2009西安交通大学高等代数考研真题

　学 西安交通大学 2009 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 科目代码：818

　 科目名称：高等代数

　一 （20 分）计算行列式：

　0 0 00 00 0 00 0 00 0 0nD           

　二 （20 分）已知1 2(0,1,0) , ( 3,2,2)T T     ，是线性方程组 1 2 31 2 31 2 32 13 4 1x x xx x xax bx cx d         的两个解，求此方程组的全部解．

　三 （20）当 t 取什么值时，下面二次型是正定的：

　2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 4 2 10 6 f x x x x x x tx x x x x x      

　四（15 分）设 3 阶实对称矩阵 A 有特征值1 2 31, 1       ， A 的属于特征值-1的特征向量1(0,1,1) T   ，矩阵32 B A A E    ，其中 E 为 3 阶单位阵（下同），问：

　（1）

　1 是否为 B 的特征向量？求 B 的所有特征值和特征向量； （2）

　求矩阵 B ．

　五（15 分）设，1 20 0 00 0 , , , , 0 0 , , ,0 0a c xW a a b c R W y x y z Rc b z z                                    （1）

　求1 2W W  ； （2）

　记1 2W W W   ，试求空间3W 使得3 3( ) M R W W   （其中3 ( )M R 为实数域上 3 阶矩阵全体），并说明理由．

　六（15 分）设向量组1 2, , ,r   线性无关，而1 2, , , , ,r     线性相关．证明：

　要么  与  中至少有一个可被1 2, , ,r   线性表出，要么1 2, , , ,r    与1 2, , , ,r    等价．

　七（15 分）设 A 为 ( 1) n n   阶常数矩阵， X 为 ( 1) n n   阶未知数矩阵 ．试证明矩阵方程 AX E  有解的充要条件为 ( ) r A n  ．

　八（10）若1 2,   是数域 F 上的二维线性空间2 ( )V F 的基，  和  是2 ( )V F 上的线性变换，且满足 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , ( ) , ( )                      

　试证：

　   ．

　九（10）设 A 和 B 是两个 n 阶实正交矩阵，并且 det( ) det( ) A B   ．证明 ( ) r A B n   ． 十（10 分）证明 A 可与一个对角矩阵相似的充要条件是：对于 A 的任意特征值i ，方程组 2( ) 0i EA X    与 ( ) 0i EA X   

　是 同 解 的 ， 其 中1 1( , , , ) nnX x x x  ． 需 要 更 多 试 题 请o.com/ exam.taoba - //maths : http

　 高等代数试题分数分布：

　行列式：20 分（1）； 线性方程组：35 分（2）； 矩阵：15 分（1）； 二次型：20 分（1）； 线性空间：15 分（1）； 欧几里得空间：10 分（1）

　线性变换：35 分（3）