理科数学历年高考真题分类训练附答案解析之06函数综合及其应用

专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第六讲 函数的综合及其应用 一､选择题 1.(2017天津)已知函数设,若关于的不等式在R上恒成立,则a的取值范围是 A. B. C. D. 2.(2015北京)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲､乙､丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 3.(2014北京)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率与加工时间(单位:分钟)满足函数关系(､､是常数),下图记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( ) A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟 4.(2014湖南)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为,第二年的增长率为,则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A. B. C. D. 二､填空题 5.(2017山东)若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有性质,下列函数中具有性质的是 . ① ② ③ ④ 6.(2017江苏)设是定义在且周期为1的函数,在区间上,其中集合,则方程的解的个数是 . 7.(2017新课标Ⅰ)如图,圆形纸片的圆心为,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形的中心为.､､为圆上的点,,,分别是以,,为底边的等腰三角形｡沿虚线剪开后,分别以,,为折痕折起,,,使得､､重合,得到三棱锥｡当的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:)的最大值为_______. 8.(2016年北京) 设函数. ①若,则的最大值为____________________; ②若无最大值,则实数的取值范围是_________________. 9.(2015四川)某食品的保鲜时间(单位:小时)与储存温度(单位:)满足函数关系(为自然对数的底数,为常数).若该食品在0的保鲜时间设计192小时,在22的保鲜时间是48小时,则该食品在33的保鲜时间是 小时. 10.(2014山东)已知函数,对函数,定义关于的“对称函数”为函数,满足:对任意,两个点 关于点对称,若是关于 的“对称函数”,且恒成立,则实数的取值范围是____. 11.(2014福建)要制作一个容器为4,高为的无盖长方形容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是_______(单位:元) 12.(2014四川)以表示值域为的函数组成的集合,表示具有如下性质的函数组成的集合:对于函数,存在一个正数,使得函数的值域包含于区间 .例如,当,时,,.现有如下命题: ①设函数的定义域为,则“”的充要条件是“,,”; ②函数的充要条件是有最大值和最小值; ③若函数,的定义域相同,且,,则; ④若函数(,)有最大值,则. 其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号) 三､解答题 13.(2018上海)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示:当中的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为 (单位:分钟), 而公交群体的人均通勤时间不受影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题: (1)当在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间? (2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式;讨论的单调性,并说明其实际意义. 14.(2018江苏)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆的一段圆弧(为此圆弧的中点)和线段构成.已知圆的半径为40米,点到的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形,大棚Ⅱ内的地块形状为,要求均在线段上,均在圆弧上.设与所成的角为. (1)用分别表示矩形和的面积,并确定的取值范围; (2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲､乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为.求当为何值时,能使甲､乙两种蔬菜的年总产值最大. 15.(2016年上海高考)已知,函数. (1)当时,解不等式; (2)若关于的方程的解集中恰好有一个元素,求的取值范围; (3)设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求的取值范围. 16.(2015江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为,山区边界曲线为,计划修建的公路为,如图所示,,为的两个端点,测得点到的距离分别为5千米和40千米,点到的距离分别为20千米和2.5千米,以所在的直线分别为轴,建立平面直角坐标系,假设曲线符合函数(其中为常数)模型. (I)求的值; (II)设公路与曲线相切于点,的横坐标为. ①请写出公路长度的函数解析式,并写出其定义域; ②当为何值时,公路的长度最短?求出最短长度. 17.(2013重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为米,高为米,体积为立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000元(为圆周率). (Ⅰ)将表示成的函数,并求该函数的定义域; (Ⅱ)讨论函数的单调性,并确定和为何值时该蓄水池的体积最大. 18.(2012陕西)设函数 (1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点; (2)设n为偶数,,,求的最小值和最大值; (3)设,若对任意,有,求的取值范围; 19.(2011江苏)请你设计一个包装盒,如图所示,是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得四个点重合于图中的点,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,､在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设cm (1)某广告商要求包装盒侧面积(cm)最大,试问应取何值? (2)某广告商要求包装盒容积(cm)最大,试问应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 答案部分 1.A【解析】解法一 根据题意,作出的大致图象,如图所示 当时,若要恒成立,结合图象,只需,即,故对于方程,,解得;当时,若要恒成立,结合图象,只需,即,又,当且仅当,即时等号成立,所以,综上,的取值范围是.选A. 解法二 由题意的最小值为,此时.不等式在R上恒成立等价于在R上恒成立. 当时,令,,不符合,排除C､D; 当时,令,,不符合,排除B.选A. 2.D【解析】 “燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,A中乙车消耗1升汽油,最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值,A错误;B中以相同速度行驶相同路程,甲燃油效率最高,所以甲最省油,B错误,C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km,消耗8升汽油,C错误,D中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,选D. 3.B【解析】由题意可知过点(3,0.7),(4,0.8)(5,0.5),代入 中可解得,∴ ,∴当分钟时,可食用率最大. 4.D【解析】设年平均增长率为,原生产总值为,则,解得,故选D. 5.①④【解析】①在上单调递增,故具有性质; ②在上单调递减,故不具有性质; ③,令,则, 当时,,当时,, 在上单调递减,在上单调递增, 故不具有性质; ④,令, 则, 在上单调递增,故具有性质. 6.8【解析】由于,则需考虑的情况, 在此范围内,且时,设,且互质, 若,则由,可设,且互质, 因此,则,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾, 因此, 因此不可能与每个周期内对应的部分相等, 只需考虑与每个周期的部分的交点, 画出函数图象,图中交点除外其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期的部分, 且处,则在附近仅有一个交点, 因此方程的解的个数为8. 7.【解析】如图连接交于,由题意,设等边三角形的边长为(),则,. 由题意可知三棱锥的高 底面, 三棱锥的体积为, 设,则(), 令,解得,当时,,单调递增; 当时,,单调递减, 所以是取得最大值 所以. 8.,.【解析】①若,则,当时,; 当时,,所以函数在上单调递 增,在 上单调递减,所以函数在上的最大值为. 综上函数的最大值为2. ②函数与的大致图象如图所示 若无最大值,由图象可知,即. 9.24【解析】由题意得,即,所以该食品在℃的保鲜时间是 . 10.【解析】函数的定义域为,根据已知得, 所以,恒成立, 即,令,,则只要直线在半圆上方即可,由,解得(舍去负值),故实数的取值范围是. 11.160【解析】设该容器的总造价为元,长方体的底面矩形的长,因为无盖长方体的容积为,高为,所以长方体的底面矩形的宽为,依题意,得 12.①③④【解析】对于①,根据题中定义,函数,的值域为,由函数值域的概念知,函数,的值域为 ,所以①正确;对于②,例如函数的值域包含于区间,所以,但有最大值l,没有最小值,所以②错误;对于③,若 ,则存在一个正数,使得函数的值域包含于区间,所以,由知,存在一个正数,使得函数的值域包含于区间,所以,亦有 ,两式相加得≤≤,于是,与已知“.”矛盾,故,即③正确;对于④,如果, 那么,如果,那么,所以有最大值,必须,此时在区间上,有, 所以,即④正确,故填①③④. 13.【解析】(1)当时,恒成立,公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间; 当时,若,即,解得(舍)或; ∴当时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间; (2)设该地上班族总人数为,则自驾人数为,乘公交人数为. 因此人均通勤时间,整理得:, 则当,即时,单调递减; 当时,单调递增. 实际意义:当有的上班族采用自驾方式时,上班族整体的人均通勤时间最短. 适当的增加自驾比例,可以充分的利用道路交通,实现整体效率提升;但自驾人数过多,则容易导致交通拥堵,使得整体效率下降. 14.【解析】(1)连结并延长交于,则⊥,所以=10. 过作⊥于,则∥,所以, 故,, 则矩形的面积为, 的面积为. 过作⊥,分别交圆弧和的延长线于和,则. 令,则,. 当时,才能作出满足条件的矩形, 所以的取值范围是. 答:矩形的面积为平方米,的面积为 ,的取值范围是. (2)因为甲､乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3, 设甲的单位面积的年产值为,乙的单位面积的年产值为, 则年总产值为 ,. 设,, 则. 令,得, 当时,,所以为增函数; 当时,,所以为减函数, 因此,当时,取到最大值. 答:当时,能使甲､乙两种蔬菜的年总产值最大. 15.【解析】(1)由,得, 解得. (2),, 当时,,经检验,满足题意. 当时,,经检验,满足题意. 当且时,,,. 是原方程的解当且仅当,即; 是原方程的解当且仅当,即. 于是满足题意的. 综上,的取值范围为. (3)当时,,, 所以在上单调递减. 函数在区间上的最大值与最小值分别为,. 即, 对任意成立. 因为,所以函数在区间上单调递增, 时,有最小值,由,得. 故的取值范围为. 16.【解析】(1)由题意知,点,的坐标分别为,. 将其分别代入,得,解得. (2)①由(1)知,(),则点的坐标为, 设在点处的切线交,轴分别于,点,, 则的方程为,由此得,. 故,. ②设,则.令,解得. 当时,,是减函数; 当时,,是增函数. 从而,当时,函数有极小值,也是最小值,所以, 此时. 答:当时,公路的长度最短,最短长度为千米. 17.【解析】(Ⅰ)因为蓄水池侧面积的总成本为元,底面的总成本为元,所以蓄水池的总成本为()元. 又题意据,所以, 从而.因,又由可得, 故函数的定义域为. (Ⅱ)因,故.令, 解得(因不在定义域内,舍去). 当时,,故在上为增函数; 当时,,故在上为减函数. 由此可知,在处取得最大值,此时. 即当,时,该蓄水池的体积最大. 18.【解析】(1)当时,. ∵,∴在内存在零点. 又当时,,∴在上是单调递增的, ∴在区间内存在唯一的零点; (2)解法一 由题意知即由图像知,在点取得最小值,在点取得最大值. 解法二 由题意知,即.…① ,即.…② ①+②得 当时,;当时, 所以的最小值,最大值. 解法三 由题意知, 解得 . 又∵, ∴ 当时,;当时, 所以的最小值,最大值. (3)当时,. 对任意都有有等价于在[-1,1]上的最大值与最小值之差.据此分类讨论如下: (ⅰ)当,即时, ,与题设矛盾. (ⅱ)当,即时, 恒成立. (ⅲ) 当,即时, 恒成立. 综上可知,. 19.【解析】设包装盒的高为(cm),底面边长为(cm),由已知得 (1) 所以当时,取得最大值. (2) 由(舍)或=20. 当时,. 所以当=20时,V取得极大值,也是最小值. 此时装盒的高与底面边长的比值为.