c a b b    ，所以2 2 2a b c ab   ，2 2 21cos2 2a b cACBab    ， 又 0 180 ACB    ，所以 60 ACB    ． 故答案为：

　60 ． 【点睛】

　本题考查余弦定理，属于基础题． 23． 8 3

　【详解】

　连接 BD,圆内接四边形对角互补， A C    ，利用余弦定理, 得2 2 2 26 4 2 4 6cos 2 4 2 4 6cos( ) C C            , ∴1 2cos ,0 , ,2 3 3C C C A        , 四边形面积1 16 4 sin60 4 2 sin120 8 32 2S           . 故答案为：

　8 3 . 24．23 【分析】

　把已知条件变形后利用余弦定理即可求出 cos A 的值，根据 A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数 【详解】

　由 ( )( ) a b c b c a bc      得：

　2 2( ) b c a bc    ， 即2 2 2b c a bc    ， 2 2 21cos2 2b c aAbc     ， A 是三角形的内角， 23A 

　 答案第 13 页，总 15 页 故答案为：23. 【点睛】

　本题主要考查学生灵活运用余弦定理化简求值，考查了特殊角的三角函数值，是一道简单题． 25．13 【解析】

　由 B ＝ C, 2 b ＝ 3 a ， 可得 b ＝ c ＝32a ， 所以 cos A ＝2 2 22bcb c a  ＝2 2 23 34 43 322 2a a aa a  ＝13. 故答案为13 26． 5 2

　【分析】

　根据三角形的面积公式求出4 2 c ，根据余弦定理求出 5 b ，根据正弦定理求出直径. 【详解】

　根据三角形的面积公式可得1 1 2sin2 2 2S ac B c    ，所以224c  ，即 4 2 c  ， 所以2 2 222 cos 1 32 2 1 4 22b a c ac B          25  ，所以 5 b ， 所以 ABC 的外接圆的直径为52 5 2sin 22bRB  . 故答案为：

　5 2 . 【点睛】

　本题考查了三角形的面积公式，考查了正弦定理，考查了余弦定理，属于基础题. 27．A>B 【分析】

　 答案第 14 页，总 15 页 运用正弦定理实现边角转化，再利用三角形中大边对大角可得答案. 【详解】

　由正弦定理可知， 2sin sina bRA B  ， 得 sin sin A B  2 2a ba b A BR R     ， 故答案为：

　A B  . 【点睛】

　本题考查了利用正弦定理判定三角形中角的大小，属于基础题. 28．14 【分析】

　由正弦定理1sin sin sin 4a b cA B C   ，结合比例式的性质，即可求解. 【详解】

　因为1sin 4aA ，由正弦定理1sin sin sin 4a b cA B C   ， 根据比例式的性质，可得1sin sin sin sin 4b c a aB C A A   . 故答案为：14. 【点睛】

　本题主要考查了解三角形的正弦定理及其应用，以及比例式的性质，其中解答中熟记解三角形的正弦定理和比例式的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 29．22 【分析】

　根据题中条件，先求出角 A 和角 C ，再由正弦定理，即可得出结果. 【详解】

　因为 : : 1:1:2 A B C  ，所以 4 A B C A      ， 则4A ，2C ， 因此，由正弦定理可得，sin 2sin 2a Ac C .

　 答案第 15 页，总 15 页 故答案为：22. 【点睛】

　本题主要考查用正弦定理进行边角互化，属于基础题型. 30．23 【分析】

　利用余弦定理结合基本不等式求解即可. 【详解】

　根据题意，由2 2 22 3 a b c  得：2 2223a bc

　由余弦定理得2 22 22 2 2 2 222 2 2 23cos2 2 6 6 3a ba ba b c a b abCab ab ab ab        当且仅当2 22a b ，即2 b a 时取等号 故答案为23 【点睛】

　本题主要考查了余弦定理的应用以及基本不等式的应用，属于中档题.